2014三明5月份质检文数试卷 10页

‎2014年三明市普通高中毕业班质量检查 文 科 数 学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据，…，的标准差 锥体体积公式 ‎ ‎ 其中为样本平均数 其中为底面面积，为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ‎ 其中为底面面积，为高 其中为球的半径 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设是虚数单位，那么复数等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，，则为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．观察下列关于变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是 A．正相关、负相关、不相关 B．负相关、不相关、正相关 C．负相关、正相关、不相关 D．正相关、不相关、负相关 ‎4．命题：“，都有”的否定是 ‎ A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 开始 输入 是 否 输出 结束 ‎5．函数的单调递增区间是 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6. 某程序框图如图所示，若输入，则该程序 运行后输出的值分别是 ‎ A． B. ‎ C. D. ‎ ‎7．直线与圆相交所得线段的长度为 ‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎ ‎ 正视图 俯视图 侧视图 A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎ 9．若均为区间的随机数，则的概率为 A． B． C． D．‎ ‎10. 对于函数在定义域内的任意实数及，都有及 成立，则称函数为“函数”.现给出下列四个函数：‎ ‎；.‎ 其中是“函数”的是 A．　　　　　　B． 　　　　　C．　　　　　　　D．‎ ‎11．在边长为2的等边中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范 围是 A． B． C． D．‎ ‎12．下列说法正确的是 A.若 ，则 是函数 的极值点 B. 若 是函数 的极值点，则 ‎ C. 若 是函数 的极值点，则可能不存在 D.若无实根 ，则函数 必无极值点 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎13．在等差数列中，若,则 ．‎ ‎14. 已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为 则______.‎ ‎15．已知若直线与直线互相垂直，则的 最小值是 ．‎ ‎16．定义表示所有满足的集合组成的有序集合对的个数．试探究，并归纳推得=_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ 频率/组距 ‎0.012‎ ‎0.016‎ ‎0.018‎ 分 ‎80‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎0.030‎ ‎0.024‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 某校为了解高一期末数学考试的情况，从 高一的所有学生数学试卷中随机抽取份 试卷进行分析，得到数学成绩频率分布直 方图（如图所示），其中成绩在的 学生人数为6.‎ ‎（Ⅰ）估计所抽取的数学成绩的众数；‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为 和这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数 在恰有1人的概率.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎……‎ 将数列按如图所示的规律排成一个三角形数表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一 个数构成公差为的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序都构成 公比为的等比数列.若，，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求第行各数的和.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，于点，且，， ‎ ‎（Ⅰ）求证：‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（Ⅲ） 若，，‎ 求三棱锥的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线（）的准线与轴交于点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）是否存在过焦点的直线（直线与抛物线交于点，），使得三角形的面积 ‎？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设向量，定义一种向量积．‎ 已知向量，，点为的图象上的动点，点 为的图象上的动点，且满足（其中为坐标原点）．‎ ‎（Ⅰ）请用表示； ‎ ‎（Ⅱ）求的表达式并求它的周期；‎ ‎（Ⅲ）把函数图象上各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.设函数，试讨论函数在区间内的零点 个数.‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若是的一个极值点，且点，满足条件：‎ ‎.‎ ‎（ⅰ）求的值；‎ ‎（ⅱ）求证：点，，是三个不同的点，且构成直角三角形．‎ ‎2014年三明市普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 一、选择题：‎ ‎1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A ‎ ‎7．D 8．A 9．D 10．A 11．A 12．C 二、填空题：‎ ‎13．21； 14．1； 15．2； 16．．‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：样本的众数为75． ……………………………3分 ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可得：第三组的频率：，‎ 所以， ………………………………………………………………4分 第四组的频数：；‎ 第五组的频数：；‎ 用分层抽样的方法抽取5份得：‎ 第四组抽取：；第五组抽取：． …………7分 记抽到第四组的三位同学为，抽到第五组的两位同学为 则从5个同学中任取2人的基本事件有：‎ ‎，，共10种．‎ 其中分数在恰有1人有：，共6种．‎ 所求概率： ． ………………………………………………………12分 ‎18．解：（Ⅰ）依题意得，，‎ 所以． ……………………………………………2分 又，，‎ 所以的值分别为． …………………………………6分 ‎ ‎（Ⅱ）记第行第1个数为，‎ 由（1）可知：， ………………7分 ‎ 又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，‎ 所以第行共有个数， ………………………………9分 ‎ 第行各数为以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎ 因此其总数的和． …………………………12分 ‎19．解：（Ⅰ），……2分 ‎ ………………3分 ‎（Ⅱ）因为平面平面，‎ 且平面平面， ‎ 平面，，‎ 所以平面， ……………6分 又平面，‎ 所以平面平面．…………7分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面． ‎ 法一：中，，‎ 由正弦定理，得，‎ 因为，所以，则，因此， …………8分 ‎△的面积． …………………………10分 所以三棱锥的体积． …………………………12分 法二：中，，，由余弦定理得：‎ ‎，所以，‎ 所以． …………………………………8分 ‎△的面积． ……………10分 所以三棱锥的体积． ……………………12分 ‎20．解法一：（Ⅰ）由已知得：，从而抛物线方程为，‎ 焦点坐标为． ……………………4分 ‎（Ⅱ）由题意，设，并与联立， ‎ 得到方程：， …………………………………………………6分 设，，则，．…………………7分 ‎ ‎ ‎∵，∴ ， ……9分 又，∴ ……………………………………10分 解得， ………………………………………………………………11分 故直线的方程为：．即或．…………………12分 解法二：（Ⅰ）（同解法一）‎ ‎（Ⅱ）当轴时，，，‎ 不符合题意． ……………………………………………………………5分 ‎ 故设（），并与联立，‎ ‎ 得到方程：， ……………………………6分 设，，则，． …………………7分 ‎，‎ 点到直线的距离为， ………………9分 ‎∴， …………10分 解得， …………………………………………………………11分 故直线的方程为：．即或． ………12分 ‎21．解：（Ⅰ）， ……………2分 ‎（Ⅱ），‎ 所以，……………………4分 因此即 ………………………………6分 所以，它的周期为． ………………………………8分 ‎（Ⅲ）在上单调递增，在上单调递减，‎ 又， ……………………………10分 函数在区间内只有一个零点；‎ 函数在区间内有两个零点. ………………………………12分 ‎22． 解：（Ⅰ）， ……………………………………2分 ‎，又， …………………………………………4分 所以曲线在处的切线方程为，‎ 即． …………………………5分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）对于，定义域为．‎ 当时，，，∴；‎ 当时，；‎ 当时，，，∴， ………………8分 所以存在唯一的极值点，∴，则点为． …………………9分 ‎（ⅱ）若，则，，‎ 与条件不符，从而得．‎ 同理可得． ………………………………………………10分 若，由，此方程无实数解，‎ 从而得． ………………………………………………………11分 由上可得点，，两两不重合．‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 从而，点，，可构成直角三角形． ………………………14分