【数学】2020届一轮复习（理）通用版5-1平面向量的概念及其线性运算作业 7页

课时跟踪检测(二十八)　平面向量的概念及其线性运算 一、题点全面练 ‎1．已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2＋＝0，则＝(　　)‎ A．2－　　　　　 B.－＋2 C.－ D．－＋ 解析：选A　依题意，得＝＋＝＋2＝＋2(－)，所以＝2－，故选A.‎ ‎2．(2019·石家庄质检)在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D．a＋b 解析：选B　∵＝，∴＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选B.‎ ‎3．(2018·大同一模)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量＝(　　)‎ A.a＋b B.－a－b C．－a＋b D．a－b 解析：选C　如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以＝＝2，所以＝＝(＋)＝＝－a＋b，故选C.‎ ‎4．(2019·丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为(　　)‎ A．2 B.3‎ C．4 D．8‎ 解析：选A　∵＋＋＝2＝2(－)，∴3＝－＝，∴∥，且方向相同，∴＝＝＝3，‎ ‎∴S△PAB＝＝2.‎ ‎5．(2018·安庆二模)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A. B.－ C．2 D．－2‎ 解析：选B　如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)．‎ 因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝(－＋t－t)＝－(t＋1)·＋t.‎ 又＝λ＋μ，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，‎ 所以λ＋μ＝－.故选B.‎ ‎6．已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为________．‎ 解析：设线段BC的中点为M，则＋＝2.‎ 因为2＝＋，所以＝，‎ 则＝＝(＋)＝＝＋.‎ 由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.‎ 答案： ‎7．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为________．‎ 解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，∴四边形ANDM为菱形，∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，AD＝3.‎ 答案：3 ‎8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．‎ 解析：设＝y，‎ ‎∵＝＋＝＋y＝＋y(－)‎ ‎＝－y＋(1＋y).‎ ‎∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，‎ ‎∴y∈，∵＝x＋(1－x)，‎ ‎∴x＝－y，∴x∈.‎ 答案： ‎9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.‎ 解：＝(＋)＝a＋b.‎ ＝＋BG―→＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－)＝＋ ‎＝a＋b.‎ ‎10．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．‎ 解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，‎ 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.‎ 因为a，b不共线，所以有解得t＝.‎ 故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)‎ A．a＝－b B.a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|‎ 解析：选C　因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D.‎ 当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．‎ ‎2．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且＝＋，则(　　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上 解析：选D　由＝＋，得－＝，∴＝·，∴点P在射线AB上，故选D.‎ ‎3．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为(　　)‎ A．1 B.－ C．1或－ D．－1或－ 解析：选B　由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k.整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得 λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.‎ ‎(二)素养专练——学会更学通 ‎4．[直观想象]如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．a－b B.a－b C．a＋b D．a＋b 解析：选D　连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.‎ ‎5．[逻辑推理]如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则(　　)‎ A．m＋n是定值，定值为2‎ B．2m＋n是定值，定值为3‎ C.＋是定值，定值为2‎ D.＋是定值，定值为3‎ 解析：选D　因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ).又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)n.又＝，所以－＝－，所以＝＋.比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故选D.‎ ‎6.[数学建模]在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．‎ 解析：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以则的值为.‎ 答案： ‎7．[数学运算]经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．‎ 解：设＝a，＝b，则＝(a＋b)，‎ ＝－＝nb－ma，‎ ＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.‎ 由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，‎ 即nb－ma＝λa＋λb，‎ 则消去λ，得＋＝3.‎ ‎8．[逻辑推理]已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ 证明：(1)若m＋n＝1，‎ 则＝m＋(1－m) ‎＝＋m(－)，‎ ‎∴－＝m(－)，‎ 即＝m，∴与共线．‎ 又∵与有公共点B，‎ ‎∴A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，‎ 则存在实数λ，使＝λ，‎ ‎∴－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ ‎∵O，A，B不共线，∴，不共线，‎ ‎∴∴m＋n＝1.‎