• 1.41 MB
  • 2021-06-10 发布

湖北省武汉市部分学校2020届高三下学期5月模拟考试数学(文)试题 Word版含解析

  • 20页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
- 1 - 数学试题 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.复数 z 1 2 i i   ( ) A. 2 5 5 i B. 2 5 5 i  C. 1 2 5 5 i D. 1 2 5 5 i 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简,从而得出正确选项. 【详解】z       1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 5 5 i ii ii i i          . 故选:B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题. 2.已知全集 U=R,集合 A={x|x2≤4},那么 U A ð ( ) A. (﹣∞,﹣2) B. (2,+∞) C. (﹣2,2) D. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 【答案】D 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合 A ,由此求得 U Að . 【详解】∵全集 U=R,集合 A={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}, ∴ U Að ={x|x<2 或 x>2}=(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞). 故选:D. 【点睛】本题考查补集的求法,考查补集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 3.已知圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0 的圆心在直线 3x+y﹣a=0,则实数 a 的值为( ) A. ﹣1 B. 1 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 - 2 - 【分析】 根据题意,求出圆的圆心坐标,将其代入直线的方程,解方程可得 a 的值. 【详解】根据题意,圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0 的圆心为(﹣1,2), 若圆 x2+y2+2x﹣4y﹣8=0 的圆心在直线 3x+y﹣a=0 上,则有 3×(﹣1)+2﹣a=0, 解得:a=﹣1; 故选:A. 【点睛】本题考查圆的一般方程与直线的方程,注意求出圆的圆心坐标,属于基础题. 4.若等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和,a1=1,则 a4=( ) A. 1 2  B. 3 2 C. 1 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式与求和公式列方程,求得 d ,进而求得 4a . 【详解】由题意可得:S9=S4,∴9×1+36d=4×1+6d,解得 d 1 6   . ∴a4=1﹣3 1 1 6 2   . 故选:C. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题. 5. 如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等 腰三角形和菱形,则该几何体体积为( ) A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 试题分析:根据已知中的三视图及相关视图边的长度,我们易判断出该几何体的形状及底面 - 3 - 积和高的值,代入棱锥体积公式即可求出答案. 解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥 由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 ,2,底面边长为 2 故底面棱形的面积为 =2 侧棱为 2 ,则棱锥的高 h= =3 故 V= =2 故选 C 点评:本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形 状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键. 6.已知 sinα 2 3  ,α为第二象限角,则 cos( 2   2α)=( ) A. 4 5 9  B. 1 9  C. 1 9 D. 4 5 9 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cosα的值,进而利用诱导公式,二倍角的正弦函数 公式即可求解. 【详解】∵sinα 2 3  ,α为第二象限角, ∴cosα 2 51 3sin      , ∴cos( 2   2α)=sin2α=2sinαcosα=2 2 3  ( 5 3  ) 4 5 9   . 故选:A. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,诱导公式,二倍角的正弦函数公式在三 角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题. - 4 - 7.已知向量 a ,b 满足 ( 2 ) ( ) 6a b a b       ,| b |=2,且 a 与 b 的夹角为 3  ,则| a |=( ) A. 2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 直接根据数量积的展开式结合已知条件,即可求解结论. 【详解】因为向量 a b, 满足( 2a b  )•( a b  )=﹣6,|b |=2,且 a 与b 的夹角为 3  , ∴( 2a b  )•( a b  ) 2 22a a b b       | a |2+| a |•| b |•cos 2 23 b    6⇒| a |2+| a | ﹣2=0⇒| a |=1(负值舍) 故选:B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用以及模长的计算,属于基础题目. 