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- 2021-06-10 发布
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- 1 -
数学试题
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.复数 z
1 2
i
i
( )
A. 2
5 5
i B. 2
5 5
i C. 1 2
5 5
i D. 1 2
5 5
i
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,从而得出正确选项.
【详解】z
1 2 2 1
1 2 1 2 1 2 5 5
i ii ii i i
.
故选:B.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.
2.已知全集 U=R,集合 A={x|x2≤4},那么 U A ð ( )
A. (﹣∞,﹣2) B. (2,+∞)
C. (﹣2,2) D. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合 A ,由此求得 U Að .
【详解】∵全集 U=R,集合 A={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2},
∴ U Að ={x|x<2 或 x>2}=(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞).
故选:D.
【点睛】本题考查补集的求法,考查补集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
3.已知圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0 的圆心在直线 3x+y﹣a=0,则实数 a 的值为( )
A. ﹣1 B. 1 C. 3 D. ﹣3
【答案】A
【解析】
- 2 -
【分析】
根据题意,求出圆的圆心坐标,将其代入直线的方程,解方程可得 a 的值.
【详解】根据题意,圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0 的圆心为(﹣1,2),
若圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0 的圆心在直线 3x+y﹣a=0 上,则有 3×(﹣1)+2﹣a=0,
解得:a=﹣1;
故选:A.
【点睛】本题考查圆的一般方程与直线的方程,注意求出圆的圆心坐标,属于基础题.
4.若等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和,a1=1,则 a4=( )
A. 1
2
B. 3
2
C. 1
2
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式列方程,求得 d ,进而求得 4a .
【详解】由题意可得:S9=S4,∴9×1+36d=4×1+6d,解得 d 1
6
.
∴a4=1﹣3 1 1
6 2
.
故选:C.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基
础题.
5. 如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等
腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )
A. B. 4 C. D. 2
【答案】C
【解析】
试题分析:根据已知中的三视图及相关视图边的长度,我们易判断出该几何体的形状及底面
- 3 -
积和高的值,代入棱锥体积公式即可求出答案.
解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 ,2,底面边长为 2
故底面棱形的面积为 =2
侧棱为 2 ,则棱锥的高 h= =3
故 V= =2
故选 C
点评:本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形
状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键.
6.已知 sinα 2
3
,α为第二象限角,则 cos(
2
2α)=( )
A. 4 5
9
B. 1
9
C. 1
9
D. 4 5
9
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cosα的值,进而利用诱导公式,二倍角的正弦函数
公式即可求解.
【详解】∵sinα 2
3
,α为第二象限角,
∴cosα 2 51 3sin ,
∴cos(
2
2α)=sin2α=2sinαcosα=2 2
3
( 5
3
) 4 5
9
.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,诱导公式,二倍角的正弦函数公式在三
角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
- 4 -
7.已知向量 a ,b 满足 ( 2 ) ( ) 6a b a b ,| b |=2,且 a 与 b 的夹角为
3
,则| a |=( )
A. 2 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据数量积的展开式结合已知条件,即可求解结论.
【详解】因为向量 a b, 满足( 2a b )•( a b )=﹣6,|b |=2,且 a 与b 的夹角为
3
,
∴( 2a b )•( a b ) 2 22a a b b | a |2+| a |•| b |•cos 2
23 b 6⇒| a |2+| a |
﹣2=0⇒| a |=1(负值舍)
故选:B.
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用以及模长的计算,属于基础题目.
8.如果从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组三角形三条边的边长有
概率为( )
A. 3
10
B. 1
5
C. 1
10
D. 1
20
【答案】A
【解析】
【分析】
基本事件总数 n 3
5 10C ,利用列举法求出这 3 个数构成一组三角形三条边的边长包含的基
本事件有 3 个,由此能求出这 3 个数构成一组三角形三条边的边长的概率.
【详解】从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,
基本事件总数 n 3
5 10C ,
这 3 个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有:
{2,3,4},{2,4,5},{3,4,5},共 3 个,
∴这 3 个数构成一组三角形三条边的边长的概率 p 3
10
.
故选:A.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
- 5 -
9.已知 F1,F2 是双曲线 C:
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b
, 的两个焦点,P 是 C 上一点,满足
|PF1|+|PF2|=6a,且∠F1PF2
3
,则 C 的离心率为( )
A. 2 B. 5 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线的定义及|PF1|+|PF2|=6a 可得|PF1|,|PF2|的值,在三角形 PF1F2 中由余弦定理可得 a,
c 的关系,从而求出离心率.
