高考数学复习专题练习第1讲 变化率与导数、导数的运算 7页

第三章 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的运算 一、选择题 ‎1．下列函数求导运算正确的个数为(　　)‎ ‎①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；‎ ‎④′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析 求导运算正确的有②③2个，故选B.‎ 答案 B[来源:学|科|网]‎ ‎2．函数f(x)＝mx3＋(m＋1)x2＋x＋2，若f′(1)＝18，则m＝(　　)‎ A．4 B．3‎ C．5 D．6‎ 解析 ∵f′(x)＝3mx2＋2(m＋1)x＋1，‎ ‎∴f′(1)＝‎3m＋‎2m＋2＋1＝18，‎ ‎∴m＝3.‎ 答案 B ‎3．已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋x(a>0)，则f(2)的最小值为 ‎ (　　)．‎ A．12 B．12＋‎8a＋ C．8＋‎8a＋ D．16‎ 解析　f(2)＝8＋‎8a＋，令g(a)＝8＋‎8a＋，则g′(a)＝8－，由g′(a)>0得a>‎ ，由g′(a)<0得00)的导数为________．‎ 解析 对y＝x(x>0)两边取对数得lny＝lnx，两边求导得＝，∴y′＝x.＝x－2(1－ln x)．‎ 答案 y′＝x－2(1－ln x)‎ 三、解答题 ‎11．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(2x＋1)n(n∈N＋)；　(2)y＝ln (x＋)；‎ ‎(3)y＝2xsin(2x＋5)．‎ 解　(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.‎ ‎(2)y′＝·＝.‎ ‎(3)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；‎ ‎(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；‎ ‎(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x ‎＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．‎ 解　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．‎ ‎∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.‎ ‎∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ ‎∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，‎ 即y＝13x－32.‎ ‎(2)法一　设切点为(x0，y0)，‎ 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，‎ ‎∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，‎ 又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，‎ 整理得，x＝－8，∴x0＝－2，‎ ‎∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26.)‎ 法二　设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，‎ 则k＝＝ 又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，‎ 解之得x0＝－2，‎ ‎∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ ‎(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，‎ ‎∴切线的斜率k＝4.‎ 设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，‎ ‎∴x0＝±1，‎ ‎∴或 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.‎ 即y＝4x－18或y＝4x－14.‎ ‎13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y ‎－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ ‎(1)解　方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，‎ 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，‎ 于是解得故f(x)＝x－.‎ ‎(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)．‎ 令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.‎ 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.‎ ‎14．已知曲线Cn：y＝nx2，点Pn(xn，yn)(xn>0，yn>0)是曲线Cn上的点(n＝1,2，…)．‎ ‎(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；‎ ‎(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn，yn)．‎ 解 (1)∵y′＝2nx，∴y′|x＝xn＝2nxn，切线ln的方程为：y－n·x＝2nxn(x－xn)．‎ 即：2nxn·x－y－n·x＝0，令x＝0，‎ 得y＝－nx，∴Qn(0，－nx)．‎ ‎(2)设原点到ln的距离为d，则 d＝＝，‎ ‎|PnQn|＝.‎ 所以＝≤＝，‎ 当且仅当1＝4n2x，即x＝(xn>0)时，等号成立，‎ 此时，xn＝，所以，Pn.‎