高科数学专题复习课件：第十二章 12_5二项分布及其应用 79页

§12.5 　 二项分布及其应用 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 条件概率及其性质 知识梳理 (1) 一般地，设 A ， B 为两个事件，且 P ( A )>0 ，称 P ( B | A ) ＝ 为 在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生 的 . 在古典概型中，若用 n ( A ) 表示事件 A 中基本事件的个数，则 P ( B | A ) ＝ . (2) 条件概率具有的性质 ① ； ② 如果 B 和 C 是两个互斥事件， 则 P ( B ∪ C | A ) ＝ . 条件概率 0 ≤ P ( B | A ) ≤ 1 P ( B | A ) ＋ P ( C | A ) (1) 设 A ， B 为两个事件，若 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) ，则称事件 A 与 事件 B_____ ———— . ( 2) 若 A 与 B 相互独立，则 P ( B | A ) ＝ ， P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B | A ) ＝ . (3) 若 A 与 B 相互独立， 则 ， ， 也 都相互独立 . 2. 相互独立事件 相互 独立 P ( B ) P ( A ) P ( B ) (1) 一般地，在相同条件下重复做的几次试验 称为 . (2) 一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，则 P ( X ＝ k ) ＝ . 此时称随机变量 X 服从 ， 记 为 ， 并称 p 为成功概率 . 3. 二项分布 n 次独立重复试验 二项分布 X ～ B ( n ， p ) 超几何分布与二项分布的区别 (1) 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； (2) 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取 ( 独立重复 ). 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 条件概率一定不等于它的非条件概率 .( 　　 ) (2) 相互独立事件就是互斥事件 .( 　　 ) (3) 对于任意两个事件，公式 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) 都成立 .( 　　 ) (4) 二项分布是一个概率分布，其公式相当于 ( a ＋ b ) n 二项展开式的通项公式，其中 a ＝ p ， b ＝ 1 － p .( 　　 ) (5) P ( B | A ) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率， P ( AB ) 表示事件 A ， B 同时发生的概率 .( 　　 ) 思考辨析 × × × × √ 考点自测 1. 袋中有 3 红 5 黑 8 个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率 为 答案 解析 第一次摸出红球，还剩 2 红 5 黑共 7 个小球， 2.( 教材改编 ) 小王通过英语听力测试的概率 是 ， 他连续测试 3 次 ， 那么 其中恰有 1 次获得通过的概率是 答案 解析 3.(2015· 课标全国 Ⅰ ) 投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试 . 已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率 为 A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 答案 解析 投中 3 次的概率为 P ( k ＝ 3) ＝ 0.6 3 ， 4. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75 ，连续两天为优良的概率是 0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ________. 答案 解析 已知连续两天为优良的概率是 0.6 ， 那么 在前一天空气质量为优良的前提下， 要求随后一天的空气质量为优良的概率 ， 可 根据条件概率公式， 0.8 5.( 教材改编 ) 国庆节放假，甲去北京旅游的概率 为 ， 乙去北京旅游的概率 为 ， 假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为 ________. 答案 解析 记在国庆期间 “ 甲去北京旅游 ” 为事件 A ， “ 乙去北京旅游 ” 为事件 B ， “ 甲、乙二人至少有一人去北京旅游 ” 的对立事件为 “ 甲、乙二人都不去北京旅游 ” ， 题型分类　深度剖析 题型一　条件概率 例 1 　 (1) 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为 “ 取到的 2 个数之和为偶数 ” ，事件 B 为 “ 取到的 2 个数均为偶数 ” ，则 P ( B | A ) 等于 答案 解析 (2) 如图所示， EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形， 将一粒豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件 “ 豆子落在正方形 EFGH 内 ” ， B 表示事件 “ 豆子落在扇形 OHE ( 阴影部分 ) 内 ” ，则 P ( B | A ) ＝ ____. 答案 解析 AB 表示事件 “ 豆子落在 △ OEH 内 ” ， 引申 探究 解答 1. 若将本例 (1) 中的事件 B ： “ 取到的 2 个数均为偶数 ” 改为 “ 取到的 2 个数均为奇数 ” ，则结果如何？ 2. 在本例 (2) 的条件下，求 P ( A | B ). 解答 条件概率的求法 (1) 定义法：先求 P ( A ) 和 P ( AB ) ，再由 P ( B | A ) ＝ 求 P ( B | A ). (2) 基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n ( A ) ，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n ( AB ) ，得 P ( B | A ) ＝ . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (2016· 开封模拟 ) 已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为 答案 解析 方法一 　设事件 A 为 “ 第 1 次抽到的是螺口灯泡 ” ，事件 B 为 “ 第 2 次抽到的是卡口灯泡 ” ， 方法二 　第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡， 例 2 　 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T ， T 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下： 解答 题型二　相互独立事件的概率 T ( 分钟 ) 25 30 35 40 频数 ( 次 ) 20 30 40 10 (1) 求 T 的分布列； 由统计结果可得 T 的频率分布为 T ( 分钟 ) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得 T 的分布列为 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 (2) 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率 . 解答 设 T 1 ， T 2 分别表示往、返所需时间， T 1 ， T 2 的取值相互独立 ， 且 与 T 的分布列相同， 设事件 A 表示 “ 刘教授共用时间不超过 120 分钟 ” ， 由于 讲座时间为 50 分钟 ， 所以 事件 A 对应于 “ 刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟 ”. 方法一 　 P ( A ) ＝ P ( T 1 ＋ T 2 ≤ 70) ＝ P ( T 1 ＝ 25 ， T 2 ≤ 45) ＋ P ( T 1 ＝ 30 ， T 2 ≤ 40) ＋ P ( T 1 ＝ 35 ， T 2 ≤ 35) ＋ P ( T 1 ＝ 40 ， T 2 ≤ 30) ＝ 0.2 × 1 ＋ 0.3 × 1 ＋ 0.4 × 0.9 ＋ 0.1 × 0.5 ＝ 0.91. 方法二 　 P ( ) ＝ P ( T 1 ＋ T 2 ＞ 70) ＝ P ( T 1 ＝ 35 ， T 2 ＝ 40) ＋ P ( T 1 ＝ 40 ， T 2 ＝ 35) ＋ P ( T 1 ＝ 40 ， T 2 ＝ 40) ＝ 0.4 × 0.1 ＋ 0.1 × 0.4 ＋ 0.1 × 0.1 ＝ 0.09 ， 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1) 首先判断几个事件的发生是否相互独立 . (2) 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ① 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； ② 正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 ( 2017· 青岛 月考 ) 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度 . 不超过 22 千米的地铁票价如下表： 解答 乘坐里程 x ( 单位： km) 0< x ≤ 6 6< x ≤ 12 12< x ≤ 22 票价 ( 单位：元 ) 3 4 5 ( 1) 求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率； 则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 (2) 设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量 ξ ，求 ξ 的分布列 . 解答 由题意可知， ξ ＝ 6,7,8,9,10 ， 所以 ξ 的分布列为 ξ 6 7 8 9 10 P 题型三　独立重复试验与二项分布 命题点 1 　根据独立重复试验求概率 例 3 　 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束 . 除第五局甲队获胜的概率 是 外 ，其余每局比赛甲队获胜的概率 都是 . 假设各局比赛结果相互独立 . (1) 分别求甲队以 3 ∶ 0,3 ∶ 1,3 ∶ 2 胜利的概率； 解答 设 “ 甲队以 3 ∶ 0,3 ∶ 1,3 ∶ 2 胜利 ” 分别为事件 A ， B ， C ， (2) 若比赛结果为 3 ∶ 0 或 3 ∶ 1 ，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3 ∶ 2 ，则胜利方得 2 分，对方得 1 分 . 求乙队得分 X 的分布列 . 解答 X 的可能取值为 0,1,2,3 ， 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 命题点 2 　根据独立重复试验求二项分布 例 4 　 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分 ( 即获得－ 200 分 ). 设每次击鼓出现音乐的概率 为 ， 且各次击鼓出现音乐相互独立 . (1) 设每盘游戏获得的分数为 X ，求 X 的分布列； 解答 X 可能的取值为 10,20,100 ，－ 200. 根据题意，有 所以 X 的分布列为 X 10 20 100 － 200 P (2) 玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解答 设 “ 第 i 盘游戏没有出现音乐 ” 为事件 A i ( i ＝ 1,2,3) ， 所以 “ 三盘游戏中至少有一盘出现音乐 ” 的概率为 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1) 在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率 . (2) 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (2016· 沈阳模拟 ) 某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖 . 甲、乙、丙三名老师都有 “ 获奖 ” 、 “ 待定 ” 、 “ 淘汰 ” 三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都 为 ， 且三人投票相互没有影响 . 若投票结果中至少有两张 “ 获奖 ” 票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖 . (1) 求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； 解答 设 “ 某节目的投票结果是最终获一等奖 ” 这一事件为 A ， 则 事件 A 包括：该节目可以获两张 “ 获奖 ” 票 ， 或者 获三张 “ 获奖 ” 票 . (2) 求该节目投票结果中所含 “ 获奖 ” 和 “ 待定 ” 票票数之和 X 的分布列 . 解答 所含 “ 获奖 ” 和 “ 待定 ” 票票数之和 X 的值为 0,1,2,3. 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 典例 　 (1) 中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率 是 ， 乙夺得冠军的概率 是 ， 那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 ________. (2) 某射手每次射击击中目标的概率 都是 ， 这名射手射击 5 次，有 3 次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是 ________. 独立 事件与互斥事件 现场纠错 系列 18 错解展示 现场纠错 纠错心得 (1) 搞清事件之间的关系，不要混淆 “ 互斥 ” 与 “ 独立 ”. (2) 区分独立事件与 n 次独立重复试验 . 返回 ∵ A 、 B 是互斥事件， (2) 设 “ 第 i 次射击击中目标 ” 为事件 A i ( i ＝ 1,2,3,4,5) ， “ 射手在 5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标 ” 为事件 A ，则 返回 课时作业 1. 把一枚硬币连续抛两次，记 “ 第一次出现正面 ” 为事件 A ， “ 第二次出现正面 ” 为事件 B ，则 P ( B | A ) 等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 2.(2016· 长春模拟 ) 一袋中有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P ( X ＝ 12) 等于 答案 解析 √ “ X ＝ 12 ” 表示第 12 次取到红球，前 11 次有 9 次取到红球， 2 次取到白球， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 已知 A ， B 是两个相互独立事件， P ( A ) ， P ( B ) 分别表示它们发生的概率，则 1 － P ( A ) P ( B ) 是下列哪个事件的 概率 A. 事件 A ， B 同时发生 B. 事件 A ， B 至少有一个发生 C. 事件 A ， B 至多有一个发生 D. 事件 A ， B 都不发生 答案 解析 √ P ( A ) P ( B ) 是指 A ， B 同时发生的概率 ， 1 － P ( A )· P ( B ) 是 A ， B 不同时发生的概率， 即事件 A ， B 至多有一个发生的概率 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 “ 甲命中目标 ” 为事件 A ， “ 乙命中目标 ” 为事件 B ， “ 丙命中目标 ” 为事件 C ， 则击中目标表示事件 A ， B ， C 中至少有一个发生 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ ∵ 函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 4 x ＋ X 存在零点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 6.(2016· 安徽黄山屯溪一中月考 ) 甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球， 3 个白球和 3 个黑球 . 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A 1 ， A 2 和 A 3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 答案 解析 B. 事件 B 与事件 A 1 相互独立 D. P ( B ) 的值不能确定，它与 A 1 ， A 2 ， A 3 中哪一个发生都有关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 由题意 A 1 ， A 2 ， A 3 是两两互斥的事件， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由此知 A ， D 不正确 . 故选 C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ X ～ B (2 ， p ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 答案 解析 灯泡甲亮满足的条件是 a ， c 两个开关都开， b 开关必须断开，否则短路 . 设 “ a 闭合 ” 为事件 A ， “ b 闭合 ” 为事件 B ， “ c 闭合 ” 为事件 C ， 则甲灯亮应为事件 AC ，且 A ， B ， C 之间彼此独立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 设事件 A 发生的概率为 p ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(2016· 荆州质检 ) 把一枚硬币任意抛掷三次，事件 A ＝ “ 至少一次出现反面 ” ，事件 B ＝ “ 恰有一次出现正面 ” ，则 P ( B | A ) ＝ ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择 . 