【详解】由双曲线的对称性设 P 在第一象限,因为|PF1|+|PF2|=6a,由双曲线的定义可得
|PF1|=2a+|PF2|,
所以|PF2|=2a,|PF1|=4a,
因为∠F1PF2
3
,在三角形 PF1F2 中,由余弦定理可得 cos∠F1PF2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
| | | |
2
PF PF F F
PF PF
,
即
2 2 21 16 4 4
2 2 2 4
a a c
a a
,整理可得:3a2=c2,可得 e 3 ,
故选:D.
【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法,属于中档题.
10.函数 ( ) | ln | 2xf x e x 的零点个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
- 6 -
【解析】
【分析】
把零点个数问题化为两个函数的交点,作函数的图象求解即可.
【详解】函数 f(x)=ex|lnx|﹣2 的零点可以转化为:|lnx| 2
xe
的零点;
在坐标系中画出两个函数 2ln , xy x y e
的图象,根据图象可得有两个交点;
故原函数有两个零点.
故选:B.
【点睛】本题考查了方程的根与函数的图象的应用,属于基础题.
11.已知函数 f(x) 3 sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且 y=f(x)图象
的两相邻对称轴间的距离为
2
,则 f(
6
)的值为( )
A. ﹣1 B. 1 C. 3 . D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用辅助角公式进行化简,结合 f(x)是偶函数,求出φ的值,利用 f(x)的对称轴之间的距离
求出函数的周期和ω,代入进行求值即可.
【详解】f(x) 3 sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ
6
),
∵f(x)是偶函数,∴φ
6
kπ
2
,k∈Z,
得φ=kπ 2
3
,
∵0<φ<π,∴当 k=0 时,φ 2
3
,
- 7 -
即 f(x)=2sin(ωx 2
3 6
)=2sin(ωx
2
)=2cosωx,
∵y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
2
,
∴
2 2
T ,即 T=π,即 2
π,
得ω=2,
则 f(x)=2cos2x,
则 f(
6
)=2cos(2
6
)=2cos 123 2
1,
故选:B.
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算,利用辅助角公式,结合三角函数的性质求出函数
的解析式是解决本题的关键.难度不大.
12.设奇函数 ( )f x ,( )x R 的导函数为 ( )f x ,且 ( 1) 0f ,当 0x 时, ( ) ( ) 0xf x f x ,
则使得 ( ) 0f x 成立的 x 的取值范围是( )
A. ( , 1) ( 1,0) B. (0,1) (1, )
C. ( , 1) (0,1) D. ( 1,0) (1, )- È +¥
【答案】D
【解析】
【分析】
根据所给不等式,构造函数 g x x f x ,由导数与单调性关系可知 g x 在 0x 时单调
递增,由函数奇偶性的性质可知 g x 为偶函数,画出函数示意图,即可求得 ( ) 0f x 成立的
x 的取值范围.
【详解】令 g x x f x ,
则 g x x f x f x ,
当 0x 时, ( ) ( ) 0xf x f x ,
则当 0x 时, g x x f x 为单调递增函数,
( )f x 为奇函数,则 g x x f x 为偶函数,
- 8 -
且由 ( 1) 0f ,可知 (1) ( 1) 0f f ,
所以 1 1 0g g ,则 g x x f x 的函数关系示意图如下图所示:
当 0x 时,若 ( ) 0f x ,则 0g x ,此时 1,0x ;
当 0x 时,若 ( ) 0f x ,则 0g x ,此时 1,x ;
综上可知, ( ) 0f x 的解集为 ( 1,0) (1, )- È +¥ ,
故选:D.
【点睛】本题考查了构造函数法解不等式,导数与函数单调性的关系应用,奇偶性的性质应
用,数形结合法解不等式的应用,属于中档题.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
13.已知实数 x,y 满足约束条件
2
1
1
y x
x y
y
,则 z=x+2y 的最小值为_____
【答案】 5
2
【解析】
【分析】
画出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,即可求出 z 的最小值.
【详解】作出实数 x,y 满足约束条件
2
1
1
y x
x y
y
,对应的平面区域如图:
- 9 -
由 z=x+2y 得 y 1 1
2 2x z ,平移直线 y 1 1
2 2x z ,
由图象可知当直线 y 1 1
2 2x z 经过点 A( 1
2
,﹣1)时,直线的截距最小,此时 z 最小.
即 z 1
2
2×(﹣1) 5
2
,
故答案为: 5
2
.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,结合数形结合是解决本题的关
键.
