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- 2021-06-10 发布
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高三数学试卷(文)
满分 150 分 考试时间 120 分钟
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,集合 ,则 等于 ( )
A. B. C. D.
2.设 是虚数单位,若复数 ,则 的值为 ( )
A. 或 B. 或 C. D.1
3.已知命题 ;命题 .则下列结论正确的是 ( )
A.命题是 假命题 B. 命题是 真命题
C.命题是 真命题 D.命题是 真命题
4. 的内角 的对边分别为 ,已知 , , ,则 的
面积为( )
A. 或 B. C. 或 D.
5.对于下列表格所示的五个散点,已知求得的线性回归方程为 .
100
则实数 的值为 ( )
A. B. C. D.
6. 在区域 内任意取一点 ,则 的概率是( )
{ }1,0,1A = − { }1 2 4xB x= ≤ < A B
{ }1,0,1− { }1 { }1,1− { }0,1
i
2
01
a aiz i
+= >− a
0 1− 0 1 1−
0 0: R,sin 2p x x∃ ∈ = 2: R, 1 0q x x x∀ ∈ − + >
p q∨ p q∧
( ) ( )p q¬ ∨ ¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2a = 2 3b =
6A
π= ABC∆
2 3 3 2 3 2 3 4 3 3
ˆ 0.76 71y x= −
x 98 99 101 102
y 2 3 5 m 8
m
6.8 7 7.2 7.4
≤≤
≤≤
10
10
y
x ),( yxP 122 >+ yx
A. B. C. D.
7. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
8. 执行如图的程序框图,如果输入的 ,那么输出 的值是 ( )
A. B. C. D.都有可能
9. 已知函数① ,② ,则下列结论正确的是( )
A. 两个函数的图象均关于点 成中心对称
B. 两个函数的图象均关于直线 对称
C. 两个函数在区间 上都是单调递增函数
D. 可以将函数②的图像向左平移 个单位得到函数①的图像
10. 已知直角 中,斜边 , 为线段 的中点, 为线段 上任意一点,则
的最小值为( )
A. B. C. D.
2 4
4
π − 2
4
π −
4
π 4
4
π−
π 2π 3π 4π
3 5 2log 2, log 2, log 3a b c= = = m
5log 2 3log 2 2log 3
sin cosy x x= + 2 2 sin cosy x x=
( ,0)4
π−
4x
π= −
( , )4 4
π π−
4
π
ABC∆ 6=AB D AB P CD
( )PA PB PC+ ⋅
9
2
9
2
− 2 2−
1
12主视图 侧视图
俯视图
7 题图
开始
输入 , ,a b c
m a=
m b=
m c=
m b<
m c<
输出 m
结束
是
是
否
否
8 题图
11. 中心在原点,焦点在 轴上的双曲线 的离心率为 ,直线 与双曲线 交于 两点,
线段 中点 在第一象限,并且在抛物线 上,且 到抛物线焦点的距离
为 ,则直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
12. 设函数 ,记 ,若函数 至少存在一个零点,
则实数 的取值范围是( )
A.
B.
C. D.
第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.曲线 在点 处的切线方程为 .
14. 已知过双曲线 右焦点且倾斜角为 的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲
线的离心率 的取值范围是 .
15.设直线 的倾斜角为 ,则 的值为 .
16. 已 知 函 数 为 R 上 的 增 函 数 , 函 数 图 像 关 于 点 对 称 , 若 实 数 满 足
,则 的取值范围是 .
三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
17. (本小题满分 12 分)已知 为等差数列,数列 满足对于任意 ,点
在直线 上,且 , .
(1) 求数列 与数列 的通项公式;
(2)若 求数列 的前 项的和 .
x C 2 l C ,A B
AB M 2 2 ( 0)y px p= > M
p l
2 3
2 1 1
2
3 2( ) 2 lnf x x ex mx x= − + − ( )( ) f xg x x
= ( )g x
m
2 1,e e
− ∞ +( ] 2 10,e e
+( ] 2 1 ,e e
+ +∞( ] 2 21 1,e ee e
− − +( ]
(2ln 1)y x x= − (1, 1)−
2 2
2 2 1x y
a b
− = 45°
e
2 1 0x y− + = α 2cos sin 2α α+
( )f x (3,0) ,x y
2 2( 2 3 9) ( 2 ) 0f x x f y y− + + − ≤ y
x
{ }na { }nb Nn ∗∈ 1( , )n nb b +
2y x= 1 1 2a b= = 2 2a b=
{ }na { }nb
n
n
n
a nc
b n
=
为奇数,
为偶数,
{ }nc 2n 2nS
18. (本小题满分 12 分)两会结束后,房价问题仍是国民关注的热点问题,某高校金融学一
班的学生对某城市居民对房价的承受能力(如能买每平方米 6 千元的房子即承受能力为 6 千元)
的调查作为社会实践,进行调查统计,将承受能力数按
区 间
(千元)进行分组,得到如下统计图:
(1) 求 的值,并估计该城市居民的平均承受能力是多
少元;
(2)若用分层抽样的方法,从承受能力在 与
的居民中抽取 人,在抽取的 人中随机取
人,求 人的承受能力不同的概率.
