【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(10) 7页

‎(六十七)‎ ‎1．抛物线x2＝y的焦点到准线的距离是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．1‎ C. D. 答案　D 解析　抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p＝，故选D.‎ ‎2．过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　)‎ A．y2＝－x或x2＝y B．y2＝x或x2＝y C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y 答案　A 解析　设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，∴y2＝－x或x2＝y，选A.‎ ‎3．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0，1)，则a＝(　　)‎ A．1 B. C．2 D. 答案　D 解析　因为抛物线的标准方程为x2＝y，所以其焦点坐标为(0，)，则有＝1，a＝，故选D.‎ ‎4．抛物线y＝4x2关于直线x－y＝0对称的抛物线的准线方程是(　　)‎ A．y＝－1 B．y＝－ C．x＝－1 D．x＝－ 答案　D 解析　抛物线x2＝y的准线方程为y＝－，关于x＝y对称的准线方程x＝－为所求．‎ ‎5．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 答案　A 解析　由题意知抛物线的准线方程为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.‎ ‎6．(2019·江西吉安一中期中)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x12－y2－x22＝(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．10‎ 答案　D 解析　∵|AF|－|BF|＝2，∴y1＋1－(y2＋1)＝2，∴y1－y2＝2，所以y1＋x12－y2－x22＝5(y1－y2)＝10，故选D.‎ ‎7．(2019·衡水中学调研卷)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝4x B．y2＝36x C．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32x 答案　C 解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P(x0，±6)．因为P到抛物线的焦点F(，0)的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋＝10　①.因为P在抛物线上，所以36＝2px0　②.由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.‎ ‎8．(2019·吉林长春调研测试)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A. B．2‎ C. D．3‎ 答案　B 解析　由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，‎ 即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2，故选B.‎ ‎9．(2019·合肥质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为(　　)‎ A．± B．±1‎ C．± D．± 答案　A 解析　设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入抛物线方程可得yM＝±p，则直线MF的斜率为＝＝±，选项A正确．‎ ‎10．(2019·太原一模)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．2p 答案　A 解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(，0)，则(x1－，y1)＋(x2－，y2)＋(x3－，y3)＝(0，0)，故y1＋y2＋y3＝0.∵＝＝＝，同理可知＝，＝，∴＋＋＝＝0.‎ ‎11．(2019·南昌市二模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，P是抛物线上一点，若|PF|＝5，则△PKF的面积为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．8 D．10‎ 答案　A 解析　由抛物线y2＝4x，知＝1，则焦点F(1，0)．设点P(，y0)，则由|PF|＝5，得＝5，解得y0＝±4，所以S△PKF＝×p×|y0|＝×2×4＝4，故选A.‎ ‎12．(2019·沧州七校联考)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 答案　C 解析　方法一：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.‎ 又点F的坐标为(，0)，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)(x－)＋(y－y0)y＝0.‎ 将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.‎ 由y02＝2px0，得16＝2p(5－)，解之得p＝2或p＝8.‎ 所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.‎ 方法二：由已知得抛物线的焦点F(，0)，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝(，－2)，＝(，y0－2)．‎ 由已知得，·＝0，即y02－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M(，4)．‎ 由抛物线定义可知：|MF|＝＋＝5.‎ 又p>0，解得p＝2或p＝8，故选C.‎ ‎13．(2019·福建闽侯三中期中)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________．‎ 答案　 解析　设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝.设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.‎ ‎14．(2019·黑龙江大庆一模)已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y2＝4x的准线相切，则m＝________．‎ 答案　 解析　圆x2＋y2＋mx－＝0圆心为(－，0)，半径r＝，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1.由|－＋1|＝，得m＝.‎ ‎15．(2019·湖北恩施一中开学考)长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上滑动，‎ 则线段AB中点M到y轴距离的最小值是________．‎ 答案　 解析　设抛物线y2＝x的焦点为F，准线为l，点A，B，M在l上的射影分别为点C，D，N，连接AC，BD，MN，如图．由梯形的中位线定理，可得|MN|＝(|AC|＋|BD|)．连接AF，BF，根据抛物线的定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|＋|BF|≥|AB|，当且仅当点F在AB上时取等号，∴|AC|＋|BD|≥|AB|＝2，∴|MN|＝(|AC|＋|BD|)≥|AB|＝1.‎ 设点M的横坐标为a，抛物线y2＝x的准线方程为x＝－，则|MN|＝a＋≥1，解得a≥.‎ 因此，当且仅当线段AB为经过抛物线焦点的弦时，AB的中点M到y轴的距离最小值为.‎ ‎16．抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为5，求此抛物线方程．‎ 答案　y2＝4x 解析　设抛物线y2＝2px(p>0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y＝－x.‎ 解方程组可得点A的坐标为(，p)；‎ 解方程组可得点B的坐标为(8p，－4p)．‎ ‎∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5，‎ ‎∴(＋p2)＋(64p2＋16p2)＝325.‎ ‎∴p＝2，∴所求的抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎17．(2018·上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O，A，B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米．‎ ‎ ‎ ‎(1)求抛物线的焦点到准线的距离；‎ ‎(2)在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB，DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到0.01°)．‎ 答案　(1)　(2)9.59°‎ 解析　(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为y轴，建系．‎ ‎∴B(1.5，－4.5)．‎ 设抛物线方程为x2＝－2py.‎ 点B(1.5，－4.5)在抛物线上．‎ ‎∴p＝.∴焦点到准线距离为.‎ ‎(2)如图，C为DE中点，OC∥SD，∴O为SE中点．‎ SC⊥DE，OC＝4.5，∴SE＝2OC＝9.‎ DE＝AB＝3，∴CE＝1.5.‎ ‎∴sin∠CSE＝＝≈0.167.‎ ‎∴∠SCE≈9.59°.∴圆锥的母线与轴的夹角约为9.59°.‎ ‎18.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由．‎ 解析　建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(－3，－3)，B(3，－3)．‎ 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，‎ 将B点坐标代入得9＝－2p·(－3)，‎ 所以p＝.所以抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．‎ 因为车与箱共高4.5 m，‎ 所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.‎ 设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，则x02＝，‎ 所以|x0|＝＝，所以2|x0|＝<3，故此车不能通过隧道．‎