14.若函数 f(x)=ax+lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 f(x)的最大值为_____.
【答案】 1
【解析】
【分析】
先利用切点处切线与 x 轴平行,求出 a 的值,然后利用导数研究函数的单调性,求出最大值.
【详解】 ' 1f x a x
,∴ ' 1f =a+1=0,∴a=﹣1.
∴f(x)=lnx﹣x,(x>0)
∵ ' 1 11 xf x x x
,
易知,x∈(0,1)时, ' 0f x ,f(x)递增;x∈(1,+∞)时, ' 0f x ,f(x)递减.
∴f(x)max=f(1)=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的最值.求切线时,抓住切点满足的两
个条件列方程是关键.属于基础题.
- 10 -
15.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1,则异面直线 BC1 与 AB1 所成角的余弦值为
_____.
【答案】 0
【解析】
【分析】
通过证明 AC⊥平面 BCC1,证得 AC⊥BC1,再结合 BC=CC1 得正方形 BCC1B1,则 BC1⊥B1C,证得 BC1⊥
平面 ACB1,则问题可解.
【详解】如图:因为直棱柱 ABC﹣A1B1C1,所以侧面 BCC1B1⊥底面 ABC
又 AC⊥BC,∴AC⊥平面 BCC1B1,∴AC⊥BC1.
又 BC=CC1,∴四边形 BCC1B1 是正方形,故 BC1⊥B1C,结合 AC∩B1C=C,
故 BC1⊥平面 AB1C,而 AB1⊂平面 AB1C,所以 BC1⊥AB1.
异面直线 BC1 与 AB1 所成角为
2
,余弦值为 0.
故答案为:0.
【点睛】本题考查空间角的计算问题,要注意空间线线、线面、面面之间平行关系之间、垂直关
系之间、平行与垂直关系间的转化.属于中档题.
16.在△ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60°,则 sinC=_____.
【答案】 21
7
【解析】
【分析】
已知利用余弦定理可求 BC 的值,进而利用正弦定理可求 sinC 的值.
- 11 -
【详解】∵AB=2,AC=3,A=60°,
∴由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3 1
2
7,
∵BC>0,
∴BC 7 .
∴由正弦定理 AB BC
sinC sinA
,可得
32 212sin 77
AB sinAC BC
.
故答案为: 21
7
.
【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基
础题.
三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题,每个试
题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答
17.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.4,购买乙种保险但不购买甲种保
险的概率为 0.2.设各车主购买保险相互独立.
(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率;
(2)求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
【答案】(1) 0.6 .(2) 0.432
【解析】
【分析】
(1)根据和事件概率求法,求得所求概率.
(2)由(1)求得1为车主甲、乙两种保险都不购买的概率,根据独立重复事件概率计算公式,
计算出所求概率.
【详解】(1)记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险,
则 P(A)=0.4,
设 B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险,
则 P(B)=0.2,
设事件 C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种,
则该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为:
- 12 -
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6.
(2)设事件 D 表示:该地 1 位车主甲、乙两种保险都不购买,则 D C ,
∴P(D)=1﹣P(C)=1﹣0.6=0.4,
设 E 表示:该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买,
则该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率:
P(E) 1 2
3 0.4 0.6C 0.432.
【点睛】本题考查概率的求法,考查互斥事件概率加法公式、n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次
的概率公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若 n
n
nb S
,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
【答案】(1) 2
1, 1
2 , 2n n
na n
.(2) 1
24 2n n
nT
【解析】
【分析】
(1)根据 1
1
, 1
, 2n
n n
S na S S n
求出数列的通项公式,
(2)利用错位相减法即可求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
【详解】(1),a1=1,Sn=an+1=Sn+1﹣Sn,
∴Sn+1=2Sn,
∴数列{Sn}是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,
∴Sn=1×2n﹣1=2n﹣1,
∴an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2,n≥2,
∴an 2
1 1
2 2n
n
n
,
, ,
(2) n
n
nb S
n•( 1
2
)n﹣1,
- 13 -
∴Tn=( 1
2
)0+2•( 1
2
)1+3•( 1
2
)2+…+n•( 1
2
)n﹣1,①,
由① 1
2
可得,
1
2
Tn=( 1
2
)1+2•( 1
2
)2+3•( 1
2
)3+…+n•( 1
2
)n,②,
由①﹣②可得 1
2
Tn=1+( 1
2
)1+( 1
2
)2+( 1
2
)3+…+( 1
2
)n﹣1﹣n•( 1
2
)n
11 2
11 2
n
n•( 1
2
)n=2﹣
2×( 1
2
)n﹣n•( 1
2
)n=2﹣(n+2)•( 1
2
)n,
∴Tn=4 1
2
2n
n
.