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏 . (1) 求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 “ 这 4 个人中恰有 k 人去参加甲游戏 ” 为事件 A k ( k ＝ 0,1,2,3,4). 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； 解答 设 “ 这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 ” 为事件 B ， 则 B ＝ A 3 ∪ A 4 . 由于 A 3 与 A 4 互斥，故 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 用 X ， Y 分别表示这 4 个人中去参加甲，乙游戏的人数，记 ξ ＝ | X － Y | ，求随机变量 ξ 的分布列 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A 1 与 A 3 互斥， A 0 与 A 4 互斥，故 所以 ξ 的分布列是 ξ 0 2 4 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.(2016· 西安模拟 ) 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 作物产量 (kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格 ( 元 /kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (1) 设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 A 表示事件 “ 作物产量为 300 kg ” ， B 表示事件 “ 作物市场价格为 6 元 /kg ” ， 300 × 10 － 1 000 ＝ 2 000,300 × 6 － 1 000 ＝ 800. 由题设知 P ( A ) ＝ 0.5 ， P ( B ) ＝ 0.4 ， 因为利润＝产量 × 市场价格－成本 . 所以 X 所有可能的取值为 500 × 10 － 1 000 ＝ 4 000,500 × 6 － 1 000 ＝ 2 000 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ＝ (1 － 0.5) × 0.4 ＋ 0.5 × (1 － 0.4) ＝ 0.5 ， 故 X 的分布列为 P ( X ＝ 800) ＝ P ( A ) P ( B ) ＝ 0.5 × 0.4 ＝ 0.2 ， X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 C i 表示事件 “ 第 i 季利润不少于 2 000 元 ” ( i ＝ 1,2,3) ， P ( C 1 C 2 C 3 ) ＝ P ( C 1 ) P ( C 2 ) P ( C 3 ) ＝ 0.8 3 ＝ 0.512 ； 由题意知 C 1 ， C 2 ， C 3 相互独立，由 (1) 知， P ( C i ) ＝ P ( X ＝ 4 000) ＋ P ( X ＝ 2 000) ＝ 0.3 ＋ 0.5 ＝ 0.8( i ＝ 1,2,3) ， 3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为 3 季中有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0.512 ＋ 0.384 ＝ 0.896. ＝ 3 × 0.8 2 × (1 － 0.8) ＝ 0.384 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下 ( 假设各场比赛相互独立 ) ： 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场 1 22 12 客场 1 18 8 主场 2 15 12 客场 2 13 12 主场 3 12 8 客场 3 21 7 主场 4 23 8 客场 4 18 15 主场 5 24 20 客场 5 25 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率； 根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场，分别是主场 2 ，主场 3 ，主场 5 ，客场 2 ，客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (2) 从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6 ，一场不超过 0.6 的概率 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 记事件 A 为 “ 在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6 ” ， 根据投篮统计数据， P ( A ) ＝ 0.6 ， P ( B ) ＝ 0.4. 事件 B 为 “ 在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6 ” ， 事件 C 为 “ 在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过 0.6 ，一场不超过 0.6 ”. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6 ，一场不超过 0.6 的概率为 0.52. ＝ 0.6 × 0.6 ＋ 0.4 × 0.4 ＝ 0.52. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13