高考数学复习专题练习第2讲 直接证明与间接证明 6页

第2讲 直接证明与间接证明 一、选择题 ‎1．设a，b∈R，则“a＋b＝‎1”‎是“4ab≤‎1”‎的 (　　)．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若“a＋b＝‎1”‎，则4ab＝‎4a(1－a)＝－42＋1≤1；若“4ab≤‎1”‎，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝‎1”‎不成立；则“a＋b＝‎1”‎是“4ab≤‎1”‎的充分不必要条件．‎ 答案　A ‎2．对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中真命题是 ‎(　　)．‎ A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊂α，n∥α，则m∥n D．若m，n与α所成的角相等，则m∥n 解析　对于平面α和共面的直线m，n，真命题是“若m⊂α，n∥α，则m∥n”．‎ 答案　C ‎3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明 (　　)．‎ A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0‎ C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0‎ 解析　因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.‎ 答案　D ‎4．设a，b是两个实数，给出下列条件：‎ ‎①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.‎ 其中能推出：“a，b中至少有一个大于‎1”‎的条件是 (　　)．‎ A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤‎ 解析　若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；‎ 若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；‎ 对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，‎ 反证法：假设a≤1且b≤1，‎ 则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，‎ 因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.‎ 答案　C ‎5．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)． ‎ A．都大于2 B．都小于2‎ C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2‎ 解析　∵a＞0，b＞0，c＞0，‎ ‎∴＋＋＝＋＋‎ ≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.‎ 答案　D ‎6．如果△A1B‎1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B‎2C2的三个内角的正弦值，则 (　　)．‎ A．△A1B‎1C1和△A2B‎2C2都是锐角三角形 B．△A1B‎1C1和△A2B‎2C2都是钝角三角形 C．△A1B‎1C1是钝角三角形，△A2B‎2C2是锐角三角形 D．△A1B‎1C1是锐角三角形，△A2B‎2C2是钝角三角形 解析　由条件知，△A1B‎1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B‎1C1是锐角三角形，假设△A2B‎2C2是锐角三角形．‎ 不妨令得 那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为π相矛盾．‎ 所以假设不成立，所以△A2B‎2C2是钝角三角形．‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________________________．‎ 解析　“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．‎ 答案　a，b中没有一个能被5整除 ‎8．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．‎ 解析　取a＝2，b＝1，得m0，显然成立．‎ 答案　m