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  • 2021-06-10 发布

【数学】2020届一轮复习(理)通用版考点测试39数学归纳法作业

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考点测试 39 数学归纳法                    高考概览 高考在本考点的常考题型为解答题,分值 12 分,中等以上难度 考纲研读 1.了解数学归纳法的原理 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 一、基础小题 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2n(n-3)条时,第一步检验 第一个值 n0 等于(  ) A.1 B.2 C.3 D.0 答案 C 解析 边数最少的凸 n 边形是三角形. 2.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an=1-an+1 1-a ,a≠1,n∈N*”,在验 证 n=1 时,左边是(  ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 答案 B 解析 当 n=1 时,代入原式有左边=1+a.故选 B. 3.对于不等式 n2+n≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下: ①当 n=1 时, 12+1≤1+1,不等式成立. ②假设 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 k2+k≤k+1,则 n=k+1 时, (k+1)2+(k+1)= k2+3k+2< (k2+3k+2)+(k+2)= (k+2)2= (k + 1) + 1.所以当 n=k+1 时,不等式成立. 上述证法(  ) A.过程全都正确 B.n=1 检验不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 答案 D 解析 n=1 的验证及归纳假设都正确,但从 n=k 到 n=k+1 的推理中没有 使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求, 故选 D. 4.利用数学归纳法证明不等式 1+1 2 +1 3 +…+ 1 2n-1127 64 (n∈N*)成立,其初始值至少 应取(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 B 解析 左边=1+1 2 +1 4 +…+ 1 2n-1 = 1- 1 2n 1-1 2 =2- 1 2n-1 ,代入验证可知 n 的最小 值是 8.故选 B. 7.下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是(  ) A.6+6·7k B.2+7k-1 C.2(2+7k+1) D.3(2+7k) 答案 D 解析 ①当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除. ②假设当 k=n(n∈N*)时,命题成立,即 3(2+7n)能被 9 整除,那么 3(2+7n+ 1)=21(2+7n)-36, 这就是说,k=n+1 时命题也成立. 由①②可知,命题对任何 k∈N*都成立.故选 D. 8.设 f(n)= 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 n+n ,n∈N+,那么 f(n+1)-f(n)=(  ) A. 1 2n+1 B. 1 2n+2 C. 1 2n+1 + 1 2n+2 D. 1 2n+1 - 1 2n+2 答案 D 解 析   f(n + 1) - f(n) = 1 (n+1)+1 + 1 (n+1)+2 + … + 1 (n+1)+n + 1 (n+1)+(n+1)- 1 n+1 - 1 n+2 -…- 1 n+n = 1 2n+1 + 1 2n+2 - 1 n+1 = 1 2n+1 - 1 2n+2 . 9.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”的第二步 是(  ) A.假使 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 正确(k∈N*) B.假使 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 正确(k∈N*) C.假使 n=k 时正确,再推 n=k+1 正确(k∈N*) D.假使 n≤k(k≥1)时正确,再推 n=k+2 时正确(k∈N*) 答案 B 解析 因为 n 为正奇数,根据数学归纳法证题的步骤,第二步应先假设第 k 个正奇数也成立,本题即假设 n=2k-1 正确,再推第 k+1 个正奇数,即 n=2k+ 1 正确. 10.