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- 2021-06-10 发布
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模块综合评估
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(每小题 5分,共 60分)
1.一个年级有 12个班,每个班有学生 50名,并从 1至 50排学
号,为了交流学习经验,要求每班学号为 14的同学留下进行交流,
这里采用的是( D )
A.随机数法 B.抽签法 C.分层抽样 D.系统抽样
解析:“每班学号为 14的同学留下”,即抽取的样本号码之间
是等距的,所以为系统抽样.
2.某赛季甲、乙两名篮球运动员都参加了 10场比赛,他们每场
比赛得分情况的茎叶图如图所示,则甲、乙两名运动员得分的中位数
分别为( B )
A.19,13 B.18,12 C.20,18 D.18,20
解 析 : 由 茎 叶 图 知 , 甲 的 10 场 比 赛 的 得 分 是
6,8,9,15,17,19,23,24,26,32,中位数为
17+19
2
=18;乙的 10 场比赛的
得分是 5,7,8,11,11,13,20,22,30,31,中位数为
11+13
2
=12,故选 B.
3.某产品分一等品、二等品和三等品,在正常的生产情况下,
一等品的概率是 90%,二等品的概率是 7%,则随机抽检一件产品不
是一等品的概率是( A )
A.10% B.90% C.7% D.3%
解析:记抽检的产品是一等品、二等品、三等品的事件分别为 A,
B,C,则抽检的产品不是一等品的事件为 B∪C,P(A)=90%,P(B)
=7%.
方法 1:由题意知 P(C)=1-P(A)-P(B)=3%,又事件 B,C互
斥,故 P(B∪C)=P(B)+P(C)=10%.
方法 2:记抽检的产品不是一等品的事件为 A ,则 A 与 A对立,
故 P( A )=1-P(A)=10%.
4.101110(2)转化为八进制数是( B )
A.46(8) B.56(8) C.67(8) D.78(8)
解析:∵101110(2)=1×25+1×23+1×22+1×2=46,46=8×5+
6,5=8×0+5,∴46=56(8),故选 B.
5.在长为 12 cm的线段 AB上任取一点 C.现作一矩形,邻边长
分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为
( C )
A.1
6
B.1
3
C.2
3
D.4
5
解析:设 AC=x cm,则 BC=(12-x) cm(020,解得 23 C.x>5,s2<3 D.x>5,s2>3
解析:由平均数和方差的计算公式可得 x=5,s2=1
9
(3×8+0)<3.
10.某单位为了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统
计了某 4天的用电量与当天气温的数据,并制作了对照表:
气温 x(℃) 18 13 10 -1
用电量 y(度) 24 34 38 64
由表中数据得线性回归方程y
^
=-2x+a
^
,预测当气温为-4℃
时,用电量的度数为( A )
A.68 B.79 C.65 D.80
解析:易得数据的样本中心为(10,40),因为回归直线一定经过样
本中心,所以 40=-2×10+a
^
,所以a
^
=60.于是当气温为-4℃时,
预测用电量的度数为y
^
=-2×(-4)+60=68.
11.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的
边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了割圆
术.利用割圆术,刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值
3.14,这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,
则输出的 n为( B )
(参考数据: 3≈1.732,sin15°≈0.258 8,sin7.5°≈0.130 5)
A.12 B.24 C.36 D.48
解析:运行程序框图:①S=1
2
×6× 3
2
=
3 3
2
≈2.598,n=12;
②S=1
2
×12×sin30°=3,n=24;③S=1
2
×24×sin15°≈3.105 6,
跳出循环.
12.丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻,则甲丙
相邻的概率为( A )
A.1
3
B.2
3
C.1
2
D.1
6
解析:4人排成一排,其中甲、乙相邻的情况有:(甲乙丙丁)、(甲
乙丁丙)、(丙甲乙丁)、(丁甲乙丙)、(丙丁甲乙)、(丁丙甲乙)、(乙甲
丁丙)、(乙甲丙丁)、(丙乙甲丁)、(丁乙甲丙)、(丙丁乙甲)、(丁丙乙
甲),共计 12种,其中甲丙相邻的只有 4种,所以甲乙相邻,则甲丙
相邻的概率为 P= 4
12
=
1
3
.
