2020届二轮复习等差数列及其前n项和教案（全国通用） 12页

‎§6.2　等差数列及其前n项和 最新考纲　1.通过实例，理解等差数列的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系．‎ ‎1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．‎ ‎2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎3．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．‎ ‎4．等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．‎ ‎(7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为d.‎ ‎5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.‎ ‎6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．‎ ‎7．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．‎ 概念方法微思考 ‎1．“a，A，b是等差数列”是“A＝”的什么条件？‎ 提示　充要条件．‎ ‎2．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？‎ 提示　不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数．‎ ‎3．如何推导等差数列的前n项和公式？‎ 提示　利用倒序相加法．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．‎ ‎(　×　)‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　√　)‎ ‎(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　×　)‎ ‎(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　√　)‎ ‎(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　)‎ ‎(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．‎ ‎(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)‎ A．31B．32C．33D．34‎ 答案　B 解析　由已知可得 解得　∴S8＝8a1＋d＝32.‎ ‎3．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝.‎ 答案　180‎ 解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　)‎ A．d> B．d< C.0，a7＋a10<0，则当n＝时，{an}的前n项和最大．‎ 答案　8‎ 解析　因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0.‎ 故当n＝8时，其前n项和最大．‎ ‎6．一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么经过秒落到地面．‎ 答案　20‎ 解析　设物体经过t秒降落到地面．‎ 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．‎ 所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1960，‎ 即4.90t2＝1960，解得t＝20.‎ 题型一　等差数列基本量的运算 ‎1．(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　)‎ A．－12 B．－10‎ C．10 D．12‎ 答案　B 解析　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，‎ 得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，‎ 故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.‎ 故选B.‎ ‎2．(2018·烟台模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＝5，S9＝27，则a20等于(　　)‎ A．17B．18C．19D．20‎ 答案　B 解析　由等差数列的前n项和公式可知S9＝＝9a5＝27，解得a5＝3，又由d＝＝＝1，所以由等差数列的通项公式可得a20＝a5＋15d＝3＋15×1＝18，故选B.‎ 思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个．‎ ‎(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.‎ 题型二　等差数列的判定与证明 例1在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．‎ ‎(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn.‎ 解　(1)∵an是1与anan＋1的等差中项，‎ ‎∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，‎ ‎∴an＋1－1＝－1＝，‎ ‎∴＝＝1＋，‎ ‎∵＝1，‎ ‎∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，‎ ‎∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.‎ ‎(2)由(1)得＝＝－，‎ ‎∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.‎ 思维升华等差数列的四个判定方法 ‎(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．‎ ‎(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.‎ ‎(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．‎ ‎(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．‎ 跟踪训练1数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>.‎ ‎(1)证明　∵an＋1＝，‎ ‎∴＝，化简得＝2＋，‎ 即－＝2，‎ 故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)知＝2n－1，‎ 所以Sn＝＝n2，＝>＝－.‎ 证明：＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋ ‎＝1－ ‎＝.‎ 题型三　等差数列性质的应用 命题点1　等差数列项的性质 例2(2018·上饶模拟)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9等于(　　)‎ A．9 B．17‎ C．72 D．81‎ 答案　D 解析　由等差数列的性质可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝＝9×‎ eq f(18,2)＝81.故选D.‎ 命题点2　等差数列前n项和的性质 例3(1)(2019·漳州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)‎ A．35B．42C．49D．63‎ 答案　B 解析　在等差数列{an}中，‎ S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，‎ 即7,14，S15－21成等差数列，‎ 所以7＋(S15－21)＝2×14，‎ 解得S15＝42.‎ ‎(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，－＝6，则S2020＝.‎ 答案　2020‎ 解析　由等差数列的性质可得也为等差数列．‎ 设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.‎ 故＝＋2019d＝－2018＋2019＝1，‎ ‎∴S2020＝1×2020＝2020.‎ 思维升华等差数列的性质 ‎(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.‎ ‎(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ‎①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；‎ ‎②S2n－1＝(2n－1)an.‎ 跟踪训练2(1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d等于(　　)‎ A．0B．1C．－1D．2‎ 答案　B 解析　∵a3＋a5＋a7＝3a5＝15，‎ ‎∴a5＝5，∴a5－a2＝3＝3d，‎ 可得d＝1，故选B.‎ ‎(2)(2019·莆田质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为(　　)‎ A．6B．7C．8D．13‎ 答案　B 解析　根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.‎ ‎1．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于(　　)‎ A．