【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试39数学归纳法作业 10页

考点测试 39　数学归纳法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 高考概览 高考在本考点的常考题型为解答题，分值 12 分，中等以上难度 考纲研读 1．了解数学归纳法的原理 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 一、基础小题 1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2n(n－3)条时，第一步检验 第一个值 n0 等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　边数最少的凸 n 边形是三角形． 2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＝1－an＋1 1－a ，a≠1，n∈N*”，在验 证 n＝1 时，左边是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案　B 解析　当 n＝1 时，代入原式有左边＝1＋a．故选 B． 3．对于不等式 n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下： ①当 n＝1 时， 12＋1≤1＋1，不等式成立． ②假设 n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 k2＋k≤k＋1，则 n＝k＋1 时， (k＋1)2＋(k＋1)＝ k2＋3k＋2< (k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝ (k＋2)2＝ (k ＋ 1) ＋ 1．所以当 n＝k＋1 时，不等式成立． 上述证法(　　) A．过程全都正确 B．n＝1 检验不正确 C．归纳假设不正确 D．从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确 答案　D 解析　n＝1 的验证及归纳假设都正确，但从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理中没有 使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求， 故选 D． 4．利用数学归纳法证明不等式 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 2n－1127 64 (n∈N*)成立，其初始值至少 应取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　左边＝1＋1 2 ＋1 4 ＋…＋ 1 2n－1 ＝ 1－ 1 2n 1－1 2 ＝2－ 1 2n－1 ，代入验证可知 n 的最小 值是 8．故选 B． 7．下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是(　　) A．6＋6·7k B．2＋7k－1 C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k) 答案　D 解析　①当 k＝1 时，显然只有 3(2＋7k)能被 9 整除． ②假设当 k＝n(n∈N*)时，命题成立，即 3(2＋7n)能被 9 整除，那么 3(2＋7n＋ 1)＝21(2＋7n)－36， 这就是说，k＝n＋1 时命题也成立． 由①②可知，命题对任何 k∈N*都成立．故选 D． 8．设 f(n)＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n＋n ，n∈N＋，那么 f(n＋1)－f(n)＝(　　) A． 1 2n＋1 B． 1 2n＋2 C． 1 2n＋1 ＋ 1 2n＋2 D． 1 2n＋1 － 1 2n＋2 答案　D 解 析 　 f(n ＋ 1) － f(n) ＝ 1 (n＋1)＋1 ＋ 1 (n＋1)＋2 ＋ … ＋ 1 (n＋1)＋n ＋ 1 (n＋1)＋(n＋1)－ 1 n＋1 － 1 n＋2 －…－ 1 n＋n ＝ 1 2n＋1 ＋ 1 2n＋2 － 1 n＋1 ＝ 1 2n＋1 － 1 2n＋2 ． 9．用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn＋yn 能被 x＋y 整除”的第二步 是(　　) A．假使 n＝2k＋1 时正确，再推 n＝2k＋3 正确(k∈N*) B．假使 n＝2k－1 时正确，再推 n＝2k＋1 正确(k∈N*) C．假使 n＝k 时正确，再推 n＝k＋1 正确(k∈N*) D．假使 n≤k(k≥1)时正确，再推 n＝k＋2 时正确(k∈N*) 答案　B 解析　因为 n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第 k 个正奇数也成立，本题即假设 n＝2k－1 正确，再推第 k＋1 个正奇数，即 n＝2k＋ 1 正确． 10．