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  • 2021-06-10 发布

2020-2021学年人教A版数学必修3习题:模块综合评估

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模块综合评估 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题(每小题 5分,共 60分) 1.一个年级有 12个班,每个班有学生 50名,并从 1至 50排学 号,为了交流学习经验,要求每班学号为 14的同学留下进行交流, 这里采用的是( D ) A.随机数法 B.抽签法 C.分层抽样 D.系统抽样 解析:“每班学号为 14的同学留下”,即抽取的样本号码之间 是等距的,所以为系统抽样. 2.某赛季甲、乙两名篮球运动员都参加了 10场比赛,他们每场 比赛得分情况的茎叶图如图所示,则甲、乙两名运动员得分的中位数 分别为( B ) A.19,13 B.18,12 C.20,18 D.18,20 解 析 : 由 茎 叶 图 知 , 甲 的 10 场 比 赛 的 得 分 是 6,8,9,15,17,19,23,24,26,32,中位数为 17+19 2 =18;乙的 10 场比赛的 得分是 5,7,8,11,11,13,20,22,30,31,中位数为 11+13 2 =12,故选 B. 3.某产品分一等品、二等品和三等品,在正常的生产情况下, 一等品的概率是 90%,二等品的概率是 7%,则随机抽检一件产品不 是一等品的概率是( A ) A.10% B.90% C.7% D.3% 解析:记抽检的产品是一等品、二等品、三等品的事件分别为 A, B,C,则抽检的产品不是一等品的事件为 B∪C,P(A)=90%,P(B) =7%. 方法 1:由题意知 P(C)=1-P(A)-P(B)=3%,又事件 B,C互 斥,故 P(B∪C)=P(B)+P(C)=10%. 方法 2:记抽检的产品不是一等品的事件为 A ,则 A 与 A对立, 故 P( A )=1-P(A)=10%. 4.101110(2)转化为八进制数是( B ) A.46(8) B.56(8) C.67(8) D.78(8) 解析:∵101110(2)=1×25+1×23+1×22+1×2=46,46=8×5+ 6,5=8×0+5,∴46=56(8),故选 B. 5.在长为 12 cm的线段 AB上任取一点 C.现作一矩形,邻边长 分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为 ( C ) A.1 6 B.1 3 C.2 3 D.4 5 解析:设 AC=x cm,则 BC=(12-x) cm(020,解得 23 C.x>5,s2<3 D.x>5,s2>3 解析:由平均数和方差的计算公式可得 x=5,s2=1 9 (3×8+0)<3. 10.某单位为了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统 计了某 4天的用电量与当天气温的数据,并制作了对照表: 气温 x(℃) 18 13 10 -1 用电量 y(度) 24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程y ^ =-2x+a ^ ,预测当气温为-4℃ 时,用电量的度数为( A ) A.68 B.79 C.65 D.80 解析:易得数据的样本中心为(10,40),因为回归直线一定经过样 本中心,所以 40=-2×10+a ^ ,所以a ^ =60.于是当气温为-4℃时, 预测用电量的度数为y ^ =-2×(-4)+60=68. 11.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的 边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了割圆 术.利用割圆术,刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14,这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图, 则输出的 n为( B ) (参考数据: 3≈1.732,sin15°≈0.258 8,sin7.5°≈0.130 5) A.12 B.24 C.36 D.48 解析:运行程序框图:①S=1 2 ×6× 3 2 = 3 3 2 ≈2.598,n=12; ②S=1 2 ×12×sin30°=3,n=24;③S=1 2 ×24×sin15°≈3.105 6, 跳出循环. 12.丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻,则甲丙 相邻的概率为( A ) A.1 3 B.2 3 C.1 2 D.1 6 解析:4人排成一排,其中甲、乙相邻的情况有:(甲乙丙丁)、(甲 乙丁丙)、(丙甲乙丁)、(丁甲乙丙)、(丙丁甲乙)、(丁丙甲乙)、(乙甲 丁丙)、(乙甲丙丁)、(丙乙甲丁)、(丁乙甲丙)、(丙丁乙甲)、(丁丙乙 甲),共计 12种,其中甲丙相邻的只有 4种,所以甲乙相邻,则甲丙 相邻的概率为 P= 4 12 = 1 3 . 二、填空题(每小题 5分,共 20分) 13.某课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24个城市分成 甲、乙、丙三组,对应城市数分别为 4、12、8.