【数学】2020届一轮复习（文）通用版4-7正弦定理和余弦定理（一）作业 5页

课时跟踪检测（二十九） 正弦定理和余弦定理（一）‎ A级——保大分专练 ‎1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，则B的大小为(　　)‎ A．30°　　　　　　　　 　B．45°‎ C．60° D．90°‎ 解析：选B　由正弦定理知，＝，‎ ‎∴sin B＝cos B，∴B＝45°.‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)‎ A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 解析：选C　由正弦定理得＝，‎ ‎∴sin B＝＝＝>1.‎ ‎∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．‎ ‎3．(2018·重庆六校联考)在△ABC中，cos B＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选A　因为cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．‎ ‎4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3， cos B＝，则b＝(　　)‎ A．14 B．6‎ C. D. 解析：选D　∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－2×3×1×＝6，∴b＝.‎ ‎5．(2019·莆田调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C ‎＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝.∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B＝.‎ ‎6．(2019·山西大同联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos A＋acos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则a＝(　　)‎ A. B．3‎ C. D．4‎ 解析：选B　由正弦定理可得2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝csin C，‎ ‎∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，‎ ‎∴2sin C＝csin C，∵sin C>0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋22－2×3×2×＝9，∴a＝3.‎ ‎7．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝________.‎ 解析：C＝180°－75°－45°＝60°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 即＝，解得AC＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.‎ 解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.‎ 又∵a＝2，∴b＝3.‎ 由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ ‎∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，∴c＝4.‎ 答案：4‎ ‎9．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b ‎＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.‎ 解析：由正弦定理＝，‎ 得sin B＝·sin A＝×＝.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 得7＝4＋c2－4c×cos 60°，‎ 即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．‎ 答案：　3‎ ‎10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.‎ 解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得a＋c＝2b，又因为a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－.‎ 答案：－ ‎11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B.‎ ‎(1)求证：a＝2bcos B；‎ ‎(2)若b＝2，c＝4，求B的值．‎ 解：(1)证明：因为A＝2B，所以由正弦定理＝，得＝，所以a＝2bcos B.‎ ‎(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 因为b＝2，c＝4，A＝2B，‎ 所以16cos2B＝4＋16－16cos 2B，所以cos2B＝，‎ 因为A＋B＝2B＋B<π，‎ 所以B<，所以cos B＝，所以B＝.‎ ‎12．(2019·绵阳模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．‎ 解：(1)由已知，结合正弦定理，‎ 得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.‎ 又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 所以bc＝－2bccos A，即cos A＝－.‎ 由于A为△ABC的内角，所以A＝.‎ ‎(2)由已知2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，‎ 结合正弦定理，得2sin2A＝(2sin B＋sin C)sin B＋(2sin C＋sin B)sin C，‎ 即sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2＝.‎ 又由sin B＋sin C＝1，‎ 得sin2B＋sin2C＋2sin Bsin C＝1，‎ 所以sin Bsin C＝，结合sin B＋sin C＝1，‎ 解得sin B＝sin C＝.‎ 因为B＋C＝π－A＝，所以B＝C＝，‎ 所以△ABC是等腰三角形．‎ B级——创高分自选 ‎1．(2019·郑州质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1,4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为(　　)‎ A. B. C. D．6‎ 解析：选A　由2cos2－cos 2C＝1，得1＋cos(A＋B)－(2cos2C－1)＝2－2cos2C－cos C＝1，即2cos2C＋cos C－1＝0，解得cos C＝或cos C＝－1(舍去)．由4sin B＝3sin A及正弦定理，得4b＝3a，结合a－b＝1，得a＝4，b＝3.由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2ab cos C＝42＋32－2×4×3×＝13，所以c＝.‎ ‎2．(2019·长春模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，＝，若sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，则a＋b＝________.‎ 解析：∵＝＝，且由正弦定理可得a＝2Rsin A，c＝2Rsin C(R为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.∵sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，sin C＝sin(A＋B)，∴2sin Acos B＝4sin Bcos B．当cos B＝0时，B＝，则A＝，∵c＝， ∴a＝1，b ‎＝2，则a＋b＝3.当cos B≠0时，sin A＝2sin B，即a＝2b.∵cos C＝＝，∴b2＝1，即b＝1，∴a＝2，则a＋b＝3.综上，a＋b＝3.‎ 答案：3‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c＝2b.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若c＝，角B的平分线BD＝，求a.‎ 解：(1)2acos C－c＝2b⇒2sin Acos C－sin C＝2sin B⇒2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C)＝2sin Acos C＋2cos Asin C，‎ ‎∴－sin C＝2cos Asin C，‎ ‎∵sin C≠0，∴cos A＝－，‎ 又A∈(0，π)，∴A＝.‎ ‎(2)在△ABD中，由正弦定理得，＝，‎ ‎∴sin∠ADB＝＝.‎ 又∠ADB∈(0，π)，A＝，‎ ‎∴∠ADB＝，∴∠ABC＝，∠ACB＝，b＝c＝，‎ 由余弦定理，得a2＝c2＋b2－2c·b·cos A＝()2＋()2－2××cos＝6，∴a＝.‎