已知 1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c 对一切 n∈N* 都成立，则 a，b，c 的值为(　　) A．a＝1 2 ，b＝c＝1 4 B．a＝b＝c＝1 4 C．a＝0，b＝c＝1 4 D．不存在这样的 a，b，c 答案　A 解析　∵等式对一切 n∈N*均成立，∴n＝1，2，3 时等式成立，即Error!整 理得Error!解得 a＝1 2 ，b＝c＝1 4 ． 11．在数列{an}中，a1＝1 3 且 Sn＝n(2n－1)an，通过计算 a2，a3，a4，猜想 an 的表达式是________． 答案　an＝ 1 (2n－1)(2n＋1) 解析　因为 Sn＝n(2n－1)an，当 n＝2，3，4 时，得出 a2＝ 1 15 ，a3＝ 1 35 ，a4＝ 1 63 ． a1＝1 3 ＝ 1 1 × 3 ，a2＝ 1 15 ＝ 1 3 × 5 ，a3＝ 1 35 ＝ 1 5 × 7 ， a4＝ 1 63 ＝ 1 7 × 9 ． ∴an＝ 1 (2n－1)(2n＋1)． 12．已知 f(n)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋1 n(n∈N*)，用数学归纳法证明 f(2n)>n 2 时，f(2k＋ 1)－f(2k)＝________． 答案　 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＋…＋ 1 2k＋1 解析　∵f(2k＋1)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＋…＋ 1 2k＋1 ，f(2k)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋1 2k ， ∴f(2k＋1)－f(2k)＝ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＋…＋ 1 2k＋1 ． 二、高考小题 本考点在近三年高考中未涉及此题型． 三、模拟小题 13．(2018·山东淄博质检)设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足： 当 f(k)≥k＋1 成立时，总能推出 f(k＋1)≥k＋2 成立，那么下列命题总成立的是 (　　) A．若 f(1)<2 成立，则 f(10)<11 成立 B．若 f(3)≥4 成立，则当 k≥1 时，均有 f(k)≥k＋1 成立 C．若 f(2)<3 成立，则 f(1)≥2 成立 D．若 f(4)≥5 成立，则当 k≥4 时，均有 f(k)≥k＋1 成立 答案　D 解析　当 f(k)≥k＋1 成立时，总能推出 f(k＋1)≥k＋2 成立，说明如果当 k＝ n 时，f(n)≥n＋1 成立，那么当 k＝n＋1 时，f(n＋1)≥n＋2 也成立，所以如果当 k ＝4 时，f(4)≥5 成立，那么当 k≥4 时，f(k)≥k＋1 也成立． 一、高考大题 1．(2017·浙江高考)已知数列{x n}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)(n∈ N*)． 证明：当 n∈N*时， (1)00． 当 n＝1 时，x1＝1>0． 假设 n＝k 时，xk>0， 那么 n＝k＋1 时， 若 xk＋1≤0，则 00． 因此 xn>0(n∈N*)． 所以 xn＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)>xn＋1． 因此 00(x>0)， 函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)≥f(0)＝0， 因此 x 2n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln (1＋xn＋1) ＝f(xn＋1)≥0， 故 2xn＋1－xn≤xnxn＋1 2 (n∈N*)． (3)因为 xn＝xn＋1＋ln (1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1， 所以 xn≥ 1 2n－1 ． 由xnxn＋1 2 ≥2xn＋1－xn 得 1 xn＋1 －1 2 ≥2(1 xn－1 2)>0， 所以1 xn －1 2 ≥2( 1 xn－1－1 2)≥…≥2n－1(1 x1－1 2)＝2n－2， 故 xn≤ 1 2n－2 ． 综上， 1 2n－1 ≤xn≤ 1 2n－2(n∈N*)． 2．(2015·江苏高考)已知集合 X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)， 设 Sn＝{(a，b)|a 整除 b 或 b 整除 a，a∈X，b∈Yn}．令 f(n)表示集合 Sn 所含元素 的个数． (1)写出 f(6)的值； (2)当 n≥6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 解　(1)f(6)＝13． (2)当 n≥6 时， f(n)＝Error!(t∈N*)． 