二、填空题(每小题 5分,共 20分)
13.某课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24个城市分成
甲、乙、丙三组,对应城市数分别为 4、12、8.若用分层抽样方法抽
取 6个城市,则甲组中应抽取的城市数为 1.
解析:甲组中应抽取的城市数为
6
24
×4=1(个).
14.执行如图所示的程序框图,输出的 a值为-
1
3
.
解析:由程序框图可知,第一次循环 a=-2,i=2;第二次循环
a=-
1
3
,i=3;第三次循环 a=1
2
,i=4;第四次循环 a=3,i=5;第
五次循环 a=-2,i=6,所以周期为 4,当 i=11时,循环结束,输
出 a的值为-
1
3
.
15.为了解某省的城市中农民工的收入,甲、乙、丙三名同学利
用暑假时间分别对该省的三个城市进行了“农民工月收入”的调
查.他们将各自调查所得到的 1 000个数据分别绘制成频率分布直方
图(如图所示),若把月收入在 2 500元以上的称为达到中等收入,则
随机在该省城市农民工中抽取一人,他达到中等收入的概率约为
1
3
.
解析:由频率分布直方图可得这 3 000名农民工中达到中等收入
的频率为
0.4×1 000+0.3×1 000+0.3×1 000
3 000
=
1
3
,由此估计所求概率
为
1
3
.
16.变量 y与 x有线性回归方程y
^
=b
^
x+a
^
,现在将y
^
的单位
由 cm变为 m,x的单位由 ms(1 ms=1.0×10-3 s)变为 s,则在新的回
归方程y
^
=b*x+a*中 a*=0.01a
^
.(用含有a
^
,b
^
的代数式表示)
解析:由错误!且y
^
的值变为原来的 10-2,x的值变为原来的 10-3
可得 a*的值应为原来的 10-2.
三、解答题(本题共 6小题,共 70分.解答应写出必要的文字说
明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题 10分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的
抽样调查中,随机抽取了 100名电视观众,相关的数据如下表所示:
文艺节目 新闻节目 总计
20至 40岁 40 18 58
大于 40岁 15 27 42
总计 55 45 100
(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有
关?
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5名,则大
于 40岁的观众应该抽取几名?
(3)在上述抽取的 5名观众中任取 2名,求恰有 1名观众的年龄在
20至 40岁的概率.
解:(1)由于大于 40 岁的 42 人中有 27 人收看新闻节目,而 20
至 40岁的 58人中,只有 18人收看新闻节目,故收看新闻节目的观
众与年龄有关.
(2)27× 5
45
=3(名),∴大于 40岁的观众应抽取 3名.
(3)由题意设抽取的 5名观众中,年龄在 20至 40岁的为 a1,a2,
大于 40岁的为 b1,b2,b3,从中随机取 2名,基本事件有(a1,a2),
(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),
(b1,b3),(b2,b3),共 10个,设恰有 1名观众年龄在 20至 40岁为事
件 A,则 A中含有基本事件 6个:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,
b1),(a2,b2),(a2,b3),∴P(A)= 6
10
=
3
5
.
18.(本小题 12分)甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种
零件,现在从中各抽测 10个,它们的尺寸分别为(单位:mm)
甲:10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1
乙:10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10
分别计算上面两个样本的平均数与方差.如果图纸上的设计尺寸
为 10 mm,从计算结果看,用哪台机床加工这种零件较合适?
解:由题中数据计算得 x
甲=
1
10
(10.2+10.1+10.9+…+10.1)=
10,
x
乙=
1
10
(10.3+10.4+9.6+…+10)=10,
s2甲=
1
10
[(10.2-10)2+(10.1-10)2+…+(10.1-10)2]=0.228,
s2乙=
1
10
[(10.3-10)2+(10.4-10)2+…+(10-10)2]=0.06,所以 x
甲= x
乙=10,s2甲>s2乙,
所以乙比甲稳定,用乙较合适.
19.(本小题 12 分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4
的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1个球,每个小球被取出的
可能性相等.