若用分层抽样方法抽 取 6个城市,则甲组中应抽取的城市数为 1. 解析:甲组中应抽取的城市数为 6 24 ×4=1(个). 14.执行如图所示的程序框图,输出的 a值为- 1 3 . 解析:由程序框图可知,第一次循环 a=-2,i=2;第二次循环 a=- 1 3 ,i=3;第三次循环 a=1 2 ,i=4;第四次循环 a=3,i=5;第 五次循环 a=-2,i=6,所以周期为 4,当 i=11时,循环结束,输 出 a的值为- 1 3 . 15.为了解某省的城市中农民工的收入,甲、乙、丙三名同学利 用暑假时间分别对该省的三个城市进行了“农民工月收入”的调 查.他们将各自调查所得到的 1 000个数据分别绘制成频率分布直方 图(如图所示),若把月收入在 2 500元以上的称为达到中等收入,则 随机在该省城市农民工中抽取一人,他达到中等收入的概率约为 1 3 . 解析:由频率分布直方图可得这 3 000名农民工中达到中等收入 的频率为 0.4×1 000+0.3×1 000+0.3×1 000 3 000 = 1 3 ,由此估计所求概率 为 1 3 . 16.变量 y与 x有线性回归方程y ^ =b ^ x+a ^ ,现在将y ^ 的单位 由 cm变为 m,x的单位由 ms(1 ms=1.0×10-3 s)变为 s,则在新的回 归方程y ^ =b*x+a*中 a*=0.01a ^ .(用含有a ^ ,b ^ 的代数式表示) 解析:由错误!且y ^ 的值变为原来的 10-2,x的值变为原来的 10-3 可得 a*的值应为原来的 10-2. 三、解答题(本题共 6小题,共 70分.解答应写出必要的文字说 明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题 10分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的 抽样调查中,随机抽取了 100名电视观众,相关的数据如下表所示: 文艺节目 新闻节目 总计 20至 40岁 40 18 58 大于 40岁 15 27 42 总计 55 45 100 (1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有 关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5名,则大 于 40岁的观众应该抽取几名? (3)在上述抽取的 5名观众中任取 2名,求恰有 1名观众的年龄在 20至 40岁的概率. 解:(1)由于大于 40 岁的 42 人中有 27 人收看新闻节目,而 20 至 40岁的 58人中,只有 18人收看新闻节目,故收看新闻节目的观 众与年龄有关. (2)27× 5 45 =3(名),∴大于 40岁的观众应抽取 3名. (3)由题意设抽取的 5名观众中,年龄在 20至 40岁的为 a1,a2, 大于 40岁的为 b1,b2,b3,从中随机取 2名,基本事件有(a1,a2), (a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2), (b1,b3),(b2,b3),共 10个,设恰有 1名观众年龄在 20至 40岁为事 件 A,则 A中含有基本事件 6个:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2, b1),(a2,b2),(a2,b3),∴P(A)= 6 10 = 3 5 . 18.(本小题 12分)甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种 零件,现在从中各抽测 10个,它们的尺寸分别为(单位:mm) 甲:10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1 乙:10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10 分别计算上面两个样本的平均数与方差.如果图纸上的设计尺寸 为 10 mm,从计算结果看,用哪台机床加工这种零件较合适? 解:由题中数据计算得 x 甲= 1 10 (10.2+10.1+10.9+…+10.1)= 10, x 乙= 1 10 (10.3+10.4+9.6+…+10)=10, s2甲= 1 10 [(10.2-10)2+(10.1-10)2+…+(10.1-10)2]=0.228, s2乙= 1 10 [(10.3-10)2+(10.4-10)2+…+(10-10)2]=0.06,所以 x 甲= x 乙=10,s2甲>s2乙, 所以乙比甲稳定,用乙较合适. 19.(本小题 12 分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1个球,每个小球被取出的 可能性相等. (1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率. (2)求取出的两个球上标号之和能被 3整除的概率. 解:设从甲、乙两个盒子中各取出 1个球,编号分别为 x,y.用(x, y)表示抽取结果,结果有以下 16种: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). (1)取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下 6 种:(1,2), (2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),故所求概率为 6 16 = 3 8 , 即取出的两个球上标号为相邻整数的概率是 3 8 . (2)取出的两个球上标号之和能被 3 整除的结果为(1,2),(2,1), (2,4),(3,3),(4,2),共 5种,故所求概率为 5 16 , 即取出的两个球上标号之和能被 3整除的概率为 5 16 . 