【点睛】本题考查数列递推式,考查了错位相减法求数列的和,是中档题.
19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=2,DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)求 A 点到平面 BPC 的距离.
【答案】(1)证明见解析.(2) 4 5
5
【解析】
【分析】
(1)利用勾股定理证得 AD⊥BD,又 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AD,从而由线面垂直的判定定
理得到 AD⊥平面 PBD,所以 AD⊥PB;
(2)证得 BC⊥PC,求出 S△BPC 和 S△ABC,再由 VA﹣BPC=VP﹣ABC 利用等体积法即可求出点 A 到平面 PBC
的距离.
【详解】(1)如图所示:
在四边形 ABCD 中,连接 BD,由 DC=BC=1,AB=2,∠BCD=∠ABC
2
,
- 14 -
在△ABD 中,BD=AD 2 ,又 AB=2,
因此 AD⊥BD,又 PD⊥平面 ABCD,
∴PD⊥AD,又 BD∩PD=D,
∴AD⊥平面 PBD,
∴AD⊥PB;
(2)在四棱锥 P﹣ABCD 中,∵PD⊥平面 ABCD,
∴PD⊥BC,而 BC⊥DC,
∴BC⊥平面 PDC,
∴BC⊥PC,又 2 2 2 21 2 5PC PD DC ,
∴ 1 5
2 2BPCS BC PC
,而 S△ABC
1
2 AB BC 1,
,设点 A 到平面 PBC 的距离为 h,
由 VA﹣BPC=VP﹣ABC 可得: 1 1
3 3BPC ABCS h S PD ,
∴
1 2 4 5
55
2
h ,
即点 A 到平面 PBC 的距离为 4 5
5
.
【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明,以及等体积法求点到平面的距离,是基础题.
20.已知函数 f(x)=aex﹣x,
(1)求 f(x)的单调区间,
(2)若关于 x 不等式 aex≥x+b 对任意 xR 和正数 b 恒成立,求 b
a
的最小值.
- 15 -
【答案】(1)答案见解析.(2)1
【解析】
【分析】
(1)先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性的关系即可求出;
(2)先根据(1)利用导数和函数最值的关系求出 min ln 1 lnf x f a a b ,可得
1
a a
b lna
,设 1
ah a lna
,利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】(1)f′(x)=aex﹣1,
当 a≤0 时, f x <0,f(x)在 R 上单调递减,
若 a>0 时,令 f x =aex﹣1=0,x=﹣lna,
在 x>﹣lna 时, f x >0,f(x)为增函数,
在 x<﹣lna 时, f x <0,f(x)为减函数,
所以,当 0a 时, ( )f x 的单调减区间为 ( , ) ,无增区间;
当 0a 时, ( )f x 的单调减区间为( , ln )a ,增区间为 ( ln , )a .
(2)f(x)=aex﹣x,由题意 f(x)min≥b,
由(1)可知,当 a≤0 时,f(x)在 R 上单调递减,无最小值,不符合题意,
当 a>0 时,f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b,
∴
1
a a
b lna
,
设 h(a)
1
a
lna
,则 h a 2(1 )
lna
lna
,
a∈(0,1], h a <0;a∈[1,+∞), h a ≥0,
∴h(a)min=h(1)=1.
所以 a
b
的最小值为1.
【点睛】本题考查了导数和函数单调性的关系以及和最值的关系,考查了函数恒成立的问题,
考查了运算能力和转化能力,属于中档题.
21.已知 F(0,1)为平面上一点,H 为直线 l:y=﹣1 上任意一点,过点 H 作直线 l 的垂线 m,设
线段 FH 的中垂线与直线 m 交于点 P,记点 P 的轨迹为Γ.
- 16 -
(1)求轨迹Γ的方程;
(2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD,其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A、B,直线 CD 与轨迹Γ
交于点 C、D,设点 M,N 分别是 AB 和 CD 的中点.
①问直线 MN 是否恒过定点,如果经过定点,求出该定点,否则说明理由;
②求△FMN 的面积的最小值.