(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率.
(2)求取出的两个球上标号之和能被 3整除的概率.
解:设从甲、乙两个盒子中各取出 1个球,编号分别为 x,y.用(x,
y)表示抽取结果,结果有以下 16种:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),
(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(1)取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下 6 种:(1,2),
(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),故所求概率为
6
16
=
3
8
,
即取出的两个球上标号为相邻整数的概率是
3
8
.
(2)取出的两个球上标号之和能被 3 整除的结果为(1,2),(2,1),
(2,4),(3,3),(4,2),共 5种,故所求概率为
5
16
,
即取出的两个球上标号之和能被 3整除的概率为
5
16
.
20.(本小题 12分)某城市理论预测 2016年到 2020年人口总数(单
位:十万)与年份的关系如下表所示:
年份 2016+x 0 1 2 3 4
人口总数 y 5 7 8 11 19
(1)请画出上表数据的散点图.
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y关于 x的回归方
程y
^
=b
^
x+a
^
.
(3)据此估计 2021年该城市人口总数.
(参考数据:0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132,02+12+22
+32+42=30)
解析:
(1)根据题中数表画出数据的散点图如图所示.
(2)由题中数表,知 x =1
5
(0+1+2+3+4)=2, y =1
5
(5+7+8+
11+19)=10.
所以b
^
=错误!=3.2,a
^
= y -b
^ x =3.6.所以回归方程为y
^
=
3.2x+3.6.
(3)当 x=5时,y
^
=3.2×5+3.6=19.6(十万)=196(万).
答:估计 2021年该城市人口总数约为 196万.
21.(本小题 12分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动,在
[25,55]岁的人群中随机抽取 n人进行了一次生活习惯是否符合低碳
生活的调查,若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”,否则称为
“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图:
组数 分组 “低碳族”的人数 占本组的频率
第一组 [25,30) 120 0.6
第二组 [30,35) 195 p
第三组 [35,40) 100 0.5
第四组 [40,45) a 0.4
第五组 [45,50) 30 0.3
第六组 [50,55] 15 0.3
(1)补全频率分布直方图,并求 n,a,p的值;
(2)从年龄在[40,50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取
6人参加户外低碳体验活动,其中选取 2人作为领队,求选取的 2名
领队中恰有 1人年龄在[40,45)岁的概率.
解:(1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=
0.3,所以
频率
组距
=
0.3
5
=0.06.
频率分布直方图如下:
第一组的人数为
120
0.6
=200,频率为 0.04×5=0.2,所以 n=200
0.2
=
1 000.
因为第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1 000×0.3=300,
所以 p=195
300
=0.65.
第四组的频率为 0.03×5= 0.15,所以第四组的人数为 1
000×0.15=150,所以 a=150×0.4=60.
(2)因为年龄在[40,45)岁的“低碳族”与[45,50)岁的“低碳族”
的人数的比为 60∶30=2∶1,所以采用分层抽样法抽取 6人,[40,45)
中有 4人,[45,50)中有 2人.设[40,45)中的 4人为 a,b,c,d,[45,50)
中的 2人为 m,n,则选取 2人作为领队的情况有(a,b),(a,c),(a,
d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,
m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n),共 15种,其中恰有 1人年龄
在[40,45)岁的情况有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,
n),(d,m),(d,n),共 8种,所以选取的 2名领队中恰有 1人年龄
在[40,45)岁的概率 P= 8
15
.
22.(本小题 12分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出 1
到 5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)若以 A表示和为 6的事件,求 P(A);
(2)现连玩三次,若以 B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至
少赢两次的事件,试问 B与 C是否为互斥事件?为什么?
(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
解:(1)∵基本事件总数为 25,事件 A包含的基本事件数共 5个:
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),∴P(A)= 5
25
=
1
5
.
(2)B与 C不是互斥事件.
∵事件 B与 C可以同时发生,例如甲赢一次,乙赢两次.
(3)这种游戏规则不公平.
由(1)知和为偶数的基本事件为 13个,∴甲嬴的概率为
13
25
,乙嬴
的概率为
12
25
.∴这种游戏规则不公平.