19. (本小题满分 12 分)如图 , , , , 为 的中点,
, 沿 将 折 起 至
,如图 2,且 在面
上的投影恰好是 ,连接 , 是
上的点,且 .
(1)求证: ∥面 ;
(2)求三棱锥 的体积.
20. (本小题满分 12 分)设椭圆 的右焦点为 ,直线
与 轴交于点 ,若 (其中 为坐标原点).
(1)求椭圆 的方程;
(2)设 是椭圆 上的任意一点, 为圆 的任意一条直径( 、 为
直径的两个端点),求 的最大值.
[2.5,3.5),[3.5,4.5),[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5]
a
[3.5,4.5)
[5.5,6.5) 5 5 2
2
1 ABC∆ 4AB AC= = 2
3BAC
π∠ = D BC
DE AC⊥ DE CDE∆
'C DE∆ 'C ABDE
E 'C B M
'C B 1' 2C M MB=
AM 'C DE
'C AMD−
2 2
2: 12
x yM a
+ = ( )2a > 1F
2
:
2
2
−
=
a
axl
x A 1 12 0OF AF+ = O
M
P M EF ( ) 12: 22 =−+ yxN E F
PFPE ⋅
A
B
C
D
E图 1 图 2 A
B
'C
E
D
M
0.1
0.14
0.45
3.52.5 4.5 5.5 6.5 7.5
a
千元
频率
组距
21.(本小题满分 12 分)设函数 .
(1)若函数 在 上为减函数,求实数 的最小值;
(2)若存在 ,使 成立,求正实数 的取值范围.
请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,
则按所做的第一个题目计分,作答时请用 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图,在 中, ,以 为直径的圆
交 于点 ,点 是 边的中点,连接 交圆
于点 .
(1)求证: 是圆 的切线;
(2)求证: .
23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 .在极坐标系(与直角
坐标系 取相同的长度单位,且以原点 为极点,以 轴正半轴为极轴)中,圆 的方程为
.
(1)求圆 的直角坐标方程;
(2)设圆 与直线 交于点 ,若点 的坐标为 ,求 .
24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
已知函数 , ,且 的解集为 .
(1)求 的值;
(2)若 ,且 ,求 的最小值.
axx
xxf −=
ln)(
)(xf ),1( +∞ a
2
1 2, [ , ]x x e e∈ axfxf +′≤ )()( 21 a
B2
ABC∆ 90=∠ABC AB
O AC E D BC OD
O M
DE O
ABDMACDMBCDE ⋅+⋅=⋅
xoy l )(
2
26
2
22
为参数t
ty
tx
+=
−=
xoy O x C
θρ cos10=
C
C l BA、 P )6,2( |||| PBPA +
( ) -| -2|f x m x= Rm∈ ( 2) 0f x + ≥ [ 1,1]−
m
, , Ra b c +∈ 1 1 1
2 3 ma b c
+ + = 2 3z a b c= + +
A
B C D
E
M
O
数 学(文科) 答 案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C C A B D D A C B D A
13. 14. 15. 16.