8.如果从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组三角形三条边的边长有 概率为( ) A. 3 10 B. 1 5 C. 1 10 D. 1 20 【答案】A 【解析】 【分析】 基本事件总数 n 3 5 10C  ,利用列举法求出这 3 个数构成一组三角形三条边的边长包含的基 本事件有 3 个,由此能求出这 3 个数构成一组三角形三条边的边长的概率. 【详解】从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数, 基本事件总数 n 3 5 10C  , 这 3 个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有: {2,3,4},{2,4,5},{3,4,5},共 3 个, ∴这 3 个数构成一组三角形三条边的边长的概率 p 3 10  . 故选:A. 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. - 5 - 9.已知 F1,F2 是双曲线 C: 2 2 2 2 1( 0 0)x y a ba b    , 的两个焦点,P 是 C 上一点,满足 |PF1|+|PF2|=6a,且∠F1PF2 3  ,则 C 的离心率为( ) A. 2 B. 5 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线的定义及|PF1|+|PF2|=6a 可得|PF1|,|PF2|的值,在三角形 PF1F2 中由余弦定理可得 a, c 的关系,从而求出离心率. 【详解】由双曲线的对称性设 P 在第一象限,因为|PF1|+|PF2|=6a,由双曲线的定义可得 |PF1|=2a+|PF2|, 所以|PF2|=2a,|PF1|=4a, 因为∠F1PF2 3  ,在三角形 PF1F2 中,由余弦定理可得 cos∠F1PF2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 | | | | 2 PF PF F F PF PF     , 即 2 2 21 16 4 4 2 2 2 4 a a c a a     ,整理可得:3a2=c2,可得 e 3 , 故选:D. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法,属于中档题. 10.函数 ( ) | ln | 2xf x e x  的零点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B - 6 - 【解析】 【分析】 把零点个数问题化为两个函数的交点,作函数的图象求解即可. 【详解】函数 f(x)=ex|lnx|﹣2 的零点可以转化为:|lnx| 2 xe  的零点; 在坐标系中画出两个函数 2ln , xy x y e   的图象,根据图象可得有两个交点; 故原函数有两个零点. 故选:B. 【点睛】本题考查了方程的根与函数的图象的应用,属于基础题. 11.已知函数 f(x) 3 sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且 y=f(x)图象 的两相邻对称轴间的距离为 2  ,则 f( 6  )的值为( ) A. ﹣1 B. 1 C. 3 . D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用辅助角公式进行化简,结合 f(x)是偶函数,求出φ的值,利用 f(x)的对称轴之间的距离 求出函数的周期和ω,代入进行求值即可. 【详解】f(x) 3 sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ 6  ), ∵f(x)是偶函数,∴φ 6   kπ 2  ,k∈Z, 得φ=kπ 2 3  , ∵0<φ<π,∴当 k=0 时,φ 2 3  , - 7 - 即 f(x)=2sin(ωx 2 3 6    )=2sin(ωx 2  )=2cosωx, ∵y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 2  , ∴ 2 2 T  ,即 T=π,即 2   π, 得ω=2, 则 f(x)=2cos2x, 则 f( 6  )=2cos(2 6  )=2cos 123 2     1, 故选:B. 【点睛】本题主要考查三角函数值的计算,利用辅助角公式,结合三角函数的性质求出函数 的解析式是解决本题的关键.难度不大. 12.设奇函数 ( )f x ,( )x R 的导函数为 ( )f x ,且 ( 1) 0f   ,当 0x  时, ( ) ( ) 0xf x f x   , 则使得 ( ) 0f x  成立的 x 的取值范围是( ) A. ( , 1) ( 1,0)   B. (0,1) (1, )  C. ( , 1) (0,1)   D. ( 1,0) (1, )- È +¥ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据所给不等式,构造函数    g x x f x  ,由导数与单调性关系可知  g x 在 0x  时单调 递增,由函数奇偶性的性质可知  g x 为偶函数,画出函数示意图,即可求得 ( ) 0f x  成立的 x 的取值范围. 【详解】令    g x x f x  , 则      g x x f x f x     , 当 0x  时, ( ) ( ) 0xf x f x   , 则当 0x  时,    g x x f x  为单调递增函数, ( )f x 为奇函数,则    g x x f x  为偶函数, - 8 - 且由 ( 1) 0f   ,可知 (1) ( 1) 0f f    , 所以    1 1 0g g   ,则    g x x f x  的函数关系示意图如下图所示: 当 0x  时,若 ( ) 0f x  ,则   0g x  ,此时  1,0x  ; 当 0x  时,若 ( ) 0f x  ,则   0g x  ,此时  1,x  ; 综上可知, ( ) 0f x  的解集为 ( 1,0) (1, )- È +¥ , 故选:D. 