【数学】2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业 7页

‎2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业 ‎ ‎1、中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）‎ A．30种 B．50种 C．60种 D．90种 ‎2、已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为（ ）‎ A．12 B．24 C．36 D．48‎ ‎3、的展开式中，常数项为( )‎ A．－15 B．16 C．15 D．－16‎ ‎4、已知 ，则（ ）‎ A．18 B．24 C．36 D．56‎ ‎5、的展开式中，项的系数为________‎ ‎6、在的展开式中的系数为______．‎ ‎7、从装有大小完全相同的2个白球、3个黑球的口袋中随机取出两个小球，记取出白球的个数为随机变量，则的值为______．‎ ‎8、展开式中含项的系数为______．‎ ‎9、某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的不能是商业广告且两个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有 种（用数字作答）．‎ ‎10、的展开式中的常数项等于的展开式中的二项式系数和.‎ ‎（Ⅰ）求的展开式的各项系数和；‎ ‎（Ⅱ）求除以的余数.‎ 参考答案 ‎1、答案：B 先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果.‎ ‎【详解】‎ 若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有 所以共有种 故选B 本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.‎ ‎2、答案：D 先将种产品分成三组，然后存放在三个仓库，由分步乘法计数原理求得安全存放的方法种数.‎ ‎【详解】‎ 设种产品分别为，画出图像如下图所示，根据题意，安全的分组方法有，，，，共种，每一种分组方法安排到个仓库，有种方法，故总的方法种数有种，故选D.‎ 本小题主要考查简单的排列组合问题，考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，属于中档题.‎ ‎3、答案：B 把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项．‎ ‎【详解】‎ ‎∵（）？（1），故它的展开式中的常数项是1+15=16‎ 故选：B 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题．‎ ‎4、答案：B ‎，故， .‎ ‎5、答案：‎ 将二项式变形为，然后利用二项式定理分别计算出和的展开式中项的系数，再将两系数相减即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴二项展开的通项为，二项展开的通项为 令，解得.‎ ‎∴项的系数为 故答案为.‎ 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策：‎ ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎6、答案：‎ 由二项式展开式的通项公式可知的展开式的通项为：‎ ‎，据此确定展开式中的系数即可.‎ ‎【详解】‎ 由二项式展开式的通项公式可知的展开式的通项为：‎ ‎，‎ 令可得，‎ 故展开式中的系数为.‎ 故答案为： ．‎ 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎7、答案：‎ 基本事件总数，记取出白球的个数为随机变量，包含的基本事件个数，由此能求出．‎ ‎【详解】‎ 从装有大小完全相同的2个白球、3个黑球的口袋中随机取出两个小球，‎ 基本事件总数，‎ 记取出白球的个数为随机变量，‎ 包含的基本事件个数，‎ 则．‎ 故答案为：．‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.‎ ‎8、答案：40‎ 的展开式的通项为 ，令 ，所以展开式中含的项为，因此的系数为40，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ‎；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎9、答案：36‎ 考点：计数原理的应用．‎ 分析：由题意知本题是一个分步计数问题，根据所给的条件要求最后播放的必须是公益广告，且两个公益广告不能连续播放，先安排最后一个播放公益广告用两种选法，再在前三个位置选一个放另一个公益广告，余下的三个广告在三个位置全排列．‎ 解：由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 根据所给的条件要求最后播放的必须是公益广告，‎ 且两个公益广告不能连续播放，‎ 分三步得到结果C12C13？A33=36.‎ 故答案为：36‎ ‎10、答案：（1）；（2）7.‎ 试题分析：(1)先研究的展开式的通项为，(r＝0，1，2，3，4，5)．求出的展开式中的常数项，由条件列方程可求出n，再令a=1,可得的展开式的各项系数和；‎ ‎(2)根据幂的运算性质，结合二项式定理写出其展开式.除最后一项之外，都可以被8整除，计算最后一项的值，由余数的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 的展开式中的通项公式为 ‎,‎ 所以当时取得常数项,常数项，‎ 的展开式中的二项式系数和为 即.‎ ‎（Ⅰ）令可得展开式的各项系数和为.‎ ‎（Ⅱ）.‎ 所以其除以8的余数为7.‎ 本题考查二项式系数，系数的性质，二项式展开式中特定项的求解，解题的关键是熟练掌握二项式的性质，及二项式的通项；求除以的余数的关键在于将转化为，再利用二项式定理分析解题.‎