20.(本小题 12分)某城市理论预测 2016年到 2020年人口总数(单 位:十万)与年份的关系如下表所示: 年份 2016+x 0 1 2 3 4 人口总数 y 5 7 8 11 19 (1)请画出上表数据的散点图. (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y关于 x的回归方 程y ^ =b ^ x+a ^ . (3)据此估计 2021年该城市人口总数. (参考数据:0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132,02+12+22 +32+42=30) 解析: (1)根据题中数表画出数据的散点图如图所示. (2)由题中数表,知 x =1 5 (0+1+2+3+4)=2, y =1 5 (5+7+8+ 11+19)=10. 所以b ^ =错误!=3.2,a ^ = y -b ^ x =3.6.所以回归方程为y ^ = 3.2x+3.6. (3)当 x=5时,y ^ =3.2×5+3.6=19.6(十万)=196(万). 答:估计 2021年该城市人口总数约为 196万. 21.(本小题 12分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动,在 [25,55]岁的人群中随机抽取 n人进行了一次生活习惯是否符合低碳 生活的调查,若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”,否则称为 “非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图: 组数 分组 “低碳族”的人数 占本组的频率 第一组 [25,30) 120 0.6 第二组 [30,35) 195 p 第三组 [35,40) 100 0.5 第四组 [40,45) a 0.4 第五组 [45,50) 30 0.3 第六组 [50,55] 15 0.3 (1)补全频率分布直方图,并求 n,a,p的值; (2)从年龄在[40,50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取 6人参加户外低碳体验活动,其中选取 2人作为领队,求选取的 2名 领队中恰有 1人年龄在[40,45)岁的概率. 解:(1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5= 0.3,所以 频率 组距 = 0.3 5 =0.06. 频率分布直方图如下: 第一组的人数为 120 0.6 =200,频率为 0.04×5=0.2,所以 n=200 0.2 = 1 000. 因为第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1 000×0.3=300, 所以 p=195 300 =0.65. 第四组的频率为 0.03×5= 0.15,所以第四组的人数为 1 000×0.15=150,所以 a=150×0.4=60. (2)因为年龄在[40,45)岁的“低碳族”与[45,50)岁的“低碳族” 的人数的比为 60∶30=2∶1,所以采用分层抽样法抽取 6人,[40,45) 中有 4人,[45,50)中有 2人.设[40,45)中的 4人为 a,b,c,d,[45,50) 中的 2人为 m,n,则选取 2人作为领队的情况有(a,b),(a,c),(a, d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c, m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n),共 15种,其中恰有 1人年龄 在[40,45)岁的情况有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c, n),(d,m),(d,n),共 8种,所以选取的 2名领队中恰有 1人年龄 在[40,45)岁的概率 P= 8 15 . 22.(本小题 12分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出 1 到 5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)若以 A表示和为 6的事件,求 P(A); (2)现连玩三次,若以 B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至 少赢两次的事件,试问 B与 C是否为互斥事件?为什么? (3)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 解:(1)∵基本事件总数为 25,事件 A包含的基本事件数共 5个: (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),∴P(A)= 5 25 = 1 5 . (2)B与 C不是互斥事件. ∵事件 B与 C可以同时发生,例如甲赢一次,乙赢两次. (3)这种游戏规则不公平. 由(1)知和为偶数的基本事件为 13个,∴甲嬴的概率为 13 25 ,乙嬴 的概率为 12 25 .∴这种游戏规则不公平.