17. (本小题满分 12 分)解:(1)由点 在直线 上,有 ,所以数列
是以 为首项, 为公比的等比数列,即数列 的通项公式为 , 3 分
又 , ,则 ,所以数列 是以 为首项, 为
公差的等差数列,即数列 的通项公式为 ; 6 分
(2)
所以
12 分
18. (本小题满分 12 分)解:(1)由 ,所以 , 2 分
平均承受能力 ,
即城市居民的平均承受能力大约为 5070 元; 5 分
(2)用分层抽样的方法在这两组中抽 5 人, 即 组中抽 人与 抽 人,
设 组中两人为 , 组中三人为 ,从这 人中随机取 人,有
, , , , , , , , , 共 10 中, 符合两人承受能力不同
的有 , , , , , 共 6 中,所以所求概率为 . 12 分
2 0x y− − = 1 2e< < 8
5 [0, 3]
1( , )n nb b + 2y x= 1 2n
n
b
b
+ = { }nb
2 2 { }nb 2n
nb =
1 1 2a b= = 2 2 4a b= = 2 1 4 2 2d a a= − = − = { }na 2 2
{ }na 2na n=
n
n
n
a nc
b n
=
为奇数,
为偶数,
)()( 24212312 nnn bbbaaaS +…++++…++= − 41
)41(4
2
)242(
−
−+−+=
nnn
)14(3
42 2 −+= nn
0.1 0.1 0.14 0.45 1a+ + + + = 0.21a =
3 0.1 4 0.14 5 0.45 6 0.21 7 0.1 5.07x = × + × + × + × + × =
[3.5,4.5) 2 [5.5,6.5) 3
[3.5,4.5) 1 2,A A [5.5,6.5) 1 2 2, ,B B B 5 2
1 2A A 1 1A B 1 2A B 1 3A B 2 1A B 2 2A B 2 3A B 1 2B B 1 3B B 2 3B B
1 1A B 1 2A B 1 3A B 2 1A B 2 2A B 2 3A B 6 3
10 5P = =
19. (本小题满分 12 分)(1) 证明:过
作 ∥ , 交 于 , 连 接
,
于 是 , 又 ,
, 为 的中点,所以
, , 由
,得到 ,所以 ,得 ∥ ,
所以面 ∥面 ,即 ∥面 ;(注:可以在翻折前的图形中证明 ∥ )
6 分
(2) , ,又 面 ,所以 到平
面 的 距 离 , , 所 以 , 即 得 三 棱 锥
的体积为 . 12 分
20. (本小题满分 12 分)解:(1)由题设知, ,
由 ,得 解得
所以椭圆 的方程为 4 分
(2)设圆 的圆心为 ,
则
从而求 的最大值转化为求 的最大值.
因为 是椭圆 上的任意一点,设 所以 ,即 .
M MN 'C D BD N
AN
1
2DN NB= 4AB AC= =
2
3BAC
π∠ = D BC
4 3
3NB = 30B∠ = °
2 2 2 2 cos30AN AB NB AB NB= + − ⋅ ⋅ ° 4 3
3AN = 120ANB∠ = ° AN ED
AMN 'C DE AM 'C DE AN ED
1' 2C M MB= '
1 1
2 2C AMD B AMD M ABDV V V− − −∴ = = 'C E ⊥ ABD M
ABD 2h = 2 3ABDS∆ = 1 4 32 2 33 3M ABDV − = × × =
'C AMD− 2 3
3
2
2
( ,0)
2
aA
a −
2
1( 2,0)F a −
1 12 0OF AF+ = 2
2 2
2
2 2( 2)
2
aa a
a
− = − −
− 62 =a
M
2 2
16 2
x y+ =
( ) 12: 22 =−+ yxN N
( ) ( )PE PF NE NP NF NP⋅ = − ⋅ − ( ) ( )NF NP NF NP= − − ⋅ − 2 2 2
1NP NF NP= − = −
PFPE ⋅ 2
NP
P M 0 0( , )P x y 126
2
0
2
0 =+ yx 2
0
2
0 36 yx −=
A
B
C
D
E图 1 图 2 A
B
'C
E
D
M
N
因为点 ,所以
因为 ,所以当 时, 取得最大值 12
所以 的最大值为 11 12 分
21.(本小题满分 12 分)解:(1)由已知得 .
因 在 上为减函数,故 在 上恒成立.
所以当 时, .
又 , 2 分
当 ,即 时, .
所以 于是 ,故 a 的最小值为 . 4 分
(2)命题“若存在 ,使 成立”等价于“当 时,
有
.
由(1),当 时, ,∴ .
