2020年高中数学 第一章 数列 5页

‎1.3.1 第2课时 等比数列的性质 ‎[A　基础达标]‎ ‎1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　)‎ A．递增数列　　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：选D.由于公比q＝－<0，所以数列{an}是摆动数列．‎ ‎2．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a‎3a6＋a‎4a5的值是　(　　)‎ A．1　　　 B．2　　　　‎ C.　　　 D． 解析：选C.a‎3a6＝a‎4a5＝a‎2a7＝4×＝，‎ 所以a‎3a6＋a‎4a5＝.‎ ‎3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于(　　)‎ A．10 B．25‎ C．50 D．75‎ 解析：选B.法一：因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，‎ 所以a8·a9·a10·a11＝52＝25.‎ 法二：由已知得a1q6·a1q11＝aq17＝5，‎ 所以a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a·q34＝(aq17)2＝25.‎ ‎4．计算机的价格不断降低，若每件计算机的价格每年降低，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为(　　)‎ A．300元 B．900元 C．2 400元 D．3 600元 解析：选C.降低后的价格构成以为公比的等比数列．则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×＝2 400(元)．‎ ‎5．已知等比数列{an}中，a‎3a11＝‎4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　)‎ A．2 B．4‎ C．8 D．16‎ 解析：选C.等比数列{an}中，a‎3a11＝a＝‎4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝‎ 5‎ ‎2a‎7＝8.‎ ‎6．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a‎6a10＋a‎3a5＝41，a‎4a8＝5，则a4＋a8＝________．‎ 解析：因为a‎6a10＝a，a‎3a5＝a，‎ 所以a＋a＝41.‎ 又因为a‎4a8＝5，an>0，‎ 所以a4＋a8＝ ‎＝＝.‎ 答案： ‎7．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．‎ 解析：设此三数为3，a，b，‎ 则 解得或所以这个未知数为3或27.‎ 答案：3或27‎ ‎8．设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列．且，，成等差数列，则＋的值是________．‎ 解析：由题意可得所以y＝，所以＝135xz，化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝.‎ 答案： ‎9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．‎ 解：由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则 a－d＋a＋a＋d＝6，所以a＝2，‎ 这三个数可表示为2－d，2，2＋d，‎ ‎①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，‎ 解之得d＝6，或d＝0(舍去)．‎ 此时三个数为－4，2，8.‎ ‎②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．‎ 此时三个数为8，2，－4.‎ 5‎ ‎③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，‎ 所以d＝0(舍去)．‎ 综上可求得此三数为－4，2，8.‎ ‎10．等比数列{an}的各项均为正数，且‎2a1＋‎3a2＝1，a＝‎9a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an，求数列(n≥2，n∈N＋)的前n项和．‎ 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为a＝‎9a2a6＝‎9a，‎ 所以q2＝＝，因为an＞0，所以q＞0，所以q＝，‎ 因为‎2a1＋‎3a2＝‎2a1＋‎3a1q＝1，所以‎3a1＝1，a1＝，‎ 所以an＝.‎ ‎(2)bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an ‎＝log3(a1·a2·…·an)‎ ‎＝log3＝－.‎ 设数列的前n项和为Sn，‎ 则Sn＝－2 ‎＝－2 ‎＝－2＝－.‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11．数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝(　　)‎ A．20 B．512‎ C．1 013 D．1 024‎ 解析：选D.因为bn＝，且b10·b11＝2，‎ 又{bn}是等比数列，‎ 所以b1·b20＝b2·b19＝…＝b10·b11＝2，‎ 则··…＝b1b2b3…b20＝210，即＝1 024，‎ 5‎ 从而a21＝1 ‎024a1＝1 024.‎ ‎12．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a‎8a9＝－，则＋＋＋＝________．‎ 解析：因为＋＝，＋＝，又a‎8a9＝a‎7a10，所以＋＋＋＝＝＝－.‎ 答案：－ ‎13．如图所示，在边长为1的等边三角形A1B‎1C1中，连接各边中点得△A2B‎2C2，再连接△A2B‎2C2的各边中点得△A3B‎3C3，…，如此继续下去，试证明数列S△A1B‎1C1，S△A2B‎2C2，S△A3B‎3C3，…是等比数列．‎ 证明：由题意，得△AnBnCn(n＝1，2，3…)的边长AnBn构成首项为1，公比为的等比数列，故AnBn＝，所以S△AnBnCn＝，‎ 所以＝＝.‎ 因此，数列S△A1B‎1C1，S△A2B‎2C2，S△A3B‎3C3，…是等比数列．‎ ‎14．(选做题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，k的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.‎ 由已知，得 5‎ 即解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N＋)．‎ ‎(2)假设存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比数列．则b＝b1bk.‎ 因为bn＝＝，‎ 所以b1＝，bm＝，bk＝，‎ 所以＝×.‎ 整理，得k＝.‎ 以下给出求m，k的方法：‎ 因为k>0，所以－m2＋‎2m＋1>0，‎ 解得1－