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- 2021-06-10 发布
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仿真模拟卷四
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x≥1},B={x|2x-3>0},则A∪B=( )
A.[0,+∞) B.[1,+∞)
C. D.
答案 B
解析 因为B={x|2x-3>0}=,A={x|x≥1},所以A∪B=[1,+∞).
2.已知复数z满足(1-i)z=2i(i为虚数单位),则=( )
A.-1-i B.-1+i
C.1+i D.1-i
答案 A
解析 由(1-i)z=2i,得z===-1+i,∴=-1-i.
3.设a,b是空间两条直线,则“a,b不平行”是“a,b是异面直线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a,b是异面直线⇒a,b不平行.反之,若直线a,b不平行,也可能相交,不一定是异面直线.
所以“a,b不平行”是“a,b是异面直线”的必要不充分条件.
4.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1
答案 A
解析 两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ,令m2=-1.45,m1=-26.7,则lg =(m2-m1)=×(-1.45+26.7)=10.1,从而=1010.1.
5.执行如图所示的程序框图,若输出结果为1,则可输入的实数x的值的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 根据题意,该框图的含义是:
当x≤2时,得到函数y=x2-1;当x>2时,得到函数y=log2x,
因此,若输出的结果为1时,
若x≤2,得到x2-1=1,解得x=±,
若x>2,得到log2x=1,无解,
因此,可输入的实数x的值可能为-,,共有2个.
6.安排A,B,C,D,E,F,共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,则安排方法共有( )
A.30种 B.40种 C.42种 D.48种
答案 C
解析 6名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有CC=90种安排方法,其中A照顾老人甲的情况有CC=30种,B照顾老人乙的情况有CC=30种,A照顾老人甲,同时B照顾老人乙的情况有CC=12种,所以符合题意的安排方法有90-30-30+12=42种.
7.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,则·=( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图,由AB=3,AD=4,得
BD==5,
AE==.
又·=·(+)
=·+·=·+·,
∵AE⊥BD,∴·=0,
又·=||||·cos∠EAO=||||·=||2=,∴·=.
8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为( )
A.8++ B.8++
C.6++ D.6++
答案 B
解析 由三视图可知,该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成,如图所示,
其中圆锥的底面半径为1,高为,母线长为2,四棱锥的底面是边长为2的正方形,高为,取BC的中点N,连接MN,PN,则该几何体的表面积为S=π×1×2+×π×12+2×2+2×+×2×=+8+.
9.若函数y=f(x)的大致图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
答案 C
解析 当x→0时,f(x)→±∞,而A中的f(x)→0,排除A;当x<0时,f(x)<0,而B中x<0时,f(x)=>0,D中,f(x)=>0,排除B,D.
10.已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[-1,4)
C.[-1,+∞) D.[-1,6]
答案 C
解析 不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,等价于a≥-22对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,令t=,则1≤t≤3,∴a≥t-2t2在[1,3]上恒成立,∵y=-2t2+t=-22+,∴t=1时,ymax=-1,
∴a≥-1,故a的取值范围是[-1,+∞).
11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,e为双曲线的离心率,P是双曲线右支上的点,△PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为B,则|OB|等于( )
A.a B.b C.ea D.eb
答案 A
解析 如图,延长F2B交PF1于点C,在△PCF2中,由题意,得它是一个等腰三角形,|PC|=|PF2|,B为CF2的中点,
∴在△F1CF2中,有|OB|=|CF1|=(|PF1|-|PC|)=(|PF1|-|PF2|)=×2a=a.
12.设min{m,n}表示m,n二者中较小的一个,已知函数f(x)=x2+8x+14,g(x)=min(x>0).若∀x1∈[-5,a](a≥-4),∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则a的最大值为( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.0
答案 C
解析 由题意得g(x)=
则g(x)max=g(1)=2.在同一坐标系作出函数f(x)(-5≤x≤a)和g(x)(x>0)的图象,如图所示.
由f(x)=2,得x=-6或-2,∵∀x1∈[-5,a],
∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,
∴-4≤a≤-2,∴a的最大值为-2.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知点P(x,y)满足条件则点P到原点O的最大距离为________.
答案
解析 画出表示的可行域如图阴影部分所示(含边界),
由得
由图得,当点P的坐标为(-5,3)时,点P到原点的距离最大,且最大值为=.
14.函数f(x)=·的最小正周期为________,最大值为________.
答案 π
解析 f(x)=·==cos,∴f(x)的最小正周期为T==π,最大值为.
15.从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答)
答案 168
解析 第一类,先选1女3男,有CC=8(种),从这4人中选2人作为队长和副队长有A=12(种),故有8×12=96(种);第二类,先选2女2男,有CC=6(种),从这4人中选2人作为队长和副队长有A=12(种),故有6×12=72(种),根据分类加法计数原理共有96+72=168(种).
16.如图,在△ABC中,sin=,点D在线段AC上,且AD=2DC,BD=,则△ABC的面积的最大值为________.
答案 3
解析 由sin=,可得cos=,
则sin∠ABC=2sincos=.
由sin=<可知,0°<<45°,
则0°<∠ABC<90°,
由同角三角函数基本关系可知,cos∠ABC=.
设AB=x,BC=y,AC=3z(x>0,y>0,z>0),
在△ABD中,由余弦定理可得,
cos∠BDA=,
在△CBD中,由余弦定理可得,
cos∠BDC=,
由∠BDA+∠BDC=180°,
故cos∠BDA=-cos∠BDC,
即=-,
整理可得16+6z2-x2-2y2=0. ①
在△ABC中,由余弦定理可知,
x2+y2-2xy×=(3z)2,
则6z2=x2+y2-xy,
代入①式整理计算可得,x2+y2+xy=16,
由基本不等式可得,
16≥2+xy=xy,
故xy≤9,当且仅当x=3,y=时等号成立,
据此可知,△ABC面积的最大值为Smax=(AB·BC)max·sin∠ABC=×9×=3.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知数列{an}满足:an≠1,an+1=2-(n∈N*),数列{bn}中,bn=,且b1,b2,b4成等比数列.
