【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第5讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用作业 7页

第5讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用 ‎ [基础题组练]‎ ‎1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)‎ 解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.令x＝，得y＝sin＝0，排除C.‎ ‎2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)‎ A．－　　　　　　　　　　 B. C．1 D． 解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝.‎ ‎3．已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．A＝1 B．A＝3‎ C．ω＝ D．ω＝ 解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.‎ ‎4．(2020·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：选B.因为y＝sin 2x＝cos＝cos，‎ y＝cos＝cos，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象．故选B.‎ ‎5．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f＝(　　)‎ A．－2 B．－ C. D． 2‎ 解析：选C.因为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且其最小正周期为π，所以φ＝0，ω＝2，f(x)＝Asin 2x，得g(x)＝Asin x．又g＝Asin ＝，所以A＝2，故f(x)＝2sin 2x，f＝2sin ＝，故选C.‎ ‎6．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ．‎ 解析：y＝sin xy＝‎ siny＝sin.‎ 答案：y＝sin ‎7．已知函数f(x)＝2sin的部分图象如图所示，则ω＝ ，函数f(x)的单调递增区间为 ．‎ 解析：由图象知＝－＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．由五点对应法得2×＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 答案：2　(k∈Z)‎ ‎8．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝ ．‎ 解析：依题意，当x＝＝时，f(x)有最小值，‎ 所以sin＝－1，所以ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．‎ 所以ω＝8k＋(k∈Z)，‎ 因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，‎ 所以－≤，即ω≤12，‎ 令k＝0，得ω＝.‎ 答案： ‎9．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．‎ 解：连接MP(图略)．‎ 依题意，有A＝2，＝3，‎ 又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx.‎ 当x＝4时，y＝2sin＝3，‎ 所以M(4，3)．又P(8，0)，‎ 所以|MP|＝＝5.‎ 即M，P两点相距5 km.‎ ‎10．(2020·合肥市第一次质量检测)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．‎ ‎(1)求函数h(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若g＝，求h(α)的值．‎ 解：(1)由已知可得g(x)＝sin，‎ 则h(x)＝sin 2x－sin＝sin.‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由g＝得sin＝‎ sin＝，‎ 所以sin＝－，即h(α)＝－.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·长沙市统一模拟考试)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)图象的对称中心可以是(　　)‎ A．(0，0) B．(1，0)‎ C. D． 解析：选D.如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x ‎)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan＝＝＝，所以|BD|＝3.由函数f(x)图象的对称性知xE＝1－＝－，xF＝1＋＝，所以E，F，所以函数f(x)图象的对称中心可以是，故选D.‎ ‎2．(2020·沈阳市质量监测(一))设函数f(x)＝sin，‎ 则下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①函数y＝f(x)的减区间为(k∈Z)；‎ ‎②函数y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到；‎ ‎③函数y＝f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝；‎ ‎④若x∈，则f(x)的取值范围是.‎ 解析：对于①，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，①正确；对于②，y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后是y＝sin＝sin的图象，②错误；对于③，令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，当k＝－1时，x＝－，当k＝0时，x＝，③错误；对于④，若x∈，则2x－∈，故f(x)∈，④正确．‎ 答案：①④‎ ‎3．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．‎ 解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ‎＝sin ωx－cos ωx ‎＝ ‎＝sin.‎ 由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.‎ 故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，‎ 所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，所以x－∈，‎ 当x－＝－，‎ 即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎ ‎4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．‎ 解：(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，‎ 因为－≤φ＜，所以k＝0，‎ 所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，‎ 则f＝sin＝sin＝.‎ ‎(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f 的图象，‎ 所以g(x)＝f＝sin ‎＝sin.‎ 当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．‎ 因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