已知 1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N* 都成立,则 a,b,c 的值为(  ) A.a=1 2 ,b=c=1 4 B.a=b=c=1 4 C.a=0,b=c=1 4 D.不存在这样的 a,b,c 答案 A 解析 ∵等式对一切 n∈N*均成立,∴n=1,2,3 时等式成立,即Error!整 理得Error!解得 a=1 2 ,b=c=1 4 . 11.在数列{an}中,a1=1 3 且 Sn=n(2n-1)an,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式是________. 答案 an= 1 (2n-1)(2n+1) 解析 因为 Sn=n(2n-1)an,当 n=2,3,4 时,得出 a2= 1 15 ,a3= 1 35 ,a4= 1 63 . a1=1 3 = 1 1 × 3 ,a2= 1 15 = 1 3 × 5 ,a3= 1 35 = 1 5 × 7 , a4= 1 63 = 1 7 × 9 . ∴an= 1 (2n-1)(2n+1). 12.已知 f(n)=1+1 2 +1 3 +…+1 n(n∈N*),用数学归纳法证明 f(2n)>n 2 时,f(2k+ 1)-f(2k)=________. 答案  1 2k+1 + 1 2k+2 +…+ 1 2k+1 解析 ∵f(2k+1)=1+1 2 +1 3 +…+ 1 2k + 1 2k+1 + 1 2k+2 +…+ 1 2k+1 ,f(2k)=1+1 2 +1 3 +…+1 2k , ∴f(2k+1)-f(2k)= 1 2k+1 + 1 2k+2 +…+ 1 2k+1 . 二、高考小题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 三、模拟小题 13.(2018·山东淄博质检)设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足: 当 f(k)≥k+1 成立时,总能推出 f(k+1)≥k+2 成立,那么下列命题总成立的是 (  ) A.若 f(1)<2 成立,则 f(10)<11 成立 B.若 f(3)≥4 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k+1 成立 C.若 f(2)<3 成立,则 f(1)≥2 成立 D.若 f(4)≥5 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k+1 成立 答案 D 解析 当 f(k)≥k+1 成立时,总能推出 f(k+1)≥k+2 成立,说明如果当 k= n 时,f(n)≥n+1 成立,那么当 k=n+1 时,f(n+1)≥n+2 也成立,所以如果当 k =4 时,f(4)≥5 成立,那么当 k≥4 时,f(k)≥k+1 也成立. 一、高考大题 1.(2017·浙江高考)已知数列{x n}满足:x1=1,xn=xn+1+ln (1+xn+1)(n∈ N*). 证明:当 n∈N*时, (1)00. 当 n=1 时,x1=1>0. 假设 n=k 时,xk>0, 那么 n=k+1 时, 若 xk+1≤0,则 00. 因此 xn>0(n∈N*). 所以 xn=xn+1+ln (1+xn+1)>xn+1. 因此 00(x>0), 函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以 f(x)≥f(0)=0, 因此 x 2n+1-2xn+1+(xn+1+2)ln (1+xn+1) =f(xn+1)≥0, 故 2xn+1-xn≤xnxn+1 2 (n∈N*). (3)因为 xn=xn+1+ln (1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1, 所以 xn≥ 1 2n-1 . 由xnxn+1 2 ≥2xn+1-xn 得 1 xn+1 -1 2 ≥2(1 xn-1 2)>0, 所以1 xn -1 2 ≥2( 1 xn-1-1 2)≥…≥2n-1(1 x1-1 2)=2n-2, 故 xn≤ 1 2n-2 . 综上, 1 2n-1 ≤xn≤ 1 2n-2(n∈N*). 2.(2015·江苏高考)已知集合 X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N*), 设 Sn={(a,b)|a 整除 b 或 b 整除 a,a∈X,b∈Yn}.令 f(n)表示集合 Sn 所含元素 的个数. (1)写出 f(6)的值; (2)当 n≥6 时,写出 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明. 解 (1)f(6)=13. (2)当 n≥6 时, f(n)=Error!(t∈N*). 下面用数学归纳法证明: ①当 n=6 时,f(6)=6+2+6 2 +6 3 =13,结论成立; ②假设 n=k(k≥6)时结论成立,那么 n=k+1 时,Sk+1 在 Sk 的基础上新增加 的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论: a.若 k+1=6t,则 k=6(t-1)+5,此时有 f(k+1)=f(k)+3=k+2+k-1 2 +k-2 3 +3 =(k+1)+2+k+1 2 +k+1 3 ,结论成立; b.若 k+1=6t+1,则 k=6t,此时有 f(k+1)=f(k)+1=k+2+k 2 +k 3 +1=(k+1)+2+ (k+1)-1 2 + (k+1)-1 3 ,结论 成立; c.若 k+1=6t+2,则 k=6t+1,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+k-1 2 +k-1 3 +2 =(k+1)+2+k+1 2 + (k+1)-2 3 ,结论成立; d.若 k+1=6t+3,则 k=6t+2,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+k 2 +k-2 3 +2 =(k+1)+2+ (k+1)-1 2 +k+1 3 ,结论成立; e.若 k+1=6t+4,则 k=6t+3,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+k-1 2 +k 3 +2 =(k+1)+2+k+1 2 + (k+1)-1 3 ,结论成立; f.若 k+1=6t+5,则 k=6t+4,此时有 f(k+1)=f(k)+1=k+2+k 2 +k-1 3 +1 =(k+1)+2+ (k+1)-1 2 + (k+1)-2 3 ,结论成立. 综上所述,结论对满足 n≥6 的自然数 n 均成立. 二、模拟大题 3.(2018·常德月考)设 a>0,f(x)= ax a+x ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N*. (1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 解 (1)∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)= a 1+a ; a3=f(a2)= a· a 1+a a+ a 1+a = a 2+a ; a4=f(a3)= a· a 2+a a+ a 2+a = a 3+a . 猜想 an= a (n-1)+a (n∈N*). (2)证明:①易知,n=1 时,猜想正确. ②假设 n=k(k∈N*)时猜想正确,即 ak= a (k-1)+a , 则 ak+1=f(ak)= a·ak a+ak = a· a (k-1)+a a+ a (k-1)+a = a (k-1)+a+1 = a [(k+1)-1]+a . 这说明,n=k+1 时猜想正确. 由①②知,对于任何 n∈N*,都有 an= a (n-1)+a . 4.(2018·福建三明月考)已知 xi>0(i=1,2,3,…,n),我们知道(x1+x2)1 x1 + 1 x2 ≥4 成立. (1)求证:(x1+x2+x3)1 x1 +1 x2 +1 x3 ≥9; (2)同理我们也可以证明出(x1+x2+x3+x4)1 x1 +1 x2 +1 x3 +1 x4 ≥16.由上述几个不 等式,请你猜测一个与 x1+x2+…+xn 和1 x1 +1 x2 +…+ 1 xn(n≥2,n∈N*)有关的不 等式,并用数学归纳法证明. 解 (1)证法一:(x1+x2+x3)1 x1 +1 x2 +1 x3 ≥33 x1x2x3·3 3 1 x1· 1 x2· 1 x3 =9. 证法二:(x1+x2+x3)1 x1 +1 x2 +1 x3 =3+x2 x1 +x1 x2 +x3 x1 +x1 x3 +x3 x2 +x2 x3 ≥3+2+2+2=9. (2)猜想(x1+x2+…+xn)1 x1 +1 x2 +…+1 xn , ≥n2(n≥2,n∈N*). 证明如下: ①当 n=2 时,由已知得猜想成立. ②假设当 n=k 时,猜想成立,即 (x1+x2+…+xk)1 x1 +1 x2 +…+1 xk ≥k2, 则当 n=k+1 时, (x1+x2+…+xk+xk+1)1 x1 +1 x2 +…+1 xk + 1 xk+1 =(x1+x2+…+xk)1 x1 +1 x2 +…+1 xk +(x1+x2+…+xk) 1 xk+1 +xk+1 1 x1 +1 x2 +…+1 xk +1 ≥k2+(x1+x2+…+xk) 1 xk+1 +xk+1 1 x1 +1 x2 +…+1 xk +1 =k2+ x1 xk+1 +xk+1 x1 + x2 xk+1 +xk+1 x2 +… + xk xk+1 +xk+1 xk +1≥k2+2+2+…+ 2 k 个 2+1 =k2+2k+1=(k+1)2, 所以当 n=k+1 时原式成立. 结合①②可知,猜想成立.