【数学】2020届一轮复习人教B版不等式、推理与证明课时作业(3) 12页

课时作业35　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎1．(2019·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为(　A　)‎ A．(－7,24) B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)‎ C．(－24,7) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)‎ 解析：由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)＜0，所以(a＋7)·(a－24)＜0，所以－7＜a＜24.‎ ‎2．(2018·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　C　)‎ A．6 B．19‎ C．21 D．45‎ 解析：由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．‎ 作出基本直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当直线经过点A(2,3)时，z取最大值，即zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C．‎ ‎3．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　B　)‎ A．－3 B．1‎ C． D．3‎ 解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，即m＞－1，由图知所围成的区域为△ABC及其内部，S△ABC＝S△ADC－S△BDC．‎ 易知点A的纵坐标为1＋m，点B的纵坐标为(1＋m)，C，D两点的横坐标分别为2，－2m，所以S△ABC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1.‎ ‎4．(2019·江西南昌NCS项目联考)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为(　C　)‎ A． B． C． D． 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，易知当直线y＝kx经过点A(2,1)时，k取得最小值，当直线y＝kx经过点C(1,2)时，k取得最大值2，可得实数k的取值范围为，故选C．‎ ‎5．(2019·广东肇庆一模)已知实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝(　A　)‎ A． B． C．1 D． 解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．‎ 由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，‎ 平移直线y＝－2x，‎ 由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的纵截距最小，此时z最小，为3，即2x＋y＝3.‎ 由 解得即A，‎ 又点A也在直线y＝－x＋b上，‎ 即＝－＋b，∴b＝.故选A．‎ ‎6．(2019·江西九江一模)实数x，y满足线性约束条件若z＝的最大值为1，则z的最小值为(　D　)‎ A．－ B．－ C． D．－ 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(－3,1)两点连线的斜率，当取点B(a,2a＋2)时，z取得最大值1，故＝1，解得a＝2，则C(2,0)．当取点C(2,0)时，z取得最小值，即zmin＝＝－.故选D．‎ ‎7．(2019·湖南湘东五校联考)已知实数x，y满足且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为(　A　)‎ A．5 B．3‎ C． D． 解析：如图，作出不等式组对应的平面区域，‎ 由z＝x＋y，‎ 得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，‎ 由图可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大，为6，即x＋y＝6.‎ 由得A(3,3)，‎ ‎∵直线y＝k过点A，∴k＝3.‎ ‎(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与D(－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于D(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离的平方．‎ 则(x＋5)2＋y2的最小值为2＝5，故选A．‎ ‎8．已知实数x，y满足若目标函数z＝ax＋by＋5(a＞0，b＞0)的最小值为2，则＋的最小值为(　D　)‎ A． B． C． D． 解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，对z＝ax＋by＋5(a＞0，b＞0)进行变形，可得y＝－x＋－，所以该直线的斜率为负数，当直线z＝ax＋by＋5(a＞0，b＞0)过点A时，z取得最小值，联立可求出交点A的坐标为(－2，－2)，所以－2a－2b ‎＋5＝2，整理得a＋b＝，所以＋＝(a＋b)·＝≥，当且仅当a＝b时取等号，故选D．‎ ‎9．(2019·兰州模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝2x·y的最大值为(　A　)‎ A．16 B．8‎ C．4 D．3‎ 解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．‎ 又z＝2x·y＝2x－y，‎ 令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4,0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax＝24－0＝16，故选A．‎ ‎10．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域 上的一个动点，则·的取值范围是[0,2]．‎ 解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图．‎ 其中C(0,2)，B(1,1)，D(1,2)．‎ 由z＝·＝－x＋y，得y＝x＋z.‎ 由图可知，当直线y＝x＋z分别过点C和B时，z分别取得最大值2和最小值0，所以·的取值范围为[0,2]．‎ ‎11．实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为21.‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝|x＋2y－4|＝×，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．‎ 由得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.‎ ‎12．(2019·郑州质检)已知x，y满足约束条件若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为5.‎ 解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，‎ 作直线l：3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，‎ 由解得 ‎∴2×3－1－m＝0，m＝5.‎ 由图知，平移l经过B点时，z最小，‎ ‎∴当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5.‎ ‎13．(2019·湖北武汉模拟)已知实数x，y满足约束条件若不等式(1－a)x2＋2xy＋(4－2a)y2≥0恒成立，则实数a的最大值为(　A　)‎ A． B． C． D． 解析：绘制不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，‎ 题中的不等式可化为a(x2＋2y2)≤x2＋2xy＋4y2，‎ 即a≤，‎ 设t＝，则a≤，‎ 由t＝及其几何意义可知，‎ 在点C(2,3)处取得最大值tmax＝，‎ 在线段AB上取得最小值tmin＝1，‎ 即t∈.‎ 故原问题可转化为求函数f(t)＝的最小值，整理函数的解析式得：‎ f(t)＝2×＝2× ‎＝2＋，‎ 令m＝t－，则≤m≤1，‎ 令g(m)＝m＋，则g(m)在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 且g＝2，g(1)＝，据此可得，当m＝，t＝1时，函数g(m)取得最大值，‎ 则此时函数f(t)取得最小值，最小值为f(1)＝＝.‎ 综上可知，实数a的最大值为，故选A．‎ ‎14．某蛋糕店每天计划生产蛋糕、面包、酥点这三种糕点共100份，生产一份蛋糕需5分钟，生产一份面包需7分钟，生产一份酥点需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一份蛋糕可获利润5元，生产一份面包可获利润6元，生产一份酥点可获利润3元．若用每天生产的蛋糕份数x与面包份数y表示每天的利润ω(元)，则ω的最大值为550元．‎ 解析：依题意每天生产的酥点份数为100－x－y，‎ 所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.‎ 约束条件为 整理得 目标函数为ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如图所示，‎ 作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，‎ 由得 所以最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元．‎ ‎15．(2019·安徽江南十校联考)已知实数x，y满足则z＝的取值范围为[0,1]．‎ 解析：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分，z＝表示区域内的点(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，lnx0)，kAP＝，‎ ‎∴＝，∴x0＝1，kAP＝1，‎ 即z＝的取值范围为[0,1]．‎ ‎16．已知点P(x，y)的坐标满足约束条件则的取值范围是(－，1]．‎ 解析：方法一　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B(－1，－1)，C(0,1)．‎ 设A(1,1)，向量，的夹角为θ，‎ ‎∵·＝x＋y，||＝，‎ ‎∴cosθ＝＝＝×，‎ 由图可知∠AOC≤θ＜∠AOB，‎ 即≤θ＜π，∴－1＜cosθ≤，‎ 即－1＜×≤，‎ ‎∴－＜≤1.‎ 方法二　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，‎ 其中B(－1，－1)，C(0,1)，‎ 设θ＝∠POx，‎ 则＝cosθ，＝sinθ，θ∈，‎ ‎∴＝cosθ＋sinθ＝sin.‎ ‎∵θ∈，∴θ＋∈，‎ ‎∴sin∈.‎ ‎∴∈(－，1]．‎