【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第五章第3讲平面向量的数量积及应用举例作业 7页

‎1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m). 若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)‎ A．2　　　　　　　 B． C．0 D．－ 解析：选B．因为a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，‎ 又a·b＝××cos，‎ 所以3＋m＝××cos，所以m＝.‎ ‎2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|＝(　　)‎ A．3 B．2‎ C． D． 解析：选D.(a－3b)2＝|a|2－6a·b＋9|b|2＝1－6cos 60°＋9＝7，所以|a－3b|＝，故选D.‎ ‎3．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为(　　)‎ A．－ B．－ C． D． 解析：选A．依题意得e1·e2＝1×1×cos＝－，‎ ‎|a|＝＝＝，‎ a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝‎ ‎－，因此b在a方向上的投影为＝＝－，故选A．‎ ‎4．(2019·郑州质量预测)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上．若·＝3，则·的值为(　　)‎ A．0 B． C．－4 D．4‎ 解析：选C．＝2⇒||＝||＝.设与的夹角为α，·＝3⇒||cos α＝1⇒| ‎|＝1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0，3)，F(，1)，E.因此＝(，－2)，·＝×－2×3＝2－6＝－4，故选C．‎ ‎5．如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于(　　)‎ A．13 B．7‎ C．5 D．3‎ 解析：选C．连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5.‎ ‎6．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________．‎ 解析：由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.‎ 答案：－ ‎7．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为________．‎ 解析：因为m＋n＝(2λ＋3，3)，‎ m－n＝(－1，－1)，所以由(m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0，即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，则m＝(－2，1)，n＝(－1，2)，所以cos〈m，n〉＝＝.‎ 答案： ‎8．(2017·高考天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．‎ 解析：因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因为＝λ－，所以·＝·(λ－)＝－2＋λ2＋·，因为∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，所以·＝－×9＋λ×4＋×3×2×＝－3＋λ＋λ－2＝－4，解得λ＝.‎ 答案： ‎9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ 解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，‎ 所以64－4a·b－27＝61，‎ 所以a·b＝－6，‎ 所以cos θ＝＝＝－.‎ 又0≤θ≤π，所以θ＝π.‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.‎ ‎(3)因为与的夹角θ＝π，‎ 所以∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ 所以S△ABC＝||||·sin∠ABC＝×4×3×＝3.‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长．‎ ‎(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ 解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．‎ 所以|＋|＝2，|－|＝4.‎ 故所求的两条对角线的长分别为4，2.‎ ‎(2)由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．‎ 由(－t)·＝0，得：‎ ‎(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，‎ 从而5t＝－11，所以t＝－.‎ 或者：·＝t2，＝(3，5)，‎ t＝＝－.‎ ‎1. (2017·高考浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)‎ A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2‎ C．I3 ＜ I1＜I2 D．I2＜I1＜I3‎ 解析：选C．如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOI3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，所以OB·，即I1>I3.所以I3b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.‎ 故向量在方向上的投影为 ‎||cos B＝ccos B＝1×＝.‎ ‎6．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ 解：(1)因为m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)，‎ 所以＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)，‎ 所以||＝＝2.‎ ‎(2)因为＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，‎ 所以 两式相减，得m－n＝y－x.‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.‎