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)若Sn是数列{bn}的前n项和,求数列的前n项和Tn.
解 (1)证明:bn+1-bn=-=-=-=1,
∴数列{bn}是公差为1的等差数列.
(2)由题意可得b=b1b4,即(b1+1)2=b1(b1+3),∴b1=1,∴bn=n,
∴Sn=,∴==2,
Tn=2×
=2×=.
18.(本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目,邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼.“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成,成员上至古稀老人,下至垂髫小儿,人数按照年龄分组统计如下表:
分组(年龄)
[7,20)
[20,40)
[40,80]
频数(人)
18
54
36
(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战,求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数;
(2)在(1)中抽出的6人中,任选2人参加一对一的对抗比赛,求这2人来自同一年龄组的概率.
解 (1)∵样本容量与总体个数的比是=,
∴样本中包含3个年龄段的个体数,分别是:
年龄在[7,20)的人数为×18=1,
年龄在[20,40)的人数为×54=3,
年龄在[40,80]的人数为×36=2,
∴
从这三个不同年龄组[7,20),[20,40),[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2.
(2)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战,这三个不同年龄组[7,20),[20,40),[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2.
从抽出的6人中,任选2人参加一对一的对抗比赛,基本事件总数为n=C=15,
这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为m=C+C=4,
∴这2人来自同一年龄组的概率P==.
19.(本小题满分12分)如图,在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为棱A1B1与BB1的中点,M,N为线段C1D上的动点,其中,M更靠近D,且MN=C1N.
(1)证明:A1E⊥平面AC1D;
(2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为,求异面直线BM与NE所成角的余弦值.
解 (1)证明:由已知得△A1B1C1为正三角形,D为棱A1B1的中点,
∴C1D⊥A1B1,
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,C1D⊂底面A1B1C1,则AA1⊥C1D.
又A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1⊂平面ABB1A1,
∴C1D⊥平面ABB1A1,又A1E⊂平面ABB1A1,
∴C1D⊥A1E.
易证A1E⊥AD,又AD∩C1D=D,AD,C1D⊂平面AC1D,
∴A1E⊥平面AC1D.
(2)取BC的中点O,B1C1的中点O1,连接AO,则AO⊥BC,OO1⊥BC,OO1⊥AO,
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
则B(0,1,0),E(0,1,1),
C1(0,-1,2),D,
设=λ=,
则=-=(0,2,-1)-
=,
易知n=(1,0,0)是平面BCC1B1的一个法向量,
∴|cos〈,n〉|==,
解得λ=,λ=-(舍去).
∴=,=2λ=,
=+=,
∴cos〈,〉==-,
∴异面直线NE与BM所成角的余弦值为.
20.(本小题满分12分)已知A,F分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点、右焦点,点P为椭圆C上一动点,当PF⊥x轴时,|AF|=2|PF|.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若椭圆C上存在点Q,使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限),求直线AP与OQ的斜率之积;
(3)记圆O:x2+y2=为椭圆C的“关联圆”.若b=,过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线,切点为M,N,直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m,n,求证:+为定值.
解 (1)由PF⊥x轴,知xP=c,代入椭圆C的方程,
得+=1,解得yP=±.
又|AF|=2|PF|,所以a+c=,所以a2+ac=2b2,
即a2-2c2-ac=0,所以2e2+e-1=0,
由00,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点;
当a>0时,令f′(x)=-a>0得0,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以函数f(x)有极大值点为x=,无极小值点.
(2)由条件可得ln x-x2-ax≤0(x>0)恒成立,
则当x>0时,a≥-x恒成立,
令h(x)=-x(x>0),则h′(x)=,
令k(x)=1-x2-ln x(x>0),
则当x>0时,k′(x)=-2x-<0,所以k(x)在(0,+∞)上为减函数.
又k(1)=0,所以在(0,1)上,h′(x)>0;在(1,+∞)上,h′(x)<0.
所以h(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,所以h(x)max=h(1)=-1,所以a≥-1.
请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(其中t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中,直线l的极坐标方程为ρsin=.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)求直线l与曲线C的公共点P的极坐标.
解 (1)消去参数t,得曲线C的直角坐标方程x2-y2=4(x≥2).
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2-y2=4,得ρ2(cos2θ-sin2θ)=4.
所以曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4.
(2)将l与C的极坐标方程联立,消去ρ得4sin2=2cos2θ.
展开得3cos2θ-2sinθcosθ+sin2θ=2(cos2θ-sin2θ).
因为cosθ≠0,所以3tan2θ-2tanθ+1=0.
于是方程的解为tanθ=,即θ=.
代入ρsin=,得ρ=2,所以点P的极坐标为.
23.(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲]
已知x,y∈R+,x+y=4.
(1)要使不等式+≥|a+2|-|a-1|恒成立,求实数a的取值范围;
(2)求证:x2+2y2≥,并指出等号成立的条件.
解 (1)因为x,y∈R+,x+y=4,所以+=1.
由基本不等式,得
+==+≥+ =1,
当且仅当x=y=2时取等号.
要使不等式+≥|a+2|-|a-1|恒成立,
只需不等式|a+2|-|a-1|≤1成立即可.
构造函数f(a)=|a+2|-|a-1|,
则等价于解不等式f(a)≤1.
因为f(a)=
所以解不等式f(a)≤1,得a≤0.
所以实数a的取值范围为(-∞,0].
(2)证明:因为x,y∈R+,x+y=4,所以y=4-x(0