2019届二轮复习利用导数研究函数的单调性学案（全国通用） 12页

第三章 导数 第03节 利用导数研究函数的单调性 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 导数在研究函数中的应用 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。‎ ‎2013·浙江文理 8，21；‎ ‎2014•浙江文 21，理 22； ‎ ‎2017•浙江卷7，20；‎ ‎2018•浙江卷22.‎ ‎1.以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； ‎ ‎2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．‎ ‎3.备考重点：‎ ‎(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；‎ ‎(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．利用导数研究函数的单调性 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.‎ 在上为增函数．‎ 在上为减函数．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 确定函数的单调性或求函数的单调区间 ‎【1-1】已知函数与的图象如下图所示，则函数的递减区间为（ ）‎ A． B．， C． D．，‎ ‎【答案】B ‎【1-2】【2018年全国卷II文】已知函数．‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）证明：只有一个零点．‎ ‎【答案】（1）f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．‎ ‎（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得.‎ 详解：（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．‎ 令f ′（x）=0解得x=或x=．‎ 当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；‎ 当x∈（，）时，f ′（x）<0．‎ 故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．‎ ‎（2）由于，所以等价于．‎ 设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．学+ ‎ 又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．‎ 综上，f（x）只有一个零点．‎ 点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.‎ ‎（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.‎ ‎【1-3】【2016北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为，‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.‎ 所以，当时，，在区间上单调递减；‎ 当时，，在区间上单调递增.‎ 故是在区间上的最小值，‎ 从而.‎ 综上可知，，，故的单调递增区间为.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.导数法证明函数在内的单调性的步骤 ‎(1)求；‎ ‎(2)确认在内的符号；‎ ‎(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．‎ ‎2.求函数的单调区间方法一：①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数；‎ ‎③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎3.求函数的单调区间方法二：①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；‎ ‎③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；‎ ‎④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，2) B．(0,3)‎ C．(1,4) D．(2，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，知f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由f′(x)>0得x>2.故选D.‎ ‎【变式二】函数的单调增区间为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【变式三】已知函数.‎ ‎(1)若曲线与曲线在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；‎ ‎(2)当时，求函数的单调区间．‎ ‎【答案】（1）（2）单调递增区间是单调递减区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，‎ 由已知可得解得 ‎(2)令 令得 由得，或；‎ 由得，‎ ‎∴单调递增区间是单调递减区间为.‎ ‎【综合点评】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法.‎ 考点2 已知函数的单调性求参数的范围 ‎【2-1】【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题函数为增函数，则 在上恒成立，则 ‎，设则 令得到 ，可知函数 在上单调递增，在 上单调递减，则， 即的取值范围是，‎ 选A ‎【2-2】若在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)‎ A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)‎ C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0，‎ 在x∈(1，＋∞)上恒成立，‎ 即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，‎ 由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x在(1，＋∞)上的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可．‎ ‎【2-3】【2018届浙江省嘉兴市第一中学9月测试】已知函数.‎ ‎（I）若在处的切线方程为，求的值；‎ ‎（II）若在上为增函数，求得取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎（II）因为在上为增函数，‎ 所以在上恒成立.‎ 即在上恒成立，所以有.‎ ‎【领悟技法】‎ 利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法 ‎(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.‎ 方法一：转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”；‎ 方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”.‎ ‎(2)函数f(x)在区间D上递增(减).‎ 方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题；‎ 方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018届安徽省合肥市三模】若函数在区间上是非单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 学 ]‎ ‎【解析】分析：函数在区间上是非单调函数，等价于在有解，即在有解，换元后，求出的范围即可.‎ 详解： ,, ‎ 在区间上是非单调函数，‎ 在有解，即在上有解，‎ 即在有解，设，‎ 在上有解，‎ 时，分别有，‎ 所以，即实数的取值范围是，故选A.‎ ‎【变式二】已知向量，，若函数在区间(－1,1)上存在增区间，则t的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，函数在⊆(－1,1)上单调递增，‎ 故时恒成立，又，故.‎ ‎【变式三】已知函数，（其中）.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；‎ ‎【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1），，‎ ‎，故.‎ 当时，；当时，.‎ 的单调增区间为，单调减区间为. ‎ ‎（2），则，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函数开口向上，且对称轴为，故在上单调递增，因此只需使，解得；‎ 易知当时，且不恒为0. ‎ 故.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：【2017·成都诊断】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).‎ ‎(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.‎ 易错分析：对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；‎ 对于②：h(x)在[1，4]上单调递减，应等价于h′(x)≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h′(x)<0在[1，4]上恒成立”.‎ 正确解析： (1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，①‎ 所以h′(x)＝－ax－2，由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，‎ －ax－2<0有解，②‎ 即a>－有解.‎ 设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可.‎ 而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1.‎ 所以a>－1.‎ 温馨提醒：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．‎ ‎(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．‎ 提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．‎ ‎【学 素养提升之思想方法篇】‎ ‎ 化整为零，积零为整——分类讨论思想 ‎1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．‎ ‎2.分类讨论思想的常见类型 ‎ ‎⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ‎ ‎⑵问题中的条件是分类给出的； ‎ ‎⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ‎ ‎⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.‎ ‎【典例】已知函数 ‎ ‎ 当时，求的单调区间；‎ 当时，的图象恒在的图象上方，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，单调增区间是，单调减区间是；当时，单调增区间是 ‎，，单调减区间是；当时，单调增区间是，无减区间；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）首先求得导函数，然后分、、讨论导函数与0之间的关系，由此求得函数的单调区间；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）将问题转化为对恒成立，然后令，从而通过求导函数，再构造新函数得到函数的单调性，进而求得的取值范围．学 ！ ‎ 试题解析： …（1分）‎ 当时，，时，，单调递减 时，，单调递增 …（2分）‎ 当时，令得．‎ ‎ (i) 当时，，故：‎ 时，，单调递增，‎ ‎ 时，，单调递减，‎ 时，，单调递增； …（4分） ‎ ‎ (ii) 当时，， 恒成立，‎ 在上单调递增，无减区间； …（5分） ‎ 综上，当时，的单调增区间是，单调减区间是； 学 ]‎ 当时，的单调增区间是，单调减区间是；‎ 当时，的单调增区间是，无减区间. …（6分） ‎ ‎ (i) 当时，恒成立，在上单调递增，‎ ‎， 在上单调递增 ‎，符合题意； …（10分）‎ ‎ (ii) 当时，令得 时，，在上单调递减 时, 在上单调递减，‎ ‎ 时,，不符合题意 …（11分） ‎ 综上可得的取值范围是. …（12分）‎