【答案】(1) 2 4x y .(2)①恒过定点,定点为(0,3)②4
【解析】
【分析】
(1)设 P 的坐标,由题意可得|PF|=|PH|,整理可得 P 的轨迹方程;
(2)①由题意可得直线 BA,CD 的斜率都存在,设直线 AB 的方程与抛物线联立求出两根之和,
进而求出 AB 的中点 M 的坐标,同理可得 N 的坐标,进而求出直线 MN 的斜率,再求直线 MN 的
方程,可得恒过定点;
②因为直线 MN 恒过定点,所以得 S△FMN
1
2 FQ |xM﹣xN|,由均值不等式可得△FMN 的面积
的最小值为 4.
【详解】(1)设 P 的坐标(x,y)由题意可得|PF|=|PH|,
所以 2 2( 1)x y |y+1|,
整理可得 x2=4y,
所以轨迹Γ的方程:x2=4y;
(2)由题意可得直线 AB,CD 的斜率均存在,设直线 AB 的方程:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,
y2),
直线与抛物线联立 2
1
4
y kx
x y
,整理可得:x2﹣4kx﹣4=0,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,
所以 AB的中点 M(2k,2k2+1),
同理可得 N( 2
2 2
k k
, 1),
所以直线 MN 的斜率为
2
2
22 1 1 1
22
k k k kk k
,
- 17 -
所以直线 MN 的方程为:y﹣(2k2+1)=(k 1
k
)(x﹣2k),
整理可得 y=(k 1
k
)x+3,所以恒过定点 Q(0,3).
①所以直线恒过定点(0,3);
②从而可得 S△FMN
1
2 FQ |xM﹣xN| 1 22
|2k 2
k
|=2|k 1
k
|≥4,当 1k 时取得等号.
所以△FMN 的面积的最小值为 4.
【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合,及直线恒过定点的证明,均值不等式
的应用,属于中档题.
22.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=﹣2 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系,C2 极坐标方程为:ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.
(1)求 C1 的极坐标方程和 C2 的普通方程;
(2)若直线 C3 的极坐标方程为 4 R ,设 C2 与 C3 的交点为 M,N,又 C1:x=﹣2 与 x
轴交点为 H,求△HMN 的面积.
【答案】(1)C1 的极坐标方程 cos 2 ,C2 的普通方程 2 2( 1) ( 2) 1x y .(2)1
【解析】
【分析】
(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
(2)利用一元二次方程根和系数关系和极径的应用求出结果.
【详解】(1)直线 C1:x=﹣2,转换为极坐标方程为ρcosθ=﹣2.
C2 极坐标方程为:ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0,
转换为直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=1.
- 18 -
(2)将
4
代入 C2 极坐标方程为:ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.得到 2 3 2 4 0 ,
解得 1 22 2 2 , ,
所以 1 2 2MN ,
由于 H(﹣2,0)到直线 y=x 的距离为 2 ,
所以 S△HNM=1.
【点睛】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极径的应
用,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,
属于基础题型.
23.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.
(1)当 a=2 时,求证:﹣3≤f(x)≤3;
(2)若关于 x 的不等式 f(x)≤x2﹣8x+20 在 R 恒成立,求实数 a 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析.(2)[0,9]
【解析】
【分析】
(1) 2a 代入,利用绝对值不等式的性质可得 2 5 3x x ,进而得证;
(2)分 5a 及 5a 两种情况讨论,每种情况下都把函数 f(x)化为分段函数的形式,再根据
题意转化为关于 a 的不等式,每种情况解出后最后取并集即可.
【详解】(1)证明:当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|,
∴||x﹣2|﹣|x﹣5|| |x﹣2﹣(x﹣5)|=3,
∴﹣3 |x﹣2|﹣|x﹣5| 3,即﹣3 f(x) 3;
(2)解:f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|,
①当 a 5 时,
5
2 5 5
5 5
a x a
f x x a x a
a x
,
,
,
,则f(x)max=a﹣5,且 y=x2﹣8x+20=x2﹣8x+16+4=(x
﹣4)2+4 4,
要使 f(x) x2﹣8x+20 在 R 恒成立,则只需 4 a﹣5,则 a 9,此时 5 a 9;
- 19 -
②当 a<5 时,
5 5
2 5 5
5
a x
f x x a a x
a x a
,
,
,
,
需要
2 8 20 2 5
4 5
x x x a
a
恒成立,
∴ 100 4 20 5 0
9
a
a
,
∴ 0 5a ,
综合①②可知,0 a 9,即实数 a 的取值范围为[0,9].
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及其性质,考查不等式的恒成立问题,考查分类讨论
思想及运算求解能力,属于中档题.
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