北京市石景山区2011—2012学年高三第一学期期末考试（理）试卷 13页

北京市石景山区2011—2012学年高三第一学期期末考试（理）试卷 一、选择题 ‎1、已知复数，则复数的模为（　　）‎ A． 2‎ B．‎ C．1‎ D． 0‎ ‎2、在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ 　）‎ A． ‎ B． ‎ C．‎ D．‎ ‎3、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长为2，那么这个几何体的体积为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．4‎ D．‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎4、执行右面的框图，若输出结果为，‎ ‎ 则输入的实数的值是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5、设抛物线上一点P到轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为（ ）‎ A．4‎ B．6‎ C．8‎ D．12‎ ‎6、 以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ‎ ‎ ①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；‎ ‎ ②若为假命题，则、均为假命题； ‎ ‎ ③命题：存在,使得，则：任意,都有；④在中,是的充分不必要条件.‎ A．1‎ B．2‎ C．3‎ D．4‎ ‎7、对于使成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做 的 上确界,若，且，则的上确界为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．-4‎ 第Ⅱ卷 非选择题 ‎8、设集合，,,则（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C．‎ D．‎ 二、填空题 ‎9、已知向量，，，若与垂直，则 ．‎ ‎10、如图，从圆外一点引圆的切线和 割线，已知，， 圆心到的距离为，则圆的 半径为 ．‎ P A B C O ‎•‎ ‎11、已知等差数列的前项和为，若，则 ．‎ ‎12、若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种．‎ ‎13、已知函数，当且时，‎ ‎ 函数的零点，则 ．‎ ‎14、在中，若，则 ．‎ 三、解答题 ‎15、‎ 对于给定数列，如果存在实常数,使得对于任意都成立，我们称数列是 “类数列”．‎ ‎ （Ⅰ）若，，，数列、是否为“类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；‎ ‎ （Ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则数列也是“类数列”；‎ ‎ （Ⅲ）若数列满足，，为常数．求数列前2012项的和．并判断是否为“类数列”，说明理由．‎ ‎16、‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎17、‎ 甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：‎ 甲 乙 ‎1‎ ‎8‎ ‎ 6 0 0‎ ‎2‎ ‎4 4 ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0 ‎ ‎ （Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；‎ ‎（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y的分布列和数学期望．‎ ‎（注：方差 其中为，，的平均数） ‎ ‎18、‎ ‎ 如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，为的中点．‎ ‎ （Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎ （Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎ （Ⅲ）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎19、‎ ‎ 已知 ‎ （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ）若在处有极值，求的单调递增区间；‎ ‎ （Ⅲ）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值； 若不存在，说明理由.‎ ‎20、‎ ‎ 已知椭圆（）过点（0，2），离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过定点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，且为锐角（其中为坐标原点),求直线倾斜角的取值范围.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎2、D ‎3、B ‎4、D ‎5、C ‎6、C ‎7、B ‎8、A 二、填空题 ‎9、-3‎ ‎10、2‎ ‎11、72‎ ‎12、11‎ ‎13、2‎ ‎14、‎ 三、解答题 ‎15、‎ ‎ 解：（Ⅰ）因为则有 ‎ 故数列是“类数列”，对应的实常数分别为 ‎ ‎ 因为，则有，.‎ ‎ 故数列是“类数列”，对应的实常数分别为. ‎ ‎ （Ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则存在实常数，‎ ‎ 使得对于任意都成立，‎ ‎ 且有对于任意都成立， ‎ ‎ 因此对于任意都成立，‎ ‎ 故数列也是“类数列”． ‎ ‎ 对应的实常数分别为． ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅲ）因为 则有，， ‎ ‎ 故数列前2012项的和 ‎ +++‎ ‎ ……………9分 ‎ 若数列是 “类数列”， 则存在实常数 ‎ 使得对于任意都成立，‎ ‎ 且有对于任意都成立，‎ ‎ 因此对于任意都成立，‎ ‎ 而，且，‎ ‎ 则有对于任意都成立，可以得到 ，‎ ‎ 当时，，，，经检验满足条件.‎ ‎ 当 时，，，经检验满足条件.‎ ‎ 因此当且仅当或时，数列是“类数列”. 对应的实常数分别为或． ‎ ‎ ‎ ‎16、‎ 解：（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）因为，所以 ‎ ‎ 当时，即时，的最大值为,‎ 当时，即时，的最小值为. ‎ ‎17、‎ 解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24, 30，所以平均数 ‎ ； ‎ ‎ （Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：‎ ‎ （18，20）（18，20）（18，26）（18，32）‎ ‎ （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）‎ ‎ （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）‎ ‎ （30，20）（30，20）（30，26）（30，32） ‎ ‎ 得分和可能的结果有：38,44,50,56,62 ‎ ‎ 得分和Y的分布列为：‎ Y ‎38‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎56‎ ‎62‎ ‎ ‎ ‎ 数学期望 ‎ ‎ ‎18、‎ 解：（Ⅰ）证明：取中点，连结．‎ 在△中，分别为的中点，‎ 所以∥，且．‎ 由已知∥，，‎ 所以∥，且．‎ ‎ 所以四边形为平行四边形． ‎ 所以∥．‎ 又因为平面，且平面，‎ 所以∥平面． ‎ ‎（Ⅱ）证明：在矩形中，．‎ 又因为平面平面， 且平面平面，‎ 所以平面．‎ 所以． ‎ 在直角梯形中，，，可得．‎ 在△中，，‎ 因为，所以．‎ 因为,所以平面 又因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面，且．‎ ‎ 以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．‎ ‎ ． ‎ ‎ 易知平面的一个法向量为．‎ ‎ 设为平面的一个法向量，‎ ‎ 因为 ‎ 所以，‎ ‎ 令，得．‎ ‎ 所以为平面的一个法向量． ‎ ‎ 设平面与平面所成锐二面角为．‎ ‎ 则．‎ ‎ 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎19、 解：（Ⅰ）由已知得的定义域为，‎ ‎ 因为，所以 ‎ ‎ 当时，，所以 ‎ 因为，所以 ‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ，即 ‎ ‎ （Ⅱ）因为在处有极值，所以， 由（Ⅰ）知，所以 ‎ ‎ 经检验，时在处有极值． ‎ ‎ 所以，令解得； 因为的定义域为，所以的解集为， 即的单调递增区间为. ‎ ‎ （Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，‎ ‎ ① 当时，因为，所以 ， 所以在上单调递减，‎ ‎ ，，舍去. ‎ ‎ ②当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ ，，满足条件. ‎ ‎ ③ 当时，因为，所以，‎ ‎ 所以在上单调递减，，，舍去.‎ ‎ 综上，存在实数，使得当时有最小值3. ‎ ‎20、‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意得 ‎ 结合，解得 ‎ 所以，椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ） 设，则.‎ ‎①当时，不妨令 ‎ ‎，当斜率不存在时，为锐角成立 ‎ ‎②当时，设直线的方程为：‎ 由 得 ‎ 即. ‎ 所以， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解得. ‎ ‎ 综上，直线倾斜角的取值范围是 . ‎