2019届二轮复习集合、简易逻辑、函数与导数4学案（全国通用） 8页

第四讲 导数的简单应用 一、考点考频考法分析：‎ 考点 考频 考法 模型1‎ 导数的几何意义 ‎11年21T ‎12年13T ‎13年20T ‎14年21T ‎15年14T ‎17年14T ‎1、求切线方程的三种类型（①已知切点求切线；②已知切线斜率求切线；③已知切线上一点（不一定是切点）求切线）‎ ‎2、已知切线求参数的值（利用几何意义列出关于参数的方程）‎ ‎3、分类讨论解决含参函数的单调性问题（①定义域优先原则；②转化为含参不等式的解法）‎ ‎4、已知函数的单调性求参数的取值范围问题（转化为不等式恒成立问题：①讨论极值点与区间的位置关系，研究函数的最值；②分离参数后构造函数求最值，往往需要二次求导以及洛必达法则）‎ ‎5、求函数极值与最值的标准步骤（套路化，模式化）‎ 模型2‎ 导数小题压轴题 ‎14年12T ‎16年12T 模型3‎ 利用导数研究函数的单调性 ‎12年21T ‎13年20T ‎16年12T ‎16年21T ‎17年21T 模型4‎ 利用导数求函数的极值与最值 历年必考 二、高考回放：‎ ‎1、（17全国I，14T）曲线在点（1，2）处的切线方程为 .‎ ‎2、（15新课标I，14T）已知函数的图象在点的处的切线过点，则 .‎ ‎3、（12新课标，13T）曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为 .‎ ‎4、（16全国I，12T）若函数在单调递增，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D） （ ）‎ 以下5-11为近七年导数大题，仅供大家分析对比，后面的例习题中还会出现。‎ ‎5、（17全国I，21T）已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．‎ ‎（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围． ‎ ‎6、（16全国I，21T）已知函数. ‎ ‎(I)讨论的单调性；(II)若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎7、（15新课标I，21T）设函数.‎ ‎（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.‎ ‎8、（14新课标I，21T）设函数，曲线在点 处的切线斜率为0（I）求b;（II）若存在使得，求的取值范围。‎ ‎9、（13新课标I，20T）已知函数，曲线在点处切线方程为。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．‎ ‎10、（12新课标，21T）设函数f(x)= ex－ax－2。(Ⅰ)求f(x)的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值．‎ ‎11、（11新课标，21T）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（I）求a，b的值；（II）证明：当x>0，且时，．‎ 三、模型分解：模型1：导数的几何意义 例1、(2017·高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为 ．‎ ‎【变式1】（16全国III，16T）已知f(x)为偶函数，当 时，，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式 .‎ 模型2：导数小题压轴题 例2、定义在R上的函数满足：的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【变式2】（河南濮阳18届上二模）设是定义在上的可导函数为，且有，则不等式的解集为 （ ）‎ A． B． C．（-2018，－2017） D．‎ 总结：常见构造函数：(1)xf′(x)＋f(x)联想[xf(x)]′；(2)xf′(x)－f(x)联想′；‎ ‎(3)f′(x)＋f(x)联想′；(4)f′(x)－f(x)联想′；(5)f′(x)±k联想(f(x)±kx)′.‎ 模型3：利用导数研究函数的单调性（高频考点）‎ 例3、（17全国III，21T）已知函数 ‎（1）讨论的单调性；（2）当时，证明．‎ ‎【变式3】（17全国II，21T）设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.‎ 模型4：利用导数求函数的极值与最值（高频考点）‎ 例4、（13新课标I，20T）已知函数，曲线在点处切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值。‎ ‎【变式4】 （17北京II，20T） 已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ 四、当堂检测：‎ ‎1、（14新课标II，3T）函数在处导数存在，若p：f‘（x0）=0；q：x=x0是的极值点，则 A、是的充分必要条件 B、是的充分条件，但不是的必要条件 (　　)‎ C、是的必要条件，但不是的充分条件D、既不是的充分条件，也不是的必要条件 ‎2、（14新课标II，11T）若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是（A） （B）（C） （D） (　　)‎ ‎3、（13新课标II，11T）已知函数，下列结论中错误的是 (　　)‎ ‎（A）， （B）函数的图象是中心对称图形 ‎（C）若是的极小值点，则在区间单调递减 ‎（D）若是的极值点，则 ‎4、设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝ (　　)‎ A．0　　　　　B．1 C．2 D．3‎ ‎5、（15福建，文12）“对任意，”是“”的 (　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6、定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)＜，则不等式f(x2)＞的解集为A．