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- 2021-06-10 发布
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第2讲 用样本估计总体
[基础题组练]
1.把样本容量为20的数据分组,分组区间与频数如下:[10,20),2;[20,30),3;[30,40),4;[40,50),5;[50,60),4;[60,70],2,则在区间[10,50)上的数据的频率是( )
A.0.05 B.0.25
C.0.5 D.0.7
解析:选D.由题知,在区间[10,50)上的数据的频数是2+3+4+5=14,故其频率为=0.7.
2.(2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( )
A.中位数 B.平均数
C.方差 D.极差
解析:选A.记9个原始评分分别为a,b,c,d,e,f,g,h,i(按从小到大的顺序排列),易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数,故不变的数字特征是中位数,故选A.
3.(2020·陕西咸阳模拟检测(二))PM2.5是衡量空气质量的重要指标,我国采用世界卫生组织的最宽值限定值,即PM2.5日均值在35 μg/m3以下空气质量为一级,在35~75μg/m3空气质量为二级,超过75 μg/m3为超标.如图是某地12月1日至10日的PM2.5(单位:μg/m3)的日均值,则下列说法不正确的是( )
A.这10天中有3天空气质量为一级
B.从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低
C.这10天中PM2.5日均值的中位数是55
D.这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日
解析:选C.这10天中第一天,第三天和第四天,共3天空气质量为一级,所以A正确;
从题图可知从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低,所以B正确;
从题图可知,这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日,所以D正确;
由题图可知,这10天中PM2.5日均值的中位数是=43,
所以C不正确.故选C.
4.甲、乙两组数的数据如茎叶图所示,则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是( )
A.极差 B.方差
C.平均数 D.中位数
解析:选C.由题中茎叶图中数据的分布,可知方差不同,极差不同,
甲的中位数为=18.5,乙的中位数为=16,
甲==,
乙==,
所以甲、乙的平均数相同.故选C.
5.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目的选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是 .
解析:由题表中数据可知,丙的平均环数最高,且方差最小,说明技术稳定,且成绩好.
答案:丙
6.对某市“四城同创”
活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:
(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为 ;
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为 .
解析:设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.则志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5×(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数约为0.55×800=440.
答案:(1)0.04 (2)440
7.某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分),为了分析这次数学测验的成绩,从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表,请根据表中提供的信息解决下列问题:
成绩分组
频数
频率
平均分
[0,20)
3
0.015
16
[20,40)
a
b
32.1
[40,60)
25
0.125
55
[60,80)
c
0.5
74
[80,100]
62
0.31
88
(1)求a、b、c的值;
(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人,试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注:60分及60分以上为及格);
(3)试估计这次数学测验的年级平均分.
解:(1)由题意可得,b=1-(0.015+0.125+0.5+0.31)=0.05,a=200×0.05=10,c=200×0.5=100.
(2)根据已知,在抽出的200人的数学成绩中,及格的有162人.所以P==0.81.
(3)这次数学测验样本的平均分为
==73,
所以这次数学测验的年级平均分大约为73分.
8.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制图如下:
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:
甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.
(1)根据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;
(2)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
解:(1)甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为36,众数为33.
(2)根据题图中数据,可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30=4 860(元),易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136,147,154,189,203,
所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为×(136×1+147×3+154×2+189×3+203×1)×30=165.5×30=4 965(元).
[综合题组练]
1.(2020·安徽五校联盟第二次质检)数据a1,a2,a3,…,an的方差为σ2,则数据2a1,2a2,2a3,…,2an的方差为( )
A. B.σ2
C.2σ2 D.4σ2
解析:选D.设a1,a2,a3,…,an的平均数为a,则2a1,2a2,2a3,…,2an的平均数为2a,σ2=.
则2a1,2a2,2a3,…,2an的方差为=4×=4σ2.故选D.
2.(2020·郑州市第二次质量预测)将甲、乙两个篮球队各5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图,由图可知以下结论正确的是( )
A.甲队平均得分高于乙队的平均得分
B.甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数
C.甲队得分的方差大于乙队得分的方差
D.甲、乙两队得分的极差相等
解析:选C.由题中茎叶图得,甲队的平均得分甲==29,乙队的平均得分乙==30,甲<乙,选项A不正确;甲队得分的中位数为29,乙队得分的中位数为30,甲队得分的中位数小于乙队得分的中位数,选项B不正确;甲队得分的方差s=×[(26-29)2+(28-29)2+(29-29)2+(31-29)2+(31-29)2]=,乙队得分的方差s=×[(28-30)2+(29-30)2+(30-30)2+(31-30)2+(32-30)2]=2,s>s,选项C正确;甲队得分的极差为31-26=5,乙队得分的极差为32-28=4,两者不相等,选项D不正确.故选C.
3.(2020·沈阳市质量监测(一))某篮球运动员的投篮命中率为50%,他想提高自己的投篮水平,制定了一个夏季训练计划,为了了解训练效果,执行训练前,他统计了10场比赛的得分,计算出得分的中位数为15,平均得分为15,得分的方差为46.3.执行训练后也统计了10场比赛的得分,茎叶图如图所示:
(1)请计算该篮球运动员执行训练后统计的10场比赛得分的中位数、平均得分与方差;
(2)如果仅从执行训练前后统计的各10场比赛得分数据分析,你认为训练计划对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助?为什么?
解:(1)训练后得分的中位数为=14.5;
平均得分为=15;
方差为[(8-15)2+(9-15)2+(12-15)2+(14-15)2+(14-15)2+(15-15)2+(16-15)2+(18-15)2+(21-15)2+(23-15)2]=20.6.
(2)尽管中位数训练后比训练前稍小,但平均得分一样,训练后方差20.6小于训练前方差46.3,说明训练后得分稳定性提高了(阐述观点合理即可),这是投篮水平提高的表现.故此训练计划对该篮球运动员的投篮水平的提高有帮助.
4.(2020·广州市调研测试)某蔬果经销商销售某种蔬果,售价为每千克25元,成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去,未售出的全部降价以每千克10元处理完.根据以往的销售情况,按[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500]进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数(同一组中的数据用该组区间中点值代表);
(2)该经销商某天购进了250千克该种蔬果,假设当天的需求量为x千克(0≤x≤500),利润为y元.求y关于x的函数关系式,并结合频率分布直方图估计利润y不小于1 750元的概率.
解:(1)=50×0.001 0×100+150×0.002 0×100+250×0.003 0×100+350×0.002 5×100+450×0.001 5×100=265.
故该种蔬果日需求量的平均数为265千克.
(2)当日需求量不低于250千克时,利润y=(25-15)×250=2 500(元),
当日需求量低于250千克时,利润y=(25-15)x-(250-x)×5=15x-1 250(元),
所以y=,
由y≥1 750,得200≤x≤500,
所以P(y≥1 750)=P(200≤x≤500)=0.003 0×100+0.002 5×100+0.001 5×100=0.7.
故估计利润y不小于1 750元的概率为0.7.