【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-8-1解析几何压轴大题破题上——着眼4点找到解题突破口作业 4页

课时跟踪检测（五十四） 破题上——着眼4点找到解题突破口 ‎ ‎1．已知椭圆C经过点，且与椭圆E：＋y2＝1有相同的焦点．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4交于点Q，问：以线段PQ为直径的圆是否经过一定点M？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)椭圆E的焦点为(±1,0)，‎ 设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 则解得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)联立消去y，‎ 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，‎ 所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，‎ 即m2＝3＋4k2.‎ 设P(xP，yP)，‎ 则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝－＋m＝，‎ 即P.假设存在定点M(s，t)满足题意，‎ 因为Q(4,4k＋m)，‎ 则MP＝，MQ＝(4－s,4k＋m－t)，‎ 所以MP·MQ＝(4－s)＋(4k＋m－t)＝－(1－s)－t＋(s2－4s＋3＋t2)＝0恒成立，‎ 故解得 所以存在点M(1,0)符合题意．‎ ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为，点A(3,0)，P是C上的动点，F为C的左焦点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值．‎ 解：(1)依题意得解得 ‎∴椭圆C的方程是＋＝1.‎ ‎(2)设P(x0，y0)(－＜y0＜，y0≠0，x0＞0)，‎ 线段AP的中点为M，‎ 则AP的中点M，直线AP的斜率为，‎ 由△ABP是以AP为底边的等腰三角形，可得BM⊥AP，‎ ‎∴直线AP的垂直平分线方程为 y－＝－，‎ 令x＝0得B，‎ ‎∵＋＝1，∴B，‎ ‎∵F(－2,0)，‎ ‎∴四边形FPAB的面积S＝ ‎＝≥5，‎ 当且仅当2|y0|＝，即y0＝±时等号成立，‎ 四边形FPAB面积的最小值为5.‎ ‎3．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围．‎ 解：(1)将x＝－c代入椭圆的方程＋＝1，得y＝±.‎ 由题意知＝1，故a＝2b2.又e＝＝，则＝，即a＝2b，所以a＝2，b＝1，‎ 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由PM是∠F1PF2的角平分线，‎ 可得＝，即＝.‎ 设点P(x0，y0)(－2＜x0＜2)，‎ 又点F1(－，0)，F2(，0)，M(m,0)，‎ 则|PF1|＝ ＝2＋x0，‎ ‎|PF2|＝ ＝2－x0.‎ 又|F1M|＝|m＋|，|F2M|＝|m－|，且－＜m＜，‎ 所以|F1M|＝m＋，|F2M|＝－m.‎ 所以＝，化简得m＝x0，‎ 而－2＜x0＜2，因此－＜m＜.‎ 故实数m的取值范围为.‎ ‎4．(2018·沈阳模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．‎ ‎(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；‎ ‎(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．‎ 解：(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.所以椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由得x2－a2b2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 所以x1＋x2＝0，x1x2＝，‎ 由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，‎ 因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，‎ 所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2‎ ‎＝x1x2＋9＝0.‎ 即x1x2＝－8，所以有＝－8，‎ 结合b2＋9＝a2，解得a2＝12，‎ 所以离心率e＝.‎ ‎(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，‎ 由题可知A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，‎ 所以k1k2＝，‎ 又＝＝－，‎ 即k2＝－，‎ 由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.‎ 即直线PB的斜率k2∈.‎