高二数学教案：第18讲 空间平面与平面位置关系 12页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 空间平面与平面位置关系 教学内容 ‎1. 掌握空间两个平面的位置关系；‎ ‎2. 理解二面角及其平面角的概念；‎ ‎3. 能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎（一）两个平面平行的判定 ‎1.平面内一条直线与平面平行，能否判断？ 不能 ‎2.平面内两条直线与平面平行，能否判断？ 不能 ‎3.平面内无数条直线与平面平行，能否判断？ 不能 通过画图说明，引出同一平面上的两条相交直线平行能证明两平面平行。‎ ‎（二）二面角的平面角：‎ ‎（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角 ‎（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是 的平面角 二面角的平面角范围是 ‎ 练习：‎ ‎1、已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案：D ‎2．设直线l, m, 平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )‎ ‎①lα,mα,且l∥β,m∥β；②lα,mα,且l∥m；③l∥α,m∥β,且l∥m A 1个 B 2个 C 3个 D 0个 答案：D ‎3．下列命题中为真命题的是（ ）‎ A 平行于同一条直线的两个平面平行 ‎ B 垂直于同一条直线的两个平面平行 ‎ C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．‎ ‎ D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．‎ 答案：B ‎4．下列命题中正确的是( B )‎ ‎①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行； ‎ ‎③垂直于同一直线的两个平面平行； ④与同一直线成等角的两个平面平行 A ①② B ②③ C ③④ D ②③④‎ 答案：B ‎5． 下列命题中正确的是 （填序号）；‎ ‎①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ‎ ‎②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；‎ ‎③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；‎ ‎④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ；‎ 答案：②‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 如图，已知边长为的等边三角形所在平面外有一点P，使，求二面角的大小.‎ ‎【说明】 ①求二面角的步骤：作—证—算—答.‎ ‎②引导学生掌握解题可操作性的通法（定义法和线面垂直法）.‎ 答案：‎ 试一试：若二面角的大小为，P在平面上，点P到的距离为h，求点P到棱的距离.‎ 答案：2‎ 例2. 如图，在长方体中, , 为中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的大小．‎ A B C E D A1‎ D1‎ B1‎ C1‎ ‎（1）因为CO=，AO=1 所以 。 ‎ ‎（2）因为O、E为中点，所以OE//CD，所以的大小即为异面直线 AE与CD所成角。 ‎ 在直角三角形AEO中，，所以异面直线AE与CD所成角的大小为 例2. 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.‎ ‎ （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；‎ ‎ （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°‎ ‎【答案】:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积 为从而只要算出四棱锥的高就行了. ‎ 面ABCD,‎ ‎ ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，‎ ‎ ∴PA⊥DA，‎ ‎ ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，‎ ‎ ∠PAB=60°. ‎ ‎ 而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,‎ ‎ . ‎ ‎（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.‎ ‎ 作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，‎ ‎ 是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.‎ ‎ 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，‎ ‎ ‎ ‎ 在 ‎ 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.‎ 试一试：如图，直三棱柱ABC-A1B‎1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.‎ ‎（1）求证：AB1⊥平面CED；‎ ‎（2）求二面角B1—AC—B的平面角.‎ ‎【答案】:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.‎ ‎∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；‎ ‎（2）连结B‎1C，易证B‎1C⊥AC，又BC⊥AC , ‎ ‎∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.‎ 在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,‎ ‎∴∠B‎1AC=600‎ ‎∴， ∴,‎ ‎∴ , ∴.‎ 例3. 如图a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB=‎ ‎（1）求三棱锥D—ABC的体积；‎ ‎（2）求二面角D—AC—B的大小； ‎ ‎【答案】（1） 过D向平面做垂线，垂足为O，连结OA并延长至E. ‎ 为二面角a—l—的平面角..‎ 是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=‎ ‎（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且 ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10，求它到棱的距离．‎ 答案：‎ ‎2. 把边长为的正方形以为轴折叠，使二面角成的二面角，求两点的距离．‎ 答案：‎ ‎3. 已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。‎ ‎（1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。‎ 求证：；‎ ‎（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。‎ 解：设正四棱柱的高为。‎ ‎（1）连，底面于，‎ ‎∴ 与底面所成的角为，即 ‎∵ ，为中点，∴，又，‎ ‎∴ 是二面角的平面角，即 ‎∴ ，。‎ ‎（2）连，， .‎ 一方面，‎ ‎.‎ 则四面体的体积. ‎ 另一方面，设正四棱柱的体积为，三棱锥的体积为，‎ 则. ‎ 据此，得 解得高. ‎ ‎4. 已知三棱锥，平面，， ，．‎ ‎（1）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎（2）把△（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积 ‎（1）设的中点，联结，，易知在等腰三角形、中，，，故为二面角的平面角． ‎ 在等腰△中，由及，得．‎ 由平面，得．‎ 在△中，． ‎ 故二面角的大小为．‎ ‎（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为，高为． ‎ 该圆锥的体积．‎ ‎5. 已知：四棱锥，底面是边长为2的菱形，平面，且，，，分别是，的中点．‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎（1）‎ ‎（2）取AC的中点O，连接FO，F为中点，且，‎ 又平面，平面． ‎ 过O作于G，则就是二面角的平面角． ‎ 由，，得二面角的大小为 ‎ ‎ 本节课主要知识点：两平面平行的性质及判定方法，二面角的做法及求解。‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1. 如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上.‎ ‎（Ⅰ）证明：⊥；‎ ‎（Ⅱ）已知，，，.求二面角的大小.‎ ‎【解析】：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）在平面内作得平面，所以，‎ 在中，得 在中，，‎ 在中，‎ 所以得，‎ 在中，得 又从而故 同理，因为所以即二面角的大小为 ‎2. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且.‎ ‎(Ⅰ)求证：‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ 解析：（1）由已知可得 于是有 所以 又所以平面CEF.‎ 由CEF，故CF ‎（2）在△CEF中，由（1）可得 ‎ 于是有所以CF⊥EF.‎ ‎ 又由（1）知，且，所以CF⊥平面C1EF.‎ 又平面C1EF，故CF⊥C‎1F.‎ 于是∠EFC1即为二面角E-CF-C1的平面角.‎ 由（1）知△CEF是等腰直角三角形，所以∠EFC1=450，即所求二面角E-CF-C1的大小为450.‎ ‎【预习思考】‎ 小练习：‎ ‎1. 直线3x+4y+1=0的一个方向向量=( ), 一个法向量=( )‎ ‎2. 直线ax+by+c=0,ab<0,则直线的斜率k= ,倾斜角α= ‎ ‎3. 若直线3x－2y+a=0与直线6x－4y+3=0平行,则a的取值范围是 ‎ ‎4. 已知直线x+y=0与直线y=kx+1的夹角为60°,则k= ‎ ‎5. 圆心为(3,－2),且经过点(1,－3)的圆的标准方程是 ‎ ‎6. 抛物线y2=4x上任一点M与点A(0,－1)的连线的中点轨迹方程是 ‎ ‎7. 方程表示焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是 ‎ ‎8. 若(x－2i)y=y+i,x、y∈R,i为虚数单位,到= ‎ ‎9. 计算：= ‎ ‎10. 求= ‎