【数学】2020届一轮复习苏教版平面向量作业 7页

‎(二) 平面向量 A组——抓牢中档小题 ‎1．(2018·南京学情调研)设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，则实数x＝________.‎ 解析：因为a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4.‎ 答案：4‎ ‎2．(2018·无锡期末)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，若a－b与ma＋b垂直，则m的值为________．‎ 解析：因为a＝(2,1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝(1,2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)，因为a－b与ma＋b垂直，所以(a－b)·(ma＋b)＝0，即2m＋1＋2(m－1)＝0，解得m＝.‎ 答案： ‎3．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.‎ 解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，‎ 所以解得 答案：－ ‎4．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为________．‎ 解析：∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝.‎ 答案： ‎5．在△ABC中，O为△ABC的重心，AB＝2，AC＝3，A＝60°，则·＝________.‎ 解析：设BC边中点为D，则＝ ，＝(＋)，∴ ·＝(＋)·＝×(3×2×cos 60°＋32)＝4.‎ 答案：4‎ ‎6.如图，在△ABC中，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2‎ ，＝3，则||＝________.‎ 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)，‎ 而＝＝(－)，‎ 故＝－＋，‎ 从而||＝ ‎＝ ＝.‎ 答案： ‎7．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为________．‎ 解析：法一：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－a2＝－b2，‎ 所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝a2，|2a－b|＝＝＝|a|，‎ 所以cos〈a,2a－b〉＝＝＝＝.‎ 法二：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以〈a，b〉＝，‎ 所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2a2－|a|·|b|cos＝a2，|2a－b|＝＝＝＝|a|.‎ 所以cos〈a,2a－b〉＝＝＝＝.‎ 答案： ‎8．在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是线段BD上的任意一点，则·＝________.‎ 解析：如图所示，由条件知△ABC为正三角形，AC⊥BP，所以·＝(＋)·＝·＋·＝·＝×cos 60°＝2×2×＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边上BC，DC上，＝t，＝m，若·＝1，·＝－，则t＋m＝________.‎ 解析：因为＝＋＝＋t＝＋t；＝＋＝＋m＝＋m，‎ 所以·＝(＋t)(＋m)＝－2－2tm＋4t＋4m＝1；‎ ·＝－2(1－t)(1－m)＝－2＋2m＋2t－2tm＝－，‎ 联立解得t＋m＝.‎ 答案： ‎10．在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足＝＋λ，且·＝1，则实数λ的值为________．‎ 解析：由题意可得，－＝＝λ.又＝－＝＋(λ－1)，所以·＝λ·＋λ(λ－1)||2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.‎ 答案：1或－ ‎11.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·的值是________．‎ 解析：因为·＝(－)·(－)＝(＋)·(－)＝OC2－OD2，同理：·＝AO2－OD2＝－7，所以·＝OC2－OD2＝OC2－AO2－7＝9.‎ 答案：9‎ ‎12．已知A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，动点P满足·＝2||2，则|＋|的最大值为________．‎ 解析：设动点P(x，y)，因为A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，·＝2||2，‎ 所以(x，y－1)(x，y＋1)＝2[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝1.‎ 因为|＋|＝2，‎ 所以|＋|表示圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的2倍，所以|＋|的最大值为2×(2＋1)＝6.‎ 答案：6‎ ‎13．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是________．‎ 解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.‎ 答案：－ ‎14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，·＝9，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且＝x·＋y·，则xy的最大值为________．‎ 解析：因为∠C＝90°，所以·＝2＝9，所以||＝3，即AC＝3.因为S△ABC＝×AC×BC＝6，所以BC＝4.又P为线段AB上的点，且＝＋，故＋＝1≥2，即xy≤3，当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．‎ 答案：3‎ B组——力争难度小题 ‎1．在△ABC中，若·＋2·＝·，则的值为________．‎ 解析：由·＋2·＝·，‎ 得2bc·＋ac·＝ab·，‎ 化简可得a＝c.‎ 由正弦定理得，＝＝.‎ 答案： ‎2．已知向量a＝(1，)，b＝(0，t2＋1)，则当t∈[－，2]时，的取值范围是________．‎ 解析：由题意，＝(0,1)，根据向量的差的几何意义，表示同起点的向量t的终点到a的终点的距离，当t＝时，该距离取得最小值1，当t＝－时，该距离取得最大值，即的取值范围是[1， ]．‎ 答案：[1， ]‎ ‎3．在直角坐标系xOy中，已知三点A(a,1)，B(2，b)，C(3,4)，若·＝·，则a2＋b2的最小值为________．‎ 解析：因为·－·＝0，所以·＝0，‎ 从而有(a－2,1－b)·(3,4)＝0，即3a－4b＝2.则(a，b)可视为直线l：3x－4y＝2上的动点，设其为P，则为坐标原点O到P的距离，故|OP|min＝d(O，l)＝＝，故(a2＋b2)min＝2＝.‎ 答案： ‎4.如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若＝3，＝5，则(＋)·(－)的值为________．‎ 解析：因为＝＋，‎ 所以＋＝2＋，‎ 而－＝，由于⊥，所以·＝0，‎ 所以(＋)·(－)＝(2＋)·＝2·，又因为Q是BC的中点，所以2＝＋，故2·＝(＋)·(－)＝2－2＝9－25＝－16.‎ 答案：－16‎ ‎5.如图，已知|AC|＝|BC|＝4，∠ACB＝90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则·的最大值是________．‎ 解析：以AC的中点为坐标原点，AC所在的直线为x轴，建立直角坐标系(图略)，则M(－2,2)，A(2,0)，C(－2,0)．设D点的坐标为(2cos θ，2sin θ)，则＝(－4,2)，＝(－2－2cos θ，－2sin θ)，所以·＝－4(－2－2cos θ)＋2(－2sin θ)＝8＋8cos θ－4sin θ＝8－sin(θ－φ)≤8＋4.‎ 答案：8＋4 ‎6.如图，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则·的最大值为________．‎ 解析：法一(坐标法)：以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设∠NBC＝∠MAB＝α，α∈，则M(－sin2α，sin αcos α)，N(cos α，sin α)，A(－1,0)，C(1,0)，·＝(1－sin2α，sin αcos α)·(cos α－1，sin α)＝(1－sin2 α)(cos α－1)＋sin2αcos α＝cos α－1＋sin2α＝－cos2α＋cos α＝－2＋，当cos α＝，α＝时，·的最大值为.‎ 法二(定义法)：设∠NBC＝∠MAB＝α，α∈，‎ ·＝(－)·(－)＝－·－·＋·＝·＋cos α－1＝||·||sin α＋cos α－1＝||2＋|AM|－1＝－||2＋||，令||＝t,0