【数学】2020届一轮复习（理）通用版12-2直接证明与间接证明、数学归纳法作业 5页

课时跟踪检测（六十八） 直接证明与间接证明、数学归纳法 ‎1．(2019·山西十二校模拟)用反证法证明命题“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)‎ A．a，b都能被5整除　　 　B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 解析：选B　用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而至少有一个能被5整除的否定是都不能被5整除，故作的假设是“a，b都不能被5整除”．‎ ‎2．分析法又称执果索因法，已知x＞0，用分析法证明＜1＋时，索的因是(　　)‎ A．x2＞2 B．x2＞4‎ C．x2＞0 D．x2＞1‎ 解析：选C　因为x＞0，‎ 所以要证＜1＋，‎ 只需证()2＜2，即证0＜，‎ 即证x2＞0，‎ 因为x＞0，所以x2＞0成立，故原不等式成立．‎ ‎3．(2019·玉溪模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证(　　)‎ A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 解析：选B　由数学归纳法的证明步骤可知，假设n＝k(k≥2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝k＋2时等式成立．‎ ‎4．若用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n3＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)‎ A．k3＋1‎ B．(k＋1)3‎ C. D．(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3‎ 解析：选D　当n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k3，当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k3＋(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3，增加了(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3.故选D.‎ ‎5．(2019·大连一模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：选A　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，‎ 由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，‎ 则f(x1)＋f(x2)＜0.‎ ‎6．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)‎ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析：选A　因为≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，故f≤f()≤f，即A≤B≤C.‎ ‎7．设n∈N，则－与－的大小关系是(　　)‎ A.－＞－ B.－＜－ C.－＝－ D．不能确定 解析：选B　由题意知，(－)－(－)＝(＋)－ (＋)，‎ 因为(＋)2－(＋)2‎ ‎＝2[－]‎ ‎＝2(－)＜0，‎ 所以－＜－.‎ ‎8．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a＋，b＋，c＋三个数(　　)‎ A．都大于6 B．至少有一个不大于6‎ C．都小于6 D．至少有一个不小于6‎ 解析：选D　假设a＋，b＋，c＋都小于6，‎ ‎ 则a＋＋b＋＋c＋＜18, ‎ 利用基本不等式，可得a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝8＋4＋6＝18，‎ 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，‎ 所以a＋，b＋，c＋三个数至少有一个不小于6.‎ ‎9．如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是__________________．‎ 解析：a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.‎ 答案：a≥0，b≥0且a≠b ‎10．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.‎ 解析：由(S1－1)2＝S，得S1＝；‎ 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；‎ 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.‎ 猜想Sn＝.‎ 答案： ‎11．(2019·德州一模)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是________三角形．‎ 解析：由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．‎ 由得 那么A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为π相矛盾．‎ 所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．‎ 所以△A2B2C2是钝角三角形．‎ 答案：钝角 ‎12．已知a＞b＞0，则①＜；②ac2＞bc2；③a2＞b2；④＞，其中正确的序号是________．‎ 解析：对于①，因为a＞b＞0，所以ab＞0，＞0，a·＞b·，即＞，故①正确；‎ 当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．‎ 答案：①③④‎ ‎13．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：＞8.‎ 证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，‎ 所以－1＝＝＞， ①‎ －1＝＝＞， ②‎ －1＝＝＞， ③‎ 又x，y，z为正数，由①×②×③，‎ 得＞8.‎ ‎14．设a＞0，b＞0，且a2＋b2＝＋.证明：a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．‎ 证明：假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，‎ 则有a2＋a＋b2＋b＜4.‎ 而由a2＋b2＝＋得a2b2＝1，‎ 因为a＞0，b＞0，‎ 所以ab＝1.‎ 因为a2＋b2≥2ab＝2(当且仅当a＝b＝1等号成立)，‎ a＋b≥2＝2(当且仅当a＝b＝1等号成立)，‎ 所以a2＋a＋b2＋b≥2ab＋2＝4(当且仅当a＝b＝1等号成立)，这与假设矛盾，故假设错误．‎ 所以a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．‎ ‎15．已知数列{xn}满足x1＝，且xn＋1＝(n∈N*)‎ ‎(1)用数学归纳法证明：0＜xn＜1；‎ ‎(2)设an＝，求数列{an}的通项公式．‎ 解：(1)证明：①当n＝1时，x1＝∈(0,1)，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥‎ ‎1)时，结论成立，即xk∈(0,1)，‎ 则当n＝k＋1时，xk＋1＝，‎ 因为xk∈(0,1)，所以2－xk＞0，即xk＋1＞0.‎ 又因为xk＋1－1＝＜0，所以0＜xk＋1＜1.‎ 综合①②可知0＜xn＜1.‎ ‎(2)由xn＋1＝可得＝＝－1，‎ 即an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)．‎ 令bn＝an－1，‎ 则bn＋1＝2bn，又b1＝a1－1＝－1＝1，‎ 所以{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，即bn＝2n－1，所以an＝2n－1＋1.‎