【点睛】本题考查了构造函数法解不等式,导数与函数单调性的关系应用,奇偶性的性质应 用,数形结合法解不等式的应用,属于中档题. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知实数 x,y 满足约束条件 2 1 1 y x x y y        ,则 z=x+2y 的最小值为_____ 【答案】 5 2  【解析】 【分析】 画出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,即可求出 z 的最小值. 【详解】作出实数 x,y 满足约束条件 2 1 1 y x x y y        ,对应的平面区域如图: - 9 - 由 z=x+2y 得 y 1 1 2 2x z   ,平移直线 y 1 1 2 2x z   , 由图象可知当直线 y 1 1 2 2x z   经过点 A( 1 2  ,﹣1)时,直线的截距最小,此时 z 最小. 即 z 1 2    2×(﹣1) 5 2   , 故答案为: 5 2  . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,结合数形结合是解决本题的关 键. 14.若函数 f(x)=ax+lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 f(x)的最大值为_____. 【答案】 1 【解析】 【分析】 先利用切点处切线与 x 轴平行,求出 a 的值,然后利用导数研究函数的单调性,求出最大值. 【详解】  ' 1f x a x   ,∴  ' 1f =a+1=0,∴a=﹣1. ∴f(x)=lnx﹣x,(x>0) ∵  ' 1 11 xf x x x    , 易知,x∈(0,1)时,  ' 0f x  ,f(x)递增;x∈(1,+∞)时,  ' 0f x  ,f(x)递减. ∴f(x)max=f(1)=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的最值.求切线时,抓住切点满足的两 个条件列方程是关键.属于基础题. - 10 - 15.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1,则异面直线 BC1 与 AB1 所成角的余弦值为 _____. 【答案】 0 【解析】 【分析】 通过证明 AC⊥平面 BCC1,证得 AC⊥BC1,再结合 BC=CC1 得正方形 BCC1B1,则 BC1⊥B1C,证得 BC1⊥ 平面 ACB1,则问题可解. 【详解】如图:因为直棱柱 ABC﹣A1B1C1,所以侧面 BCC1B1⊥底面 ABC 又 AC⊥BC,∴AC⊥平面 BCC1B1,∴AC⊥BC1. 又 BC=CC1,∴四边形 BCC1B1 是正方形,故 BC1⊥B1C,结合 AC∩B1C=C, 故 BC1⊥平面 AB1C,而 AB1⊂平面 AB1C,所以 BC1⊥AB1. 异面直线 BC1 与 AB1 所成角为 2  ,余弦值为 0. 故答案为:0. 【点睛】本题考查空间角的计算问题,要注意空间线线、线面、面面之间平行关系之间、垂直关 系之间、平行与垂直关系间的转化.属于中档题. 16.在△ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60°,则 sinC=_____. 【答案】 21 7 【解析】 【分析】 已知利用余弦定理可求 BC 的值,进而利用正弦定理可求 sinC 的值. - 11 - 【详解】∵AB=2,AC=3,A=60°, ∴由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3 1 2   7, ∵BC>0, ∴BC 7 . ∴由正弦定理 AB BC sinC sinA  ,可得 32 212sin 77 AB sinAC BC    . 故答案为: 21 7 . 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基 础题. 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题,每个试 题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 17.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.4,购买乙种保险但不购买甲种保 险的概率为 0.2.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2)求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 【答案】(1) 0.6 .(2) 0.432 【解析】 【分析】 (1)根据和事件概率求法,求得所求概率. (2)由(1)求得1为车主甲、乙两种保险都不购买的概率,根据独立重复事件概率计算公式, 计算出所求概率. 【详解】(1)记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险, 则 P(A)=0.4, 设 B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险, 则 P(B)=0.2, 设事件 C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种, 则该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为: - 12 - P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6. (2)设事件 D 表示:该地 1 位车主甲、乙两种保险都不购买,则 D C , ∴P(D)=1﹣P(C)=1﹣0.6=0.4, 设 E 表示:该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买, 则该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率: P(E) 1 2 3 0.4 0.6C    0.432. 【点睛】本题考查概率的求法,考查互斥事件概率加法公式、n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 n n nb S  ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 【答案】(1) 2 1, 1 2 , 2n n na n    .