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  • 2021-06-10 发布

2020届二轮复习多变量的不等式恒成立与存在性问题学案(全国通用)

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专题10 多变量的不等式恒成立与存在性问题 含参数不等式的恒成立或有解问题,是高考的热点.它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查.解决这类问题,主要是运用分离变量法,等价转化为求具体函数的最值;运用数形结合法,等价转化为临界点;运用分类讨论法,等价转化为研究含参函数的最值.‎ 类型一 分类讨论差函数最值 典例1. 若不等式在上恒成立,则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可设则问题转化为在上恒成立,则 ‎ ‎(ⅰ) 当时 则在上单调递增,所以 在上恒成立,与已知不符, 故不符合题意.‎ ‎(ⅱ)当时,令 ‎ 且 ‎ ‎ 即时, ‎ 于是在 上单调递减, 所以 即 在上成立. 则在上单调递减, 故在上成立,符合题意.‎ ‎,即 时, ‎ 若 则 在上单调递增;‎ 若在 则在上单调递减,‎ 又 则在上成立,即 在上恒成立,所以在上单调递增,则在上恒成立.与已知不符,故不符合题意.综上所述, 的取值范围.‎ 即答案为.‎ ‎【名师指点】恒成立等价与恒成立,记,则,本题中由于有参数,需要分类讨论,利用导数求最值.‎ ‎【举一反三】已知函数若当时,恒成立,则的取值范围______.‎ ‎ 【答案】‎ 类型二 参变分离求具体函数最值 典例2 若不等式对任意都成立,则实数的最小值为________.‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】由正弦定理得 ‎ 因此 ,即的最小值为100‎ ‎【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数范围取交集.若按照参数讨论则取并集,是中档题.不等式恒成立时求参数的取值范围,常常采用分离参数法把不等式变形为如“”形式,则只要求出的最大值,然后解即可.‎ ‎【举一反三】若不等式对任意满足的实数, 恒成立,则实数的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵不等式x2−2y2⩽cx(y−x)对任意满足x>y>0的实数x、y恒成立,‎ ‎∴,令=t>1,‎ ‎∴, ,‎ 当时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增;‎ 当时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减。‎ ‎∴当时,f(t)取得最小值, .‎ ‎∴实数c的最大值为.‎ 类型三 数形结合求临界点 典例3 设函数对任意不等式恒成立,则正数 的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对任意,不等式恒成立,则等价为恒成立, ,当且仅当,即时取等号,即的最小值是,由,则,由得,此时函数为增函数,由得,此时函数为减函数,即当时, 取得极大值同时也是最大值,则的最大值为,则由,得,即,则,故答案为.‎ ‎【名师指点】等价于在公共定义域区间内,函数的图像落在的下方,这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像,根据图像上下关系,确定参数取值范围.‎ ‎【举一反三】已知函数,若||≥,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎1.对任意的实数,都存在两个不同的实数,使得成立,则实数 的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以,令 ,则 ‎ ‎ ‎ 当时 ;当时 因此要有两个y,需 ‎ ‎2.定义在R上的函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,且f(x-2)是偶函数,若对一切实数x,不等式f(2sinx-2)>f(sinx-1-m)恒成立,则实数m的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 是偶函数,所以函数f(x)的图象关于 对称,由题意知 在 上为增函数,则在 上为减函数,所以不等式 恒成立等价于 即 两边同时平方,得 即 ,即 或,即或,即或,即 或 ,故的取值范围为 ‎ 即答案为 ‎3.设二次函数的导函数为,若对任意,不等式恒成立,则的最大值__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∵对任意,不等式恒成立 ‎∴,简可得 ‎∴且,即 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 令,则 ‎∴当时, ,当且仅当时取等号 当时, ‎ 综上所述, 的最大值为 故答案为 ‎4.若对于任意的正实数都有成立,则实数的取值范围为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原不等式等价于.令,则,因在上是单调减函数,且,故当, , 在内是单调增函数;当,当, , 在内是单调减函数,‎ 所以 ,所以,解得,填.‎ ‎5.设点满足条件,点满足恒成立,其中是坐标原点,则点的轨迹所围成图形的面积是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 不等式组在平面直角坐标系中所表示的区域如下图所示:‎ 因为 ,所以由得:‎ 设目标函数为:,因为,所以其最优解只可能在顶点处取得,‎ 所以,要使恒成立,一定有: ‎ 此不等式组在坐标平面内所表示的区域是长为1,宽为 的矩形,面积为.‎ 所以答案应填: .‎ ‎6.已知,且,若恒成立,则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎7.不等式对于任意的,存在成立,则实数的取值范围 为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题意得对于任意的成立,即对于任意的成立,所以存在使得成立,因此学科网 ‎8.函数,若对于区间上的任意,都有,则实数的最小值是 .‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】对于区间上的任意都有,等价于对于区间上的任意,都有,∵,∴,∵,∴函数在上单调递增,在上单调递减,∴∴,∴.‎ ‎9.已知变量x,y满足约束条件,若恒成立,则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎10.若关于的不等式在(0,+)上恒成立,则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,‎ 令.‎ ‎(1)当时,,不符合题意;‎ ‎(2)当时,在上恒为负,在上恒为正;在上单调递增,则需,此时,符合题意;‎ ‎(3)当时,在恒为负;在单调递增,在上单调递减,故 在处取得极大值也即是最大值,,解得.学科网 ‎11.若对,不等式恒成立,则正实数的最大值是____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎12.已知:函数,若对使得,则实数的取值范围__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题意只要在上的最小值大于在上的最小值即可,显然当时,的最小值为0,当时,的最小值为,所以,所以.‎ ‎13.设,不等式对恒成立,则的取值范围________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意有,即,结合题中所给的角的范围,求得的取值范围是.‎ ‎14.已知函数,若在区间上是增函数,则实数的取值范围 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】∵在恒成立,即在恒成立,‎ ‎∵,∴,即.学科网 ‎15.设是定义在R上的奇函数,且当,若对任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