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝6 时，f(6)＝6＋2＋6 2 ＋6 3 ＝13，结论成立； ②假设 n＝k(k≥6)时结论成立，那么 n＝k＋1 时，Sk＋1 在 Sk 的基础上新增加 的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论： a．若 k＋1＝6t，则 k＝6(t－1)＋5，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋k－1 2 ＋k－2 3 ＋3 ＝(k＋1)＋2＋k＋1 2 ＋k＋1 3 ，结论成立； b．若 k＋1＝6t＋1，则 k＝6t，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k 2 ＋k 3 ＋1＝(k＋1)＋2＋ (k＋1)－1 2 ＋ (k＋1)－1 3 ，结论 成立； c．若 k＋1＝6t＋2，则 k＝6t＋1，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－1 2 ＋k－1 3 ＋2 ＝(k＋1)＋2＋k＋1 2 ＋ (k＋1)－2 3 ，结论成立； d．若 k＋1＝6t＋3，则 k＝6t＋2，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k 2 ＋k－2 3 ＋2 ＝(k＋1)＋2＋ (k＋1)－1 2 ＋k＋1 3 ，结论成立； e．若 k＋1＝6t＋4，则 k＝6t＋3，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－1 2 ＋k 3 ＋2 ＝(k＋1)＋2＋k＋1 2 ＋ (k＋1)－1 3 ，结论成立； f．若 k＋1＝6t＋5，则 k＝6t＋4，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k 2 ＋k－1 3 ＋1 ＝(k＋1)＋2＋ (k＋1)－1 2 ＋ (k＋1)－2 3 ，结论成立． 综上所述，结论对满足 n≥6 的自然数 n 均成立． 二、模拟大题 3．(2018·常德月考)设 a>0，f(x)＝ ax a＋x ，令 a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*． (1)写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． 解　(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝ a 1＋a ； a3＝f(a2)＝ a· a 1＋a a＋ a 1＋a ＝ a 2＋a ； a4＝f(a3)＝ a· a 2＋a a＋ a 2＋a ＝ a 3＋a ． 猜想 an＝ a (n－1)＋a (n∈N*)． (2)证明：①易知，n＝1 时，猜想正确． ②假设 n＝k(k∈N*)时猜想正确，即 ak＝ a (k－1)＋a ， 则 ak＋1＝f(ak)＝ a·ak a＋ak ＝ a· a (k－1)＋a a＋ a (k－1)＋a ＝ a (k－1)＋a＋1 ＝ a [(k＋1)－1]＋a ． 这说明，n＝k＋1 时猜想正确． 由①②知，对于任何 n∈N*，都有 an＝ a (n－1)＋a ． 4．(2018·福建三明月考)已知 xi>0(i＝1，2，3，…，n)，我们知道(x1＋x2)1 x1 ＋ 1 x2 ≥4 成立． (1)求证：(x1＋x2＋x3)1 x1 ＋1 x2 ＋1 x3 ≥9； (2)同理我们也可以证明出(x1＋x2＋x3＋x4)1 x1 ＋1 x2 ＋1 x3 ＋1 x4 ≥16．由上述几个不 等式，请你猜测一个与 x1＋x2＋…＋xn 和1 x1 ＋1 x2 ＋…＋ 1 xn(n≥2，n∈N*)有关的不 等式，并用数学归纳法证明． 解　(1)证法一：(x1＋x2＋x3)1 x1 ＋1 x2 ＋1 x3 ≥33 x1x2x3·3 3 1 x1· 1 x2· 1 x3 ＝9． 证法二：(x1＋x2＋x3)1 x1 ＋1 x2 ＋1 x3 ＝3＋x2 x1 ＋x1 x2 ＋x3 x1 ＋x1 x3 ＋x3 x2 ＋x2 x3 ≥3＋2＋2＋2＝9． (2)猜想(x1＋x2＋…＋xn)1 x1 ＋1 x2 ＋…＋1 xn ， ≥n2(n≥2，n∈N*)． 证明如下： ①当 n＝2 时，由已知得猜想成立． ②假设当 n＝k 时，猜想成立，即 (x1＋x2＋…＋xk)1 x1 ＋1 x2 ＋…＋1 xk ≥k2， 则当 n＝k＋1 时， (x1＋x2＋…＋xk＋xk＋1)1 x1 ＋1 x2 ＋…＋1 xk ＋ 1 xk＋1 ＝(x1＋x2＋…＋xk)1 x1 ＋1 x2 ＋…＋1 xk ＋(x1＋x2＋…＋xk) 1 xk＋1 ＋xk＋1 1 x1 ＋1 x2 ＋…＋1 xk ＋1 ≥k2＋(x1＋x2＋…＋xk) 1 xk＋1 ＋xk＋1 1 x1 ＋1 x2 ＋…＋1 xk ＋1 ＝k2＋ x1 xk＋1 ＋xk＋1 x1 ＋ x2 xk＋1 ＋xk＋1 x2 ＋… ＋ xk xk＋1 ＋xk＋1 xk ＋1≥k2＋2＋2＋…＋ 2 k 个 2＋1 ＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2， 所以当 n＝k＋1 时原式成立． 结合①②可知，猜想成立．