贵州省毕节市2020届高三诊断性考试（三）理科数学试题答案（三模定） 6页

毕节市 2020 届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 1 页 共 6 页 毕节市 2020 届高三年级诊断性考试（三） 理科数学参考答案及评分建议 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D C A A D D A C B B 二、填空题 13. 3− 14. 6 π 15. 4 3− 16. ④ 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）当 1>n 时 31 33 1 1 1 1 11 =+ +=+ += − − −− n n n n n n a a a a b b 当 1=n 时， 21 =b ∴数列 }{ nb 是首项为 2，公比为 3 的等比数列..................................…. 6 分 （Ⅱ）由（1）知 1)3(21 −×=+= n nn ab ∴ 1)3(2 1 −= −n na ∴ 12 1 12 1 )12)(12( 2 )12)(12](1)3(2[ 2 1 +−−=+−= +−− = − nnnnnn ac n n n ∴ 12 2 12 1112 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 1 +=+−=+−−++−+−= n n nnn....Tn ...................…. 12分 毕节市 2020 届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 2 页 共 6 页 18. 解：（1）每天准时提交作业的 A 等学生人数为： 301010003.0 =×× 根据题意得到列联表 A 等 非 A 等 合计 每天准时提交作业 30 70 100 偶尔没有准时提交作业 5 35 40 合计 35 105 140 841.3667.43 14 1053510040 )7053530(140 2 2 >≈=××× ×−××=K 所以有 95%以上的把握认为成绩取得 A 等与每天准时提交作业有关. .............…. 6 分 （2）成绩低于 60 分的学生共 8 人，其中每天准时提交作业的有 5 人，偶尔没有准 时提交作业的有 3 人， 所以随机变量 4,3,2,1=X ． 14 1 70 5)1( 4 8 3 3 1 5 ==⋅== C CCxP ； 7 3 70 30)2( 4 8 2 3 2 5 ==⋅== C CCxP ； 7 3 70 30)3( 4 8 1 3 3 5 ==⋅== C CCxP ； 14 1 70 5)4( 4 8 0 3 4 5 ==⋅== C CCxP ． 随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 4 P 14 1 7 3 7 3 14 1 随机变量 X 的数学期望为： 2 5 14 147 337 3214 11)( =×+×+×+×=XE .………12 分 毕节市 2020 届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 3 页 共 6 页 19.（1）证明：连接 AN Q四边形 ABNM 的边长均为 2， ANMB ⊥∴ NCMB ⊥Q 且 NNCAN =I ⊥∴MB 面 NAC ⊂ACQ 面 NAC ACMB ⊥∴ .. ...............................................................................................................…5 分 （2）连接 MFBF, ABCΔQ 为正三角形， F 为 AC 中点 BFAC ⊥∴ 由（1）得 MBAC ⊥ ，且 BMBBF =I MBFAC 面⊥∴ MFAC ⊥∴ 在 MAFΔ 中 1,2 == AFMAQ 3=∴MF 又 3=BFQ ， 6=MB 222 MBBFMF =+∴ BFMF ⊥∴ 以 F 为原点， FMFCFB ,, 所在的直线分别为 zyx ,, 轴，建立空间直角坐标系如图所示 则 )3,2 1,2 3(),3,0,0(),0,1,0(),0,0,0(),0,0,3( EMCFB )3,1,0(),3,0,3(),3,2 1,2 3( −=−==∴ CMBMFE 设平面 MBC 的法向量为 ),,( zyxn = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+− =+−∴ 03 033 zy zx 令 1=z ，解得 )1,3,1(=n 毕节市 2020 届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 4 页 共 6 页 设直线 EF 与平面 MBC 所成的角为θ 则 5 15 |||| ||sin = ⋅ ⋅= FEn FEn r r θ ………….….……….……….………..…….…….….…12 分 20. 