－2B．－C.D．2‎ 答案　B 解析　由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，‎ 则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.故选B.‎ ‎2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，则a4＋a5＋a6等于(　　)‎ A．38B．39C．41D．42‎ 答案　D 解析　由a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，‎ 可得，3a1＋6d＝24，解得d＝3，‎ ‎∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.故选D.‎ ‎3．(2018·新乡模拟)已知等差数列{an}中，a1012＝3，S2017＝2017，则S2020等于(　　)‎ A．2020 B．－2020‎ C．－4040 D．4040‎ 答案　D 解析　由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，‎ S2017＝×2017＝×2017＝2017a1009＝2017，‎ 则a1009＝1，据此可得，‎ S2020＝×2020＝1010＝1010×4＝4040.‎ ‎4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为(　　)‎ A．65B．176C．183D．184‎ 答案　D 解析　根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.‎ 由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，‎ 解得a1＝65.‎ 由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.‎ ‎5．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：‎ ‎①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.‎ 其中一定正确的结论是(　　)‎ A．①②B．①③④C．①③D．①②④‎ 答案　C 解析　a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，‎ 所以a1＝－9d，‎ a10＝a1＋9d＝0，正确；‎ 由于d的符号未知，所以S10不一定最大，错误；‎ S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，‎ 所以S7＝S12，正确；‎ S20＝20a1＋190d＝10d，错误．‎ 所以正确的是①③，故选C.‎ ‎6．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为(　　)‎ A．14B．15C．16D．17‎ 答案　C 解析　∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，‎ ‎∴公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列．‎ ‎∵<－1，‎ ‎∴a8·a9<0，a8＋a9>0，‎ 由等差数列的性质知，‎ ‎2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.‎ ‎∵Sn＝，‎ ‎∴当Sn>0时，n的最小值为16.‎ ‎7．(2018·北京)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为．‎ 答案　an＝6n－3(n∈N*)‎ 解析　方法一　设公差为d.‎ ‎∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，‎ ‎∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，‎ ‎∴通项公式an＝a1＋(n－1)d＝6n－3(n∈N*)．‎ 方法二　设公差为d，‎ ‎∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，‎ ‎∴a6＝33，∴d＝＝6.‎ ‎∵a1＝3，∴通项公式an＝6n－3(n∈N*)．‎ ‎8．(2019·三明质检)在等差数列{an}中，若a7＝，则sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13＝.‎ 答案　0‎ 解析　根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，‎ ‎2a1＋2a13＝4a7＝2π，‎ 所以有sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13‎ ‎＝sin2a1＋sin(2π－2a1)＋cosa1＋cos(π－a1)＝0.‎ ‎9．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝.‎ 答案　 解析　在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10，‎ 因此＝＝＝.‎ ‎10．(2018·湘潭模拟)已知数列{－}是公差为2的等差数列，且a1＝1，a3＝9，则an＝.‎ 答案　(n2－3n＋3)2‎ 解析　数列{－}是公差为2的等差数列，‎ 且a1＝1，a3＝9，‎ ‎∴－＝(－1)＋2(n－1)，‎ －＝(－1)＋2，‎ ‎∴3－＝(－1)＋2，∴a2＝1.‎ ‎∴－＝2n－2，‎ ‎∴＝2(n－1)－2＋2(n－2)－2＋…＋2－2＋1‎ ‎＝2×－2(n－1)＋1＝n2－3n＋3.‎ ‎∴an＝(n2－3n＋3)2，n＝1时也成立．‎ ‎∴an＝(n2－3n＋3)2.‎ ‎11．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.‎ ‎(1)证明：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明　∵－ ‎＝＝，‎ ‎∴bn＋1－bn＝，‎ ‎∴{bn}是等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)及b1＝＝＝1.‎ 知bn＝n＋，‎ ‎∴an－1＝，∴an＝.‎ ‎12．(2018·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并求Sn的最小值．‎ 解　(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.‎ 由a1＝－7得d＝2.‎ 所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.‎ 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.‎ ‎13．(2018·佛山质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，bn＝且b1＋b3＝17，b2＋b4＝68，则S10等于(　　)‎ A．90 B．100‎ C．110 D．120‎ 答案　A 解析　设{an}公差为d，‎ ＝＝＝2d＝＝4，‎ ‎∴d＝2，b1＋b3＝＋＝＋＝17，‎ ‎＝1，a1＝0，‎ ‎∴S10＝10a1＋d＝×2＝90，故选A.‎ ‎14．(2018·菏泽模拟)已知等差数列{an}前n项和为Sn，且S6＝－9，S8＝4，若满足不等式n·Sn≤λ的正整数n有且仅有3个，则实数λ的取值范围为____________．‎ 答案　 解析　不妨设Sn＝An2＋Bn，由S6＝－9，S8＝4，‎ 得则 所以nSn＝n3－n2，令f(x)＝x3－x2，‎ 则f′(x)＝3x2－15x＝3x(x－5)，易得数列{nSn}在1≤n≤5，n∈N*时单调递减；‎ 在n>5，n∈N*时单调递增．令nSn＝bn，有b3＝－，b4＝－56，b5＝－，b6＝－54，b7＝－.若满足题意的正整数n只有3个，则n只能为4,5,6，故实数λ的取值范围为.‎ ‎15．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a20＝.‎ 答案　40‎ 解析　设an＝2＋(n－1)d，‎ 所以＝ ‎＝，‎ 由于为等差数列，‎ 所以其通项是一个关于n的一次函数，‎ 所以(d－2)2＝0，∴d＝2.‎ 所以a20＝2＋(20－1)×2＝40.‎ ‎16．记m＝，若是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n ‎－1等差均值”为2，数列{bn}的“3n－1等比均值”为3.记cn＝＋klog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，求实数k的取值范围．‎ 解　由题意得2＝，‎ 所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，‎ 所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1‎ ‎＝2n－2(n≥2，n∈N*)，‎ 两式相减得an＝(n≥2，n∈N*)．‎ 当n＝1时，a1＝2，符合上式，‎ 所以an＝(n∈N*)．‎ 又由题意得3＝，‎ 所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，‎ 所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N*)，‎ 两式相减得bn＝32－n(n≥2，n∈N*)．‎ 当n＝1时，b1＝3，符合上式，‎ 所以bn＝32－n(n∈N*)．‎ 所以cn＝(2－k)n＋2k－1.‎ 因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，‎ 所以解得≤k≤.‎