(2) 1 24 2n n nT    【解析】 【分析】 (1)根据 1 1 , 1 , 2n n n S na S S n     求出数列的通项公式, (2)利用错位相减法即可求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 【详解】(1),a1=1,Sn=an+1=Sn+1﹣Sn, ∴Sn+1=2Sn, ∴数列{Sn}是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, ∴Sn=1×2n﹣1=2n﹣1, ∴an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2,n≥2, ∴an 2 1 1 2 2n n n    , , , (2) n n nb S   n•( 1 2 )n﹣1, - 13 - ∴Tn=( 1 2 )0+2•( 1 2 )1+3•( 1 2 )2+…+n•( 1 2 )n﹣1,①, 由① 1 2  可得, 1 2 Tn=( 1 2 )1+2•( 1 2 )2+3•( 1 2 )3+…+n•( 1 2 )n,②, 由①﹣②可得 1 2 Tn=1+( 1 2 )1+( 1 2 )2+( 1 2 )3+…+( 1 2 )n﹣1﹣n•( 1 2 )n 11 2 11 2 n    n•( 1 2 )n=2﹣ 2×( 1 2 )n﹣n•( 1 2 )n=2﹣(n+2)•( 1 2 )n, ∴Tn=4 1 2 2n n   . 【点睛】本题考查数列递推式,考查了错位相减法求数列的和,是中档题. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=2,DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°. (1)求证:AD⊥PB; (2)求 A 点到平面 BPC 的距离. 【答案】(1)证明见解析.(2) 4 5 5 【解析】 【分析】 (1)利用勾股定理证得 AD⊥BD,又 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AD,从而由线面垂直的判定定 理得到 AD⊥平面 PBD,所以 AD⊥PB; (2)证得 BC⊥PC,求出 S△BPC 和 S△ABC,再由 VA﹣BPC=VP﹣ABC 利用等体积法即可求出点 A 到平面 PBC 的距离. 【详解】(1)如图所示: 在四边形 ABCD 中,连接 BD,由 DC=BC=1,AB=2,∠BCD=∠ABC 2  , - 14 - 在△ABD 中,BD=AD 2 ,又 AB=2, 因此 AD⊥BD,又 PD⊥平面 ABCD, ∴PD⊥AD,又 BD∩PD=D, ∴AD⊥平面 PBD, ∴AD⊥PB; (2)在四棱锥 P﹣ABCD 中,∵PD⊥平面 ABCD, ∴PD⊥BC,而 BC⊥DC, ∴BC⊥平面 PDC, ∴BC⊥PC,又 2 2 2 21 2 5PC PD DC     , ∴ 1 5 2 2BPCS BC PC    ,而 S△ABC 1 2 AB BC    1, ,设点 A 到平面 PBC 的距离为 h, 由 VA﹣BPC=VP﹣ABC 可得: 1 1 3 3BPC ABCS h S PD      , ∴ 1 2 4 5 55 2 h   , 即点 A 到平面 PBC 的距离为 4 5 5 . 【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明,以及等体积法求点到平面的距离,是基础题. 20.已知函数 f(x)=aex﹣x, (1)求 f(x)的单调区间, (2)若关于 x 不等式 aex≥x+b 对任意 xR 和正数 b 恒成立,求 b a 的最小值. - 15 - 【答案】(1)答案见解析.(2)1 【解析】 【分析】 (1)先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性的关系即可求出; (2)先根据(1)利用导数和函数最值的关系求出    min ln 1 lnf x f a a b     ,可得 1 a a b lna   ,设   1 ah a lna   ,利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】(1)f′(x)=aex﹣1, 当 a≤0 时,  f x <0,f(x)在 R 上单调递减, 若 a>0 时,令  f x =aex﹣1=0,x=﹣lna, 在 x>﹣lna 时,  f x >0,f(x)为增函数, 在 x<﹣lna 时,  f x <0,f(x)为减函数, 所以,当 0a  时, ( )f x 的单调减区间为 ( , )  ,无增区间; 当 0a  时, ( )f x 的单调减区间为( , ln )a  ,增区间为 ( ln , )a  . (2)f(x)=aex﹣x,由题意 f(x)min≥b, 由(1)可知,当 a≤0 时,f(x)在 R 上单调递减,无最小值,不符合题意, 当 a>0 时,f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b, ∴ 1 a a b lna   , 设 h(a) 1 a lna   ,则  h a 2(1 ) lna lna   , a∈(0,1],  h a <0;a∈[1,+∞),  h a ≥0, ∴h(a)min=h(1)=1. 所以 a b 的最小值为1. 【点睛】本题考查了导数和函数单调性的关系以及和最值的关系,考查了函数恒成立的问题, 考查了运算能力和转化能力,属于中档题. 21.已知 F(0,1)为平面上一点,H 为直线 l:y=﹣1 上任意一点,过点 H 作直线 l 的垂线 m,设 线段 FH 的中垂线与直线 m 交于点 P,记点 P 的轨迹为Γ. - 16 - (1)求轨迹Γ的方程; (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD,其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A、B,直线 CD 与轨迹Γ 交于点 C、D,设点 M,N 分别是 AB 和 CD 的中点. ①问直线 MN 是否恒过定点,如果经过定点,求出该定点,否则说明理由; ②求△FMN 的面积的最小值. 