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- 2021-06-10 发布
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微专题49 等差数列性质
一、基础知识:
1、定义:数列若从第二项开始,每一项与前一项的差是同一个常数,则称是等差数列,这个常数称为的公差,通常用表示
2、等差数列的通项公式:,此通项公式存在以下几种变形:
(1),其中:已知数列中的某项和公差即可求出通项公式
(2):已知等差数列的两项即可求出公差,即项的差除以对应序数的差
(3):已知首项,末项,公差即可计算出项数
3、等差中项:如果成等差数列,则称为的等差中项
(1)等差中项的性质:若为的等差中项,则有即
(2)如果为等差数列,则,均为的等差中项
(3)如果为等差数列,则
注:①一般情况下,等式左右所参与项的个数可以是多个,但要求两边参与项的个数相等。
比如,则不一定成立
② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如:,可得,即可得到,这种做法可称为“多项合一”
4、等差数列通项公式与函数的关系:
,所以该通项公式可看作关于的一次函数,从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。例如:,递增;,递减。
5、等差数列前项和公式:,此公式可有以下变形:
(1)由可得:,作用:在求等差数列前项和时,不一定必须已知,只需已知序数和为的两项即可
(2)由通项公式可得:
作用:① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式
② ,即是关于项数的二次函数,且不含常数项,可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。
(3)当时,
因为
而是的中间项,所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系
当时
,即偶数项和与中间两项和的联系
6、等差数列前项和的最值问题:此类问题可从两个角度分析,一个角度是从数列中项的符号分析,另一个角度是从前项和公式入手分析
(1)从项的特点看最值产生的条件,以4个等差数列为例:
通过观察可得:为递增数列,且,所以所有的项均为正数,前项和只有最小值,即,同理中的项均为负数,所以前项和只有最大值,即。而虽然是递减数列,但因为,所以直到,从而前4项和最大,同理,的前5项和最小。由此可发现规律:对于等差数列,当首项与公差异号时,前项和的最值会出现在项的符号分界处。
(2)从的角度:通过配方可得,要注意,则可通过图像判断出的最值
7、由等差数列生成的新等差数列
(1)在等差数列中,等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列
例如在,以3为间隔抽出的项仍为等差数列。
如何判定等间距:序数成等差数列,则项之间等间距
(2)已知等差数列,
设,
,则相邻项和成等差数列
(3)已知为等差数列,则有:
① 为等差数列,其中为常数
② 为等差数列,其中为常数
③ 为等差数列
①②③可归纳为也为等差数列
8、等差数列的判定:设数列,其前项和为
(1)定义(递推公式):
(2)通项公式:(关于的一次函数或常值函数)
(3)前项和公式:
注:若,则从第二项开始呈现等差关系
(4)对于,,即从第二项开始,每一项都是相邻两项的等差中项
二、典型例题:
例1:设等差数列的前项和为,且,,则_________
思路:由可得:,即。而,
所以不是各项为0的常数列,考虑,所以
答案:
小炼有话说:关于等差数列钱前项和还有这样两个结论:
(1)若,则(本题也可用此结论:,从而利用奇数项和与中间项的关系可得)
(2)若,则有
例2:已知数列为等差数列,若,则_______
思路:条件与所求都是“”的形式,由为等差数列可得也为等差数列,所以为的等差中项,从而可求出的值
解:为等差数列
也为等差数列
答案:
例3:设为等差数列的前项和,,则( )
A. B. C. D.
思路一:已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式,只需将已知等式写成关于的方程,解出后即可确定通项公式或者数列中的项
解:
思路二:本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知,从而联想到可用表示,即,所以等式变为:,所以可得。
答案:A
小炼有话说:思路一为传统手段,通常将已知两个等式变形为的二元方程,便可求解。但如果能够观察出条件间的联系,往往能通过巧妙的变形简化计算过程。在平时的练习中建议大家多尝试思路二的想法,努力找到条件间的联系,灵活利用等差数列性质进行变形。而思路一可作为“预备队”使用。
例4:在等差数列中,,其前项和为,若,则的值等于( )
A. B. C. D.
思路:由观察到的特点,所以考虑数列的性质,由等差数列前 项和特征可得,从而可判定为等差数列,且可得公差,所以,所以,即
答案:B
例5:已知为等差数列,且前项和分别为,若,则_____
思路:,所求可发现分子分母的项序数相同,结合条件所给的是前项和的比值。考虑利用中间项与前项和的关系,有: ,将项的比值转化为数列和的比值,从而代入即可求值:
答案:
小炼有话说:等差数列中的项与以该项为中间项的前项和可搭建桥梁:,这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。
例6:已知等差数列中,,则此数列前项和等于( )
A. B. C. D.
思路:求前30项和,联想到公式,则只需。由条件可得:,所以,所以
答案:D
例7:已知等差数列中,,则的值为___________
思路:条件为相邻4项和,从而考虑作差能解出数列的公差:,可得: ,解得,考虑,所以
答案:
小炼有话说:本题在解题过程中突出一个“整体”的思想,将每一个四项和都视为整体,同时在等差数列中相邻项和的差与公差相关,从而解出公差并求出表达式的值
例8:等差数列有两项,满足,则该数列前项之和为( )
A. B. C. D.
思路:可根据已知两项求出公差,进而求出的通项公式,再进行求和即可
解:
答案:C
例9:在等差数列中,,若其前项和为,且,那么当取最大值时,的值为( )
A. B. C. D.
思路一:考虑从的项出发,由可得,可得,因为,所以,从而最大
思路二:也可从的图像出发,由可得图像中是对称轴,再由与可判断数列的公差,所以为开口向下的抛物线,所以在处取得最大值
答案:D
例10:设首项为,公差为的等差数列的前项和为,满足,则的取值范围是___________
思路:将用进行表示,从而方程变形为含的方程。而的取值只需让关于的方程有解即可,所以通过求出的范围
解:
所以关于的方程应该有解
解得或
答案:或