2013泉州5月份质检理数试卷 14页

‎ 准考证号 姓名 ‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ 保密★启用前 ‎2013年泉州市普通高中毕业班质量检测 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. ‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式： ‎ 样本数据、、…、的标准差：‎ ‎，其中为样本平均数；‎ 柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知，且，i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．对于直线、和平面，若，则“”是“”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．若公比为2且各项均为正数的等比数列中，，则的值等于 A．2 B．‎4 C．8 D．16‎ ‎4．某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如下表：‎ 零件数（个）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 加工时间（分钟）‎ ‎21‎ ‎30‎ ‎39‎ 现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为 A．84分钟 B．94分钟 C．102分钟 D．112分钟 ‎5．已知点在直线上运动，则的最小值为 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6．执行如图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是 A. 99 B. 100 ‎ C. 120 D. 142‎ ‎7．已知向量，在同一平面内，若对于这一平面内的任意向量，都有且只有一对实数，使，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排. 某人欲选由A、B、C、D、E中的两个不同字母，和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的3个不同数字，组成的三个数字都相邻的一个号牌，则他选择号牌的方法种数最多有 ‎ Ａ．7200种　　　 Ｂ．14400种 　　　Ｃ．21600种 　　Ｄ．43200种　 ‎ ‎9．已知周期函数的定义域为，周期为2，且当时，．若直线与曲线恰有2个交点，则实数的所有可能取值构成的集合为 A．或 ‎ B．或 C．或 ‎ D．‎ ‎10．如图，等腰梯形中，且，. 以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为；以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则的取值范围为___________.‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11．设全集，，则　　　　　．‎ ‎12．已知，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有　　 　　　 ．（填上所有错误步骤的序号）‎ ‎， ‎ ‎,即， ……………………………①‎ ‎，即， …………②‎ ‎，‎ 即， …………………………③‎ ‎∵,∴可证得 . …………………………④‎ ‎13．已知的三个内角满足， 则角的取值范围是　　 　　　． ‎ ‎14．如图所示的三个等腰直角三角形是某几何体的三视图， 则该几何体的外接球的表面积为　　　　　 ．‎ ‎15．设集合，且满足下列条件：‎ ‎（1），； （2）；‎ ‎（3）中的元素有正数，也有负数； （4）中存在是奇数的元素．‎ 现给出如下论断：①可能是有限集；②，； ‎ ‎③； ④．‎ 其中正确的论断是　　　　　 ． （写出所有正确论断的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．(本小题满分13分)‎ 已知，函数的最小正周期为.‎ ‎（Ⅰ）试求的值；‎ ‎（Ⅱ）在图中作出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在区间上的单调递减区间.‎ ‎17．(本小题满分13分)‎ 小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售.已知每卖出一个现烤面包可获利10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元.经统计，得到在某月（30天）中，小王每天售出的现烤面包个数及天数如下表：‎ 售出个数 ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 天数 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ 试依据以频率估计概率的统计思想，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；‎ ‎（Ⅱ）若在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，则小王决定增加订购量. 试求小王增加订购量的概率.‎ ‎（Ⅲ）若小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望.‎ ‎18．(本小题满分13分)‎ 已知椭圆的对称中心为坐标原点，上焦点为，离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为轴上的动点，过点作直线与直线垂直，试探究直线与椭圆的位置关系.‎ ‎1‎ ‎9．（本小题满分13分）‎ 如图，四棱柱中，平面．‎ ‎（Ⅰ）从下列①②③三个条件中选择一个做为的充分条件，并给予证明；‎ ‎①，②；③是平行四边形．‎ ‎（Ⅱ）设四棱柱的所有棱长都为1，且为锐角，求平面与平面所成锐二面角的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知函数，，且函数在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设点，当时，直线的斜率恒小于，试求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：.‎ ‎21． 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．