【答案】(1) 2 4x y .(2)①恒过定点,定点为(0,3)②4 【解析】 【分析】 (1)设 P 的坐标,由题意可得|PF|=|PH|,整理可得 P 的轨迹方程; (2)①由题意可得直线 BA,CD 的斜率都存在,设直线 AB 的方程与抛物线联立求出两根之和, 进而求出 AB 的中点 M 的坐标,同理可得 N 的坐标,进而求出直线 MN 的斜率,再求直线 MN 的 方程,可得恒过定点; ②因为直线 MN 恒过定点,所以得 S△FMN 1 2 FQ   |xM﹣xN|,由均值不等式可得△FMN 的面积 的最小值为 4. 【详解】(1)设 P 的坐标(x,y)由题意可得|PF|=|PH|, 所以 2 2( 1)x y   |y+1|, 整理可得 x2=4y, 所以轨迹Γ的方程:x2=4y; (2)由题意可得直线 AB,CD 的斜率均存在,设直线 AB 的方程:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2, y2), 直线与抛物线联立 2 1 4 y kx x y     ,整理可得:x2﹣4kx﹣4=0,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2, 所以 AB的中点 M(2k,2k2+1), 同理可得 N( 2 2 2 k k  , 1), 所以直线 MN 的斜率为 2 2 22 1 1 1 22 k k k kk k          , - 17 - 所以直线 MN 的方程为:y﹣(2k2+1)=(k 1 k  )(x﹣2k), 整理可得 y=(k 1 k  )x+3,所以恒过定点 Q(0,3). ①所以直线恒过定点(0,3); ②从而可得 S△FMN 1 2 FQ   |xM﹣xN| 1 22    |2k 2 k  |=2|k 1 k  |≥4,当 1k   时取得等号. 所以△FMN 的面积的最小值为 4. 【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合,及直线恒过定点的证明,均值不等式 的应用,属于中档题. 22.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=﹣2 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,C2 极坐标方程为:ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0. (1)求 C1 的极坐标方程和 C2 的普通方程; (2)若直线 C3 的极坐标方程为  4 R   ,设 C2 与 C3 的交点为 M,N,又 C1:x=﹣2 与 x 轴交点为 H,求△HMN 的面积. 【答案】(1)C1 的极坐标方程 cos 2    ,C2 的普通方程 2 2( 1) ( 2) 1x y    .(2)1 【解析】 【分析】 (1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. (2)利用一元二次方程根和系数关系和极径的应用求出结果. 【详解】(1)直线 C1:x=﹣2,转换为极坐标方程为ρcosθ=﹣2. C2 极坐标方程为:ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0, 转换为直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=1. - 18 - (2)将 4   代入 C2 极坐标方程为:ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.得到 2 3 2 4 0    , 解得 1 22 2 2  , , 所以 1 2 2MN     , 由于 H(﹣2,0)到直线 y=x 的距离为 2 , 所以 S△HNM=1. 【点睛】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极径的应 用,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力, 属于基础题型. 23.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|. (1)当 a=2 时,求证:﹣3≤f(x)≤3; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≤x2﹣8x+20 在 R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析.(2)[0,9] 【解析】 【分析】 (1) 2a  代入,利用绝对值不等式的性质可得 2 5 3x x    ,进而得证; (2)分 5a  及 5a  两种情况讨论,每种情况下都把函数 f(x)化为分段函数的形式,再根据 题意转化为关于 a 的不等式,每种情况解出后最后取并集即可. 【详解】(1)证明:当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|, ∴||x﹣2|﹣|x﹣5|| |x﹣2﹣(x﹣5)|=3, ∴﹣3  |x﹣2|﹣|x﹣5| 3,即﹣3  f(x)  3; (2)解:f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|, ①当 a 5 时,   5 2 5 5 5 5 a x a f x x a x a a x            , , , ,则f(x)max=a﹣5,且 y=x2﹣8x+20=x2﹣8x+16+4=(x ﹣4)2+4  4, 要使 f(x) x2﹣8x+20 在 R 恒成立,则只需 4  a﹣5,则 a  9,此时 5  a  9; - 19 - ②当 a<5 时,   5 5 2 5 5 5 a x f x x a a x a x a           , , , , 需要 2 8 20 2 5 4 5 x x x a a          恒成立, ∴  100 4 20 5 0 9 a a          , ∴ 0 5a  , 综合①②可知,0  a  9,即实数 a 的取值范围为[0,9]. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及其性质,考查不等式的恒成立问题,考查分类讨论 思想及运算求解能力,属于中档题. - 20 -