【数学】2020届一轮复习苏教版导数的综合应用课时作业 4页

第17讲　导数的综合应用 ‎1.(2018苏州学业阳光指标调研)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=-8x的焦点坐标为　　　　. ‎ ‎2.设a∈R,则命题p:a≤1,命题q:a2≤1,则非p是非q的　　　　　　　　条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分又不必要”) ‎ ‎3.已知函数f(x)=‎2‎‎-x‎,x≤0,‎log‎81‎x,x>0,‎若f(x)=‎1‎‎4‎,则实数x的值为　　　　. ‎ ‎4.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,CF=λCD.若AE·BF=-1,则λ=　　　　. ‎ ‎5.已知过点(2,5)的直线l被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为4,则直线l的方程为　　　　　　　　. ‎ ‎6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanA=7tanB,a‎2‎‎-‎b‎2‎c=3,则c=　　　　. ‎ ‎7.已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f'(-1)=-1,则函数f(x)的单调增区间是　　　　. ‎ ‎8.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,AD∥BC,AD=2BC=2,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E是PD上的点.‎ 求证:(1)AD∥平面PBC;‎ ‎(2)平面EAC⊥平面PCD.‎ ‎9.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.‎ ‎(1)若|a-b|=‎2‎,求证:a⊥b;‎ ‎(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.‎ 答案精解精析 ‎1.答案　(-2,0)‎ 解析　抛物线y2=-8x的焦点坐标是(-2,0).‎ ‎2.答案　充分不必要 解析　q:-1≤a≤1,则q是p的充分不必要条件,则非p是非q的充分不必要条件.‎ ‎3.答案　3‎ 解析　当x≤0时,f(x)=2-x=‎1‎‎4‎,解得x=2,舍去;当x>0时,f(x)=log81x=‎1‎‎4‎,解得x=3,符合题意,故实数x的值为3.‎ ‎4.答案　‎‎2‎‎2‎ 解析　由题意可得λ>0,AB·AD=2×2×‎-‎‎1‎‎2‎=-2,‎ AE‎=AB+BE=AB+λBC=AB+λAD,‎ BF‎=BC+CF=AD+λCD=AD-λAB,‎ 所以AE·BF=(AB+λAD)·(AD-λAB)=(1-λ2)AB·AD=-2(1-λ2)=-1,解得λ=‎2‎‎2‎.‎ ‎5.答案　x-2=0或4x-3y+7=0‎ 解析　圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.直线l被圆C截得的弦长为4,则圆心C(1,2)到直线l的距离为1.当过点(2,5)的直线l的斜率不存在时,l:x=2,符合题意;当斜率存在时,设为k,则l:y-5=k(x-2),即为kx-y+5-2k=0,此时k-2+5-2kk‎2‎‎+1‎=1,解得k=‎4‎‎3‎,直线l:‎4‎‎3‎x-y+‎7‎‎3‎=0,即4x-3y+7=0.综上可得,直线l的方程为x-2=0或4x-3y+7=0.‎ ‎6.答案　4‎ 解析　由tanA=7tanB得sinAcosB=7sinBcosA,∴a·a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac=7b·b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc,化简得4(a2-b2)=3c2.又a2-b2=3c,所以4×3c=3c2,解得c=4.‎ ‎7.答案　‎-∞,-‎‎4‎‎3‎,(0,+∞)‎ 解析　∵f'(x)=3x2-2mx,∴f'(-1)=3+2m=-1,解得m=-2,∴由f'(x)=3x2+4x>0解得x<-‎4‎‎3‎或x>0,即单调增区间为‎-∞,-‎‎4‎‎3‎,(0,+∞).‎ ‎8.证明　(1)∵AD∥BC,BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,∴AD∥平面PBC.‎ ‎(2)∵PC⊥底面ABCD,AC⊂底面ABCD,∴PC⊥AC,‎ ‎∵AD∥BC且AD=2BC=2,△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎∴AC=‎2‎BC=‎2‎,CD=‎2‎,‎ ‎∴CD2+AC2=AD2,即AC⊥CD,‎ 又∵PC∩CD=C,∴AC⊥平面PCD,‎ ‎∵AC⊂平面EAC,‎ ‎∴平面EAC⊥平面PCD.‎ ‎9.解析　(1)证明:a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),‎ ‎|a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2,‎ 所以cosα·cosβ+sinα·sinβ=0,所以a⊥b.‎ ‎(2)由题意得cosα+cosβ=0,①‎sinα+sinβ=1,②‎①2+②2得:cos(α-β)=-‎1‎‎2‎.‎ 所以α-β=‎2‎‎3‎π,α=‎2‎‎3‎π+β,‎ 代入②得:sin‎2‎‎3‎π+β+sinβ=‎3‎‎2‎cosβ+‎1‎‎2‎sinβ=sinπ‎3‎‎+β=1,‎ 所以π‎3‎+β=π‎2‎,所以α=‎5π‎6‎,β=π‎6‎.‎