【数学】2020届一轮复习人教A版空间向量及其运算课时作业 6页

‎45　空间向量及其运算 一、选择题 ‎1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　　)‎ A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)‎ C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)‎ 解析：由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．‎ 答案：B ‎2．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　)‎ A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 解析：由6＝＋2＋3，‎ 得－＝2(－)＋3(－)，即＝2＋3，故，，共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面，故选B.‎ 答案：B ‎3．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝(　　)‎ A.a－b＋c B．－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 解析：显然＝－＝(＋)－.‎ 答案：B ‎4．已知四边形ABCD满足：·>0，·>0，·>0，·>0，则该四边形为(　　)‎ A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 D．空间四边形 解析：由·>0，·>0，·>0，·>0，知该四边形一定不是平面图形．‎ 答案：D ‎5．[2019·日照调研]已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则C点的坐标为(　　)‎ A．(，－，) B．(，－3,2)‎ C．(，－1，) D．(，－，)‎ 解析：由题意知2＝，设C(x，y，z)，则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)，‎ ‎∴∴即C(，－1，)‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________.‎ 解析：如图所示，‎ ＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)．‎ 答案：(b＋c－a)‎ ‎7．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值为________．‎ 解析：因为(a＋λb)⊥a，‎ 所以(a＋λb)·a＝a2＋λb·a＝()2＋λ×(0＋1＋0)＝0，解得λ＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎8．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．‎ 解析：cos〈a，b〉＝＝－.‎ 答案：－ 三、解答题 ‎9．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．‎ ‎(1)求以，为边的平行四边形的面积；‎ ‎(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．‎ 解析：(1)由题意可得：＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，‎ 所以cos〈，〉＝＝＝＝，‎ 所以sin〈，〉＝，‎ 所以以，为边的平行四边形的面积：‎ S＝2×||||sin〈，〉＝14×＝7.‎ ‎(2)设a＝(x，y，z)，‎ 由题意得解得或 所以a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．‎ ‎10．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：‎ ‎(1)·；‎ ‎(2)·；‎ ‎(3)EG的长．‎ 解析：设＝a，＝b，＝c.‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ＝＝c－a，＝－a，＝b－c，‎ ‎(1)·＝·(－a)‎ ‎＝a2－a·c＝.‎ ‎(2)·＝(c－a)·(b－c)‎ ‎＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.‎ ‎(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ‎＝－a＋b＋c，‎ ‎||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.‎ ‎11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：‎ ‎(1)CM∥平面PAD；‎ ‎(2)平面PAB⊥平面PAD.‎ 证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，‎ CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.‎ ‎∵PC⊥平面ABCD，‎ ‎∵∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，‎ ‎∴∠PBC＝30°，‎ ‎∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，‎ ‎∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，‎ ‎∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝.‎ ‎(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，‎ 由即 令y＝2，得n＝(－，2,1)．‎ ‎∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，‎ ‎∴n⊥.又CM⊄平面PAD，‎ ‎∴CM∥平面PAD.‎ ‎(2)解法一　由(1)知＝(0,4,0)，＝(2，0，－2)，‎ 设平面PAB的一个法向量为m＝(x0，y0，z0)，‎ 由即 令x0＝1，得m＝(1,0，)，‎ 又∵平面PAD的一个法向量n＝(－，2,1)，‎ ‎∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAD.‎ 解法二　取AP的中点E，连接BE，‎ 则E(，2,1)，＝(－，2,1)．‎ ‎∵PB＝AB，∴BE⊥PA.‎ 又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，‎ ‎∴⊥.∴BE⊥DA.‎ 又PA∩DA＝A，‎ ‎∴BE⊥平面PAD.‎ 又∵BE⊂平面PAB，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAD.‎