每个答题框内只能解答1个小题，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． ‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换 如图，单位正方形区域在二阶矩阵的作用下变成平行四边形区域．‎ ‎（Ⅰ）求矩阵；‎ ‎（Ⅱ）求，并判断是否存在逆矩阵？若存在，求出它的逆矩阵．‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的平面直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线交于点，若点的坐标为，求的值．‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若，试求的最小值．‎ 泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检测 理科数学试题参考解答及评分标准 说明：‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．‎ ‎ 1．D 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D ‎9 C． 10．B ‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.‎ ‎11、； 12、③； 13、； 14、； 15、②③④. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．本小题主要考查三角恒等变型、三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分13分.‎ 解：（Ⅰ） ……2分 ‎， ……4分 因为函数的最小正周期为，且，‎ 所以. ……6分 ‎（Ⅱ）因为，.‎ 列对应值表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎……8分 描点，并参照弦形曲线的走向特征，用光滑曲线把各对应点顺次联结起来画图，得函数在区间上的图象如图所示. ……11分 根据图象可得单调递减区间为. . ……13分 ‎17．本小题主要考查概率与统计的基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）记事件A=“小王某天售出超过13个现烤面包”，……1分 用频率估计概率可知：‎ ‎ . ……2分 所以小王某天售出超过13个现烤面包的概率为0.5. ……3分 ‎ （Ⅱ）设在最近的5天中售出超过13个的天数为， ‎ 则. …..5分 ‎ 记事件B=“小王增加订购量”，‎ 则有，‎ 所以小王增加订购量的概率为. ……8分 ‎（Ⅲ）若小王每天订购14个现烤面包，设其一天的利润为元，‎ 则的所有可能取值为80，95，110，125，140. …..9分 ‎ 其分布列为 ‎ 利润 ‎80‎ ‎95‎ ‎110‎ ‎125‎ ‎140‎ 概率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎ ……11分 则 ‎ 所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为123.5元. …..13分 ‎18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）由条件可知，，，……3分 所以椭圆的标准方程为. ……4分 ‎（Ⅱ），， ……6分 则直线：. ……7分 联立与 有， ……9分 则 ‎，……10分 ‎，，‎ 则当时，，此时直线与椭圆相交； ……11分 当时，，此时直线与椭圆相切； ……12分 当时，，此时直线与椭圆相离. ……13分 ‎19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.‎ 解：（Ⅰ）条件②，可做为的充分条件. ……1分 证明如下：‎ 平面，，‎ 平面， ……2分 ‎∵平面，.‎ 若条件②成立，即，‎ ‎∵，‎ 平面， ……3分 又平面，． …..4分 ‎（Ⅱ）由已知，得是菱形，.‎ 设，为的中点，‎ 则平面，‎ ‎∴、、交于同一点且两两垂直. ……5分 以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．6分 设，，其中，‎ 则，，，，，‎ ‎，， ……7分 设是平面的一个法向量，‎ 由得令，则，，‎ ‎， ……9分 又是平面的一个法向量， ……10分 ‎，‎ ‎……11分 令，则，为锐角，‎ ‎，则，，‎ 因为函数在上单调递减，，‎ 所以，……12分 又， ，‎ 即平面与平面所成角的取值范围为． …13分 ‎20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分.‎ 解：（Ⅰ），. ……1分 函数在点处的切线方程为，‎ ‎ 即， 解得， ……2分 ‎. ……3分 ‎（Ⅱ）由、，得，‎ ‎∴“当时，直线的斜率恒小于”当时，恒成立对恒成立. ……4分 令，.‎ 则， ……5分 ‎ （ⅰ）当时，由，知恒成立，‎ ‎∴在单调递增，‎ ‎∴，不满足题意的要求. ……6分 ‎（ⅱ）当时，，，‎ ‎，‎ ‎∴当 ，；当，.‎ 即在单调递增；在单调递减.‎ 所以存在使得，不满足题意要求. ……7分 ‎ ‎（ⅲ）当时，，对于，恒成立，‎ ‎∴在单调递减，恒有，满足题意要求.…8分 ‎ 综上所述：当时，直线的斜率恒小于. ……9分 ‎（Ⅲ）证明：令，‎ 则，…10分 ‎，‎ 函数在递增，在上的零点最多一个. …11分 又，，‎ 存在唯一的使得， ……12分 且当时，；当时，.‎ 即当时，；当时，.‎ 在递减，在递增，‎ 从而. ……13分 由得且，，‎ ‎，‎ 从而证得. ……14分 ‎21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换 解：（Ⅰ）设，由，得，‎ 由，得，‎ ‎ ；………………3分 ‎（Ⅱ），‎ ‎，存在逆矩阵，‎ 的逆矩阵为． …………………………7分 ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由，得，‎ 当时，得，‎ 对应直角坐标方程为：.‎ 当，有实数解，说明曲线过极点，而方程所表示的曲线也过原点.‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为．　…………………3分 ‎（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，‎ 即，由于，故可设是上述方程的两实根，‎ 则. ……5分 ‎∵直线过点，‎ ‎∴由的几何意义，可得． ………7分 ‎（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）原不等式化为，‎ 或，即或，‎ 原不等式的解集为或． ………………3分 ‎（Ⅱ）由已知，得，‎ 由柯西不等式，得，‎ ‎， ……5分 当且仅当即时等号成立，……6分 所以，的最小值为． ………………7分