问题等价于:“当 时,有 ”. 6 分
①当 时,由(1), 在 上为减函数,
则 ,故 . 8 分
②当 < 时,由于 在 上的值域为
(ⅰ) ,即 , 在 恒成立,故 在 上为增函数,
于是, ,矛盾. 10 分
( )2,0N ( ) ( ) 12122 2
0
2
0
2
0
2 ++−=−+= yyxNP
0 [ 2, 2]y ∈ − 10 −=y
2
NP
PFPE ⋅
0, 1x x> ≠
( )f x ( )1 +∞, ( ) ( )2
ln 1 0
ln
xf x a
x
−′ = − ≤ ( )1 +∞,
x∈ ( )1 +∞, ( )max 0f x′ ≤
( ) 2 2
2
ln 1 1 1 1 1 1( ) ( )(ln ) ln ln ln 2 4
xf x a a ax x x x
−′ = − = − + − = − − + −
1 1
ln 2x
= 2x e= ( )max
1
4f x a′ = −
1 04 a− ≤ 1
4a ≥ 1
4
2
1 2, [ , ]x x e e∈ ( ) ( )1 2f x f x a′≤ + [ ]2
21 ,, eexx ∈
axfxf ′′+′≤ max2min1 )()(
2[ , ]x e e∈ ( )max
1
4f x a′ = − ( )max
1
4f x a′ + =
2[ , ]x e e∈ ( )min
1
4f x ≤
1
4a ≥ ( )f x 2[ , ]e e
( ) ( ) 2
2 2
min
1
2 4
ef x f e ae= = − ≤
2
1 1
2 4a e
≥ −
a 1
4
' 21 1 1( ) ( )ln 2 4f x ax
= − − + − 2[ , ]e e 1[ , ]4a a− −
0a− ≥ 0a ≤ ' ( ) 0f x ≥ 2[ , ]e e ( )f x 2[ , ]e e
min
1( ) ( ) 4f x f e e ae e= = − ≥ >
(ⅱ) ,即 ,由 的单调性和值域知,
存在唯一 ,使 ,且满足:
当 时, , 为减函数;当 时, , 为增函数;
所以, ,
所以, ,与 矛盾.
综上,得 12 分
22.(本小题满分 10 分)
解:(1) 连结 . ∵点 是 的中点,点 是
的 中 点 , ∴ , ∴
, . ∵ ,
∴ , ∴
.在 和 中,
∵ , , ∴
,即 .∵ 是圆 上一点,∴ 是圆 的切线. 5
分
(2)延长 交圆 于点 .∵ ≌ ,∴ .
∵点 是 的中点,∴ .
∵ 是 圆 的 切 线 , ∴ . ∴
. ∵ ,
∴
. ∵
是圆 的切线,
是 圆 的 割 线 , ∴ , ∴
10 分
0a− < 10 4a< < ' ( )f x
2
0 ( , )x e e∈ 0)( 0 =′ xf
0( , )x e x∈ ' ( ) 0f x < ( )f x 2
0( , )x x e∈ ' ( ) 0f x > ( )f x
0
min 0 0
0
1( ) ( ) ln 4
xf x f x axx
= = − ≤ 2
0 ( , )x e e∈
2
0 0
1 1 1 1 1 1 1
ln 4 ln 4 2 4 4a x x e e
≥ − > − > − = 10 4a< <
2
1 1
2 4a e
≥ −
OE D BC O
AB ACOD 2
1//=
A BOD∠ = ∠ AEO EOD∠ = ∠ OEOA =
AEOA ∠=∠ EODBOD ∠=∠
EOD∆ BOD∆
OBOE = EOD BOD∴ ∆ ≅ ∆
90=∠=∠ OBDOED EDOE ⊥ E O DE O
DO O F EOD∆ BOD∆ DBDE =
D BC DBBC 2=
DBDE, O DBDE = 222 DEDBDEBCDE =⋅=⋅
OFABODAC 2,2 ==
DFDMOFODDMABACDMABDMACDM ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅ 2)22()(
DE
O
DF O DFDMDE ⋅=2
ABDMACDMBCDE ⋅+⋅=⋅
A
B C D
E
M
O
23.(本小题满分 10 分)
解:(1)由 得 ,即 . 5 分
(2)将 的参数方程代入圆 的直角坐标方程,得 .
即 ,由于 ,可设 是上述方程的两个实根.
所以 ,又直线 过点 ,
可得: . 10 分
24.(本小题满分 10 分)
解:(1)因为 , 等价于 ,
由 有解,得 ,且其解集为 .
又 的解集为 ,故 . 5 分
(2)由(1)知 ,又 ,由柯西不等式得
.
∴ 的最小值为 9 . 10 分
θρ cos10= 01022 =−+ xyx 25)5( 22 =+− yx
l C 25)2
26()2
23( 22 =++−− tt
020292 =++ tt 082204)29( 2 >=×−=∆ 21,tt
=⋅
−=+
20
29
21
21
tt
tt l )6,2(P
29)()()(|||||||| 212121 =+−=−+−=+=+ ttttttPBPA
( 2) | |f x m x+ = − ( 2) 0f x + ≥ | |x m≤
| |x m≤ 0m ≥ { | }x m x m− ≤ ≤
( 2) 0f x + ≥ [ 1,1]− 1m =
1 1 1 12 3a b c
+ + = , ,a b c R+∈
21 1 1 1 1 12 3 ( 2 3 )( ) ( 2 3 ) 92 3 2 3
z a b c a b c a b ca b c a b c
= + + = + + + + ≥ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
2 3z a b c= + +
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