(1,2)　　　　 B．(0,1) C．(－1,1) D．(1，＋∞) (　　)‎ ‎7、设函数在R上的导函数为，且和对任意实数都成立，则有A、，且 B、，且 (　　)‎ C、，且 D、，且 ‎8、（16年济南）已知R上的奇函数满足，则不等式的解集是 (　　)‎ A、 B、（0,1） C、 D、‎ ‎9、（13新课标II，12T）若存在正数使成立，则的取值范围是 (　　)‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10、（14年山东20T）设函数 ，其中为常数.‎ 若，则曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎11、已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝ ．‎ ‎12、已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为 ．‎ ‎13、（17全国I，21T）已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．‎ ‎（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围．‎ ‎14、（16全国II，20T）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；(II)若当时，，求的取值范围.‎ ‎15、设f(x)＝ex(ln x－a)(e是自然对数的底数，e＝2.71 828…)‎ ‎(1)若y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝2ex＋b，求a，b的值．‎ ‎(2)若函数f(x)在区间上单调递减，求a的取值范围．‎ ‎16、（15新课标II，21T）已知函数f（x）=ln x +a（1- x）‎ ‎（I）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（II）当f（x）有最大值，且最大值大于‎2a-2时，求a的取值范围.‎ ‎17、（12新课标，21T）设函数f(x)= ex－ax－2。(Ⅰ)求f(x)的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值．‎ 第四讲 答案 ‎ 高考回放：1、. 2、1； 3、. 4、C；‎ 例1、1；【变式1】 ‎ 例2、B；【变式2】C 例3、解：（1）f(x)的定义域为，.‎ 若，则当时，，故在单调递增.‎ 若，则当时，；‎ 当时，.‎ 故在单调递增，在单调递减。‎ ‎（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为 所以等价于，即.‎ 设，则.‎ 当时，；‎ 当，.‎ 所以在（0,1）单调递增，在单调递减.‎ 故当时，取得最大值，最大值为.‎ 所以当时，，‎ 从而当时，，即.‎ ‎【变式3】（21）（12分）解：（1）.‎ 令得.‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）.‎ 当时，设函数，‎ 因此在单调递减，而，故，‎ 所以.‎ 当时，设函数，‎ 所以在单调递增，而，故.‎ 当时，，，‎ 取，则，故 当时，取，则 综上，的取值范围是.‎ 例4、【解析】（Ⅰ）=.‎ 由已知得=4，=4，故，=8，从而=4，；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，‎ ‎==，‎ 令=0得，=或=-2，‎ 当=-2时，函数取得极大值，极大值为.‎ ‎【变式4】【解析】‎ 当堂检测：‎ ‎1、C；2、D；3、C；4、D；5、B；6、C；7、D；8、B；9、D；‎ ‎10、；11、【答案】8；12、【答案】．‎ ‎13、解：（1）函数的定义域为．‎ ‎①若，则，在单调递增．‎ ‎②若，则由得．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 故在单调递减，在单调递增．‎ ‎③若，则由得．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 故在单调递减，在单调递增．‎ ‎（2）①若，则，所以．‎ ‎②若，则由（1）得，当时，取得最小值，‎ 最小值为，‎ 从而当且仅当，即时，．‎ ‎③若，则由（1）得，当时，取得最小值，‎ 最小值为，‎ 从而当且仅当，即时，．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎14、解析：（I）的定义域为.‎ 当时，，‎ 所以曲线在处的切线方程为 ‎（II）当时，等价于 令，‎ 则，‎ ‎（i）当，时， ，‎ 故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得，‎ 由和得，‎ 故当时，，在单调递减，因此.‎ 综上，的取值范围是 ‎15、‎ x ‎1‎ ‎(1，e)‎ e g′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎ e－1‎  ‎1‎  ‎1＋ g＝ln＋e＝e－1，g(e)＝1＋，‎ 因为e－1＞1＋，所以g(x)max＝g＝e－1.‎ 故a≥e－1.‎ ‎16、解：（Ⅰ）f（x）的定义域为 若则所以单调递增.‎ 若，则当时，当时，‎ 所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，无最大值；‎ 当时，在取得最大值，最大值为.‎ 因此 等价于.‎ 令，则在单调递增，.‎ 于是，当时；当时，.‎ 因此，的取值范围是.‎ ‎17、解: (Ⅰ) 的定义域为,; ‎ 若,则恒成立,所以在总是增函数.‎ 若,令,求得,‎ 所以的单增区间是; ‎ 令, 求得 ,所以的单减区间是. ‎ ‎(Ⅱ) 把 代入得:, ‎ 因为,所以,‎ 所以:,, ,‎ 所以: ‎ 令,则,‎ 由(Ⅰ)知:在 单调递增,‎ 而 ,所以在上存在唯一零点,且; ‎ 故在上也存在唯一零点且为,‎ 当时, ,‎ 当时,,‎ 所以在上,;‎ 由得:,所以,所以, ‎ 由于( )式等价于,所以整数的最大值为2.‎