【数学】2021届一轮复习人教A版函数的单调性与最值作业 4页

第 2 节 函数的单调性与最值 1．(2019·阜阳市模拟)给定函数：①y＝x1 2 ，②y＝log1 2 (x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝ 2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：B [①y＝x 1 2 在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1 在(0,1)上递增，且 0＜1 2 ＜1，故 y ＝log1 2 (x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知 y＝|x－1|在(0,1)上递减； ④∵u＝x＋1 在(0,1)上递增，且 2＞1，故 y＝2x＋1 在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单 调递减的函数序号是②③.] 2．已知函数 f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5 在区间(－∞，3)上是减函数，则 a 的取值范围 是( ) A. 0，3 4 B. 0，3 4 C. 0，3 4 D. 0，3 4 解析：D [当 a＝0 时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数； 当 a≠0 时，由 a>0 －4 a－3 4a ≥3 ，得 00 时，g(x)在[ a，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数， ∴g(x)在(1，＋∞)上一定是增函数．] 6．(2019·日照一模)已知奇函数 f(x)为 R 上的减函数，若 f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则 实数 a 的取值范围是________． 解析：∵奇函数 f(x)为 R 上的减函数， ∴不等式 f(3a2)＋f(2a－1)≥0， 等价为 f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)， 即 3a2≤1－2a，即 3a2＋2a－1≤0，得(a＋1)(3a－1)≤0，得－1≤a≤1 3 ，即实数 a 的取 值范围是 －1，1 3 . 答案： －1，1 3 7．设函数 f(x)＝ax＋1 x＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么 a 的取值范围是________． 解析：f(x)＝ax＋2a2－2a2＋1 x＋2a ＝a－2a2－1 x＋2a ， 定义域为(－∞，－2a)∪(－2a，＋∞)， ∵函数 f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数， ∴ 2a2－1＞0 －2a≤－2 即 2a2－1＞0 a≥1 ，解得 a≥1. 答案：[1，＋∞) 8．已知函数 f(x)＝ x3，x≤0， ln x＋1 ，x>0， 若 f(2－x2)>f(x)，则实数 x 的取值范围是 ________． 解析：函数 y＝x3 在(－∞，0]上是增函数，函数 y＝ln (x＋1)在(0，＋∞)上是增函数， 且 x>0 时，ln (x＋1)>0，所以 f(x)在 R 上是增函数，由 f(2－x2)>f(x)，得 2－x2>x，解得 －20 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围． 解：(1)证明：任取 x10，x1－x2<0， ∴f(x1)0，x2－x1>0， ∴要使 f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0 恒成立，∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1]． 10．(2019·西安模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1， ②当 x>0 时，f(x)>－1. (1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数． (2)若 f(1)＝1，解关于 x 的不等式 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4. 解：(1)令 x＝y＝0 得 f(0)＝－1. 在 R 上任取 x1>x2，则 x1－x2>0，f(x1－x2)>－1. 又 f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以，函数 f(x)在 R 上是单调 增函数． (2)由 f(1)＝1，得 f(2)＝3，f(3)＝5. 由 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4 得 f(x2＋x＋1)>f(3)， 又函数 f(x)在 R 上是增函数，故 x2＋x＋1>3，解得 x<－2 或 x>1， 故原不等式的解集为{x|x<－2，或 x>1}．