解：（1）设 ),(),2,( 11 yxMptQ − ，则 1 2 1 2pyx = 由 p xypyx 22 2 2 =⇒= 所以 p xy =′ ，所以切线 MQ 的斜率为 p xkMQ 1= ， 故 p x tx py 1 1 1 2 =− + ，整理得 022 2 11 =+− ppytx ，设 ),( 22 yxN ， 同理可得 022 2 22 =+− ppytx 所以直线 MN 的方程为 022 2 =+− ppytx 所以直线 MN 恒过定点 )20( p， …..…….…….….….…….….….…….….….…….….…6 分 （2）由（1）得直线 MN 的方程为 2 p p txy += 由 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = += p xy p p txy 2 2 2 可得 02 22 =−− ptxx ， pp tpxxp tyytxx +=++=+=+ 2 212121 2)(,2 设 H 为线段 MN 的中点，则 )2,( 2 p p ttH + ， 由于 MNGH ⊥ ，而 )2,( 2 pp ttGH −= ， MN 与向量 )1( p t， 平行，所以 0)2( 2 =−+ pp t p tt ， 解得 ptt ±== 或0 当 0=t 时， pGHRG 2|| ==半径圆 ， π24pG的面积为所以圆 当 pt ±= 时， pGHRG 2|| ==半径圆 ， π22pG的面积为所以圆 ….….…….….…….…. 12 分 毕节市 2020 届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 5 页 共 6 页 21. 解：（1） mx mx xmxf −=−=′ 11)( , 令 0)( =′ xf 得 mx = 当 0>m 时，函数 )(xf 的定义域为 ),0( +∞ 令 0)( >′ xf 得 mx > ； 0)( <′ xf 得 mx <<0 所以 )(xf 的单调递减区间为 ),0( m ，单调递增区间为 ),( +∞m 当 0′ xf 得 0<< xm ； 0)( <′ xf 得 mx < 所以 )(xf 单调递减区间为 ),( m−∞ ，单调递增区间为 )0,(m ，.….….…….….….….…6 分 （2）要证： en <+++ )3 11()3 11)(3 11( 2 L 只需证： 2 1)]3 11()3 11)(3 11ln[( 2 <+++ nL 即证： 2 1)3 11ln()3 11ln()3 11ln( 2 <++++++ nL 由（1）知，取 1=m 时， )(xf 在 )1,0( 上单调递减，在 ),1( +∞ 上单调递增， 1)1()( =≥∴ fxf ，即 1ln ≥− xx 1ln −≤∴ xx nn 3 1)3 11ln( <+∴ nn 3 1 3 1 3 1)3 11ln()3 11ln()3 11ln( 22 +++<++++++∴ LL 2 1)3 11(2 1 3 11 )3 11(3 1 <−= − − = n n 所以，原不等式成立.…….…….…….…….……..…….……….…….…….….…….. 12 分 22.解：（1）由 013 2 1 2 31 =−−⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = += yx ty tx 毕节市 2020 届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 6 页 共 6 页 因为 222 sin cos yxy x += ⎩ ⎨ ⎧ = = ρθρ θρ 且 由 0cos40cos4 2 =−⇒=− θρρθρ 所以 4)2(04 2222 =+−=−+ yxxyx ，即 所以直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程分别为 和013 =−− yx 4)2( 22 =+− yx ….….…….….…….….….…….….….…….….5 分 （2）解把 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = += ty tx 2 1 2 31 带入 0422 =−+ xyx ，整理得 0332 =−− tt 设 |||||,||| 21 tPMtPN == 所以 3,3 2121 −==+ tttt 因为 |||| PNPM > 所以 || 1 || 111 21 ttPMPN −=− 3 3 21 21 =+= tt tt ……….…….….……..……......…10 分 23. 解：（1）由 6|| ≤− nmx 66 ≤−≤− nmx 0>mQ m nxm n 66 +≤≤−∴ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =+ −=− ∴ 16 36 m n m n 解得： 3,3 −== nm ….….…….….…….….….…….….….…….….5 分 （2）由 3=+ ba 得 6)2()1( =+++ ba 2,1 −>−> baQ )2 1 1 2(6 1 3 1 6 )2()1()2 1 1 1(2 1 1 1 + +++ ++=+++⋅+++=+++∴ b a a bba baba 3 2 3 1 3 1 =+≥ .…….….….….….….….….….….…….....….....….....….....….....…......…10 分