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  • 2021-06-10 发布

高一数学专题练习:三角函数知识点总结

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高中数学第四章-三角函数 考试内容: 数学探索©版权所有www.delve.cn角的概念的推广.弧度制. 数学探索©版权所有www.delve.cn任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式. 数学探索©版权所有www.delve.cn两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 数学探索©版权所有www.delve.cn正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角. 数学探索©版权所有www.delve.cn正弦定理.余弦定理.斜三角形解法. 数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求: 数学探索©版权所有www.delve.cn(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算. 数学探索©版权所有www.delve.cn(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. 数学探索©版权所有www.delve.cn(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 数学探索©版权所有www.delve.cn(4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. 数学探索©版权所有www.delve.cn(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A.ω、φ的物理意义. 数学探索©版权所有www.delve.cn(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示. 数学探索©版权所有www.delve.cn(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. 数学探索©版权所有www.delve.cn(8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=‎1”‎.‎ ‎§04. 三角函数 知识要点 ‎1. ①与(0°≤<360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):‎ ②终边在x轴上的角的集合: ‎ ③终边在y轴上的角的集合:‎ ④终边在坐标轴上的角的集合: ‎ ⑤终边在y=x轴上的角的集合: ‎ ⑥终边在轴上的角的集合:‎ ⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:‎ ⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:‎ ⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:‎ ⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:‎ ‎2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′‎ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.‎ ‎、弧度与角度互换公式: 1rad=°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=≈0.01745(rad)‎ ‎3、弧长公式:. 扇形面积公式:‎ ‎4、三角函数:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则 ; ; ; ; ;. .‎ ‎5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)‎ ‎6、三角函数线 ‎ 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.‎ ‎7. 三角函数的定义域:‎ 三角函数 ‎ 定义域 sinx cosx tanx cotx secx cscx ‎8、同角三角函数的基本关系式: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9、诱导公式:‎ ‎“奇变偶不变,符号看象限”‎ ‎ 三角函数的公式:(一)基本关系 ‎ ‎ 公式组二 公式组三 ‎ ‎ 公式组四 公式组五 公式组六 ‎ ‎ ‎ ‎(二)角与角之间的互换 公式组一 公式组二 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 公式组三 公式组四 公式组五 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,,,.‎ ‎10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:‎ ‎(A、>0)‎ 定义域 R R R 值域 R R 周期性 ‎ ‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当非奇非偶 当奇函数 单调性 上为增函数;上为减函数()‎ ‎;上为增函数 上为减函数 ‎()‎ 上为增函数()‎ 上为减函数()‎ 上为增函数;‎ 上为减函数()‎ 注意:①与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般地,若在上递增(减),则在上递减(增).‎ ②与的周期是.‎ ③或()的周期.‎ 的周期为2(,如图,翻折无效). ‎ ④的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是(),对称中心();‎ 的对称中心().‎ ⑤当·;·.‎ ⑥与是同一函数,而是偶函数,则 ‎.‎ ⑦函数在上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,为增函数,同样也是错误的].‎ ⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:)‎ 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)‎ 奇函数特有性质:若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)‎ ⑨不是周期函数;为周期函数();‎ 是周期函数(如图);为周期函数();‎ 的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如: ‎ ‎.‎ ⑩ 有.‎ ‎11、三角函数图象的作法:‎ ‎1)、几何法:‎ ‎2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).‎ ‎3)、利用图象变换作三角函数图象.‎ 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.‎ 函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期,频率,相位初相 ‎(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),‎ 由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)‎ 由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的倍,得到y=sinω x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)‎ 由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)‎ 由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)‎ 由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。‎ ‎4、反三角函数:‎ 函数y=sinx,的反函数叫做反正弦函数,记作y=arcsinx,它的定义域是[-1,1],值域是.‎ 函数y=cosx,(x∈[0,π])的反应函数叫做反余弦函数,记作y=arccosx,它的定义域是[-1,1],值域是[0,π].‎ 函数y=tanx,的反函数叫做反正切函数,记作y=arctanx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是.‎ 函数y=ctgx,[x∈(0,π)]的反函数叫做反余切函数,记作y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π).‎ II. 竞赛知识要点 一、反三角函数.‎ ‎1. 反三角函数:⑴反正弦函数是奇函数,故,(一定要注明定义域,若,没有与一一对应,故无反函数)‎ 注:,,.‎ ⑵反余弦函数非奇非偶,但有,.‎ 注:①,,.‎ ②是偶函数,非奇非偶,而和为奇函数.‎ ⑶反正切函数:,定义域,值域(),是奇函数,‎ ‎,.‎ 注:,.‎ ⑷反余切函数:,定义域,值域(),是非奇非偶.‎ ‎,.‎ 注:①,.‎ ②与互为奇函数,同理为奇而与非奇非偶但满足.‎ ⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集:‎ 的取值范围 解集 的取值范围 解集 ‎①的解集 ②的解集 ‎>1 >1 ‎ ‎=1 =1 ‎ ‎<1 <1 ‎ ‎③的解集: ③的解集:‎ 二、三角恒等式.‎ 组一 组二 组三 三角函数不等式 ‎<< 在上是减函数 若,则