江苏省连云港市2019-2020高二数学下学期期末调研试题（Word版附答案） 11页

2019～2020 学年第二学期高二期末调研考试 数学试题 一、单项选择题：共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡 相应位置上． 1．已知 i 为虚数单位，复数 4 5z i  ，则 z的虚部是 5 . 5 . 5 5. .A i B i DC   2．已知随机变量 ~ (0,1)Z N ， 且 ( 2)P Z a  ，则 ( 2 2)P Z    A. 2 B. 2 1 C. 1 2 D. 2(1 )a a a a   3．若 4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报 1项，则不 同的报名方式有 A． 43 种 B． 34 种 C． 3 3A 种 D． 3 4A 种 4．设随机变量 X的概率分布如下表所示，且 E（X）＝2．5，则 a—b＝ 3 3 3 3 A. B. C. D. 4 8 16 32 5．如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 12AB BB ， P为 1 1BC 的中点．则异面直线 AC与 BP所成的角 为 A． 90° B． 60° C． 45°D． 30° 6．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0．6， 0．7，若两人各投 2次， 则两人投中次数不等的概率是 A． 0．6076 B． 0．7516 C． 0．3924 D． 0．2484 7．4 个不同的小球放入编号为 1， 2， 3， 4的 4个盒子中，则恰有 2个 空盒的放法有 A． 144 种 в． 120 种 C． 84 种 D． 60 种 8．已知函数 2( ) ( )xf x e ax a R   有三个不同的零点，则实数 a的取值范 围是 2 2 A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , ) 4 2 4 2 e e e e     二、多项选择题：共 4小题，每小题 5分，共 20 分，在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 3分，有选错 的得 0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上． 9．已知 m， n是两条不重合的直线， α， β， γ是三个两两不重合的平面， 下列命题是真命题的有 A．若 m⊥α， m⊥β，则α//β B．若 mα， nβ， m//n，则α//β C．若 m， n是异面直线， mα， m//β， nβ， n∥α，则α//β D．若α⊥γ， β⊥γ，则α//β 10．关于排列组合数，下列结论正确的是 1 1 1 1 1 1 . B. . D. m n m m m m n n n n n m m m m m n n n n n AC C C C C C A mA A mA A              11．为弘扬我国古代的“六艺文化” ，某夏令营主办单位计划利用暑期开设 “礼”“乐"“射”“御” “书” “数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则 A．某学生从中选 3门，共有 30 种选法 B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有 240 种排法 C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有 144 种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 504 种排法 12．已知函数 1( ) lnf x x x   ，则 A．函数 f(x)的递减区间是 ( ,1) B．函数 f(x)在 ( , )e  上单调递增 C．函数 f（x）的最小值为 1 D．若 ( ) ( )( )f m f n m n  ，则 m＋n＞2 三、填空题：共 4小题，每小题 5分，共 20 分，请把答案直接填写在答题 卡相应位置上． 13．已知 i 为虚数单位，设 1 22 3 , ( )z i z m i m R     ，若 1 2 z z 为实数，则 m＝________． 14．已知函数 f（x）＝tanx，那么 ( ) 6 f  ＝________ 15．若 61( )x ax  的二项展开式中常数项为 5 2  ，则常数 a的值是________ 16．棱长为 12 的正四面体 ABCD与正三棱锥 E—BCD的底面重合，若由它 们构成的多面体 ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三楼锥 E—BCD的体积 为 ________，该正三棱锥内切球的半径为________． （第一空 3分，第二空 2 分） 四、解答题：共 6小题，共 70 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17． （本小题满分 10 分） 江苏省新高考方案要求考生在物理、历史科目中选择一科，我市在对某校高 一年级学生的选科意愿调查中，共调查了 100 名学生，其中男、女生各 50 人， 男生中选历史 15 人，女生中选物理 10 人． （1）请根据以上数据建立一个 2x2 列联表； (2)判断性别与选科是否相关． 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d        18． （本小题满分 12 分） 已知 (3 1)nx  的展开式中，第 5项与第 3项的二项式系数之比为 14：3． (1)求正整数 n； (2)若 2 0 1 2(3 1)n n nx a a x a x a x      ，求 1 | | n i i a   19． （本小题满分 12 分） 今年年初，我市某医院计划从 3名医生、5名护士中随机选派 4人参加湖北 新冠肺炎疫情狙击战． （1）求选派的 4人中至少有 2名医生的概率； （2）设选派的 4人中医生人数为 X，求 X的概率分布和数学期望． 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 3 21 1( ) 1( 0) 3 2 f x ax x a    ． （1）若函数 f（x）的图象与直线 6x—3y—7＝0 相切，求实数 a的值； (2)求 f(x)在区间[－1，1]上的最大值． 21． （本小题满分 12 分） 如图，在三校柱 1 1 1ABC ABC 中，已知 1 60 , 45A AC BAC     1 1 2, 2AB A A AC AB    （1）求证：平面 ACC1A1⊥平面 ABC ； (2)求二面角 1 1B A B C  大小的余弦值． 22． （本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ln( 1) 1( )f x x x ax a R     (1)若 ( ) ( )h x f x 在 ( 1, )  上是单调递增函数，求实数 a的取值范围； （2）若 f（x）在 ( 1, )  上是单调递减函数，求实数 a的取值集合． 2019～2020 学年度高二年级第二学期期末考试试题数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：共 8小题，每小题 5分，共 40 分． 1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．C 二、多项选择题：共 4小题，每小题5分 ，共20分．全部选对得5分，部分选对得3分，有 选错得0分. 9．AC 10．ABD 11．CD 12．BCD 三、填空题：共 4小题，每小题 5分，共 20 分． 13． 2 3  14． 4 3 15．2 16． 72 2 ,3 2 6 四、简答题：共 6小题，共 70分. 17．解：（1）由题意可得 选物理 选历史 合计 男生 35 15 50 女生 10 40 50 合计 45 55 100 …………………4 分 （2）提出假设 0H ： 学生选科与性别没有关系. 根据列联表中的数据，可以求得 2 2 100 (35 40 15 10) 25.253 50 50 45 55           . …………………8 分 因为当 0H 成立时， 2 10.828  的概率约为 0.001， 所以我们有 99.9％的把握认为，学生选科与性别有关. …………………10 分 18．解：（1）由第 5 项与第 3 项的二项式系数之比为 14∶3 得 4 2 ( 1)( 2)( 3 14 ( 2)( 3) 141 2 3 4 ( 1)3 12 3 1 2 n n n n n n C n n n nC             ） ， …………………3 分 ( 10)( 5) 0n n   ，所以 10n  ， 5n   （舍）. …………………6 分 （2）由 10n  得， 10 2 10 0 1 2 10(3 1)x a a x a x a x        ，① 当 0x  时，代入①式得 0 1a  ； …………………8 分 因 1 2 10 1 2 3 9 10 1 = n i i a a a a a a a a a                ， …………………10 分 当 1x   时，代入①式得 10 0 1 2 3 4 5 10+ 4a a a a a a a         ， 所以 1 n i i a   104 1  . …………………12 分 19．解：（1）记选派的 4 人中至少有 2 名医生为事件 A，记 4 人中有 2 名医生 2 名护士为事 件 1A ，记 4 人中有 3 名医生 1 名护士为事件 2A ，且 1A 与 2A 互斥．则当事件 A 发生时， 有 1A 或 2A 发生，所以有 1 2 1 2( )= ) ( ) ( )P A P A A P A P A  （ ． …………………2 分 又 2 2 3 5 1 4 8 3( ) 7 C CP A C   ； 3 1 3 5 2 4 8 1( ) 14 C CP A C   ； …………………4 分 所以 3 1 1( ) 7 14 2 P A    . 答：选派的 4 人中至少有 2 名医生的概率为 1 2 . …………………6 分 （注：不记事件扣 2 分，不说明事件的互斥性扣 2 分，不重复扣分； 不用公式直接计算扣 2 分，不答扣 1 分） （2）由题意选派的医生人数 X 可以是 0，1，2，3.所以 4 5 4 8 1( 0) 14 CP X C    ； 3 1 5 3 4 8 3( 1) 7 C CP X C    ； 2 2 3 5 1 4 8 3( ) 7 C CP X P A C  （ =2)= ； 3 1 3 5 2 4 8 1( ) 14 C CP X P A C  （ =3)= . …………………10 分 所以，随机变量 X 的概率分布表为 X 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14 故随机变量 X 的数学期望为 ( )E X = 1 3 3 1 30 1 2 3 14 7 7 14 2         ． 答： X 的数学期望为 3 2 ． …………………12 分 （注：不列分布表的扣 1 分） 20．解：（1）设切点 3 2 0 0 0 1 1( , 1) 3 2 P x ax x  ，因切线方程为 6 3 7 0x y   ， 所以 2 0 0 02 ( )k f x ax x    ，① 又 3 2 0 0 0 1 1 71 2 3 2 3 ax x x    ，② …………………2 分 由①得 2 0 02ax x  ③，将③代入②得 2 0 08 20 0x x   ， 0 0( 10)( 2) 0x x   ，得 0 2x  或 0 10x   ， …………………4 分 当 0 2x  时，代入③得 1a  ；当 0 10x   时，代入③得 2 25 a   . 因 0a  ，所以实数 a =1. ……… …………6 分 （2）因 2 1( ) ( 1) ( )f x ax x x ax ax x a        ， 当 0 1a ≤ 时， 1 1 a ≥ ，当  1,0x  时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在  1,0 上递增， 当  0,1x 时， ( ) 0f x ≤ ，所以 ( )f x 在  0,1 上递减， 所以 max[ ( )] (0) 1f x f  ； …………………8 分 当 1a  时， 10 1 a   ，当  1,0x  时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在  1,0 上递增， 当 10,x a （ ）时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 1(0, ) a 上递减， 当 1x a （ ,1]时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 1( ,1] a 上递增， 又 (0) 1f  ， 1 1(1) 3 2 f a  ， 所以当 31 2 a  时， max[ ( )] (0) 1f x f  ； 当 3 2 a≥ 时， max[ ( )]f x  1 1(1) 3 2 f a  . …………………11 分 综上有 max[ ( )]f x  31, 0 , 2 1 1 3, . 3 2 2 a a a        ≥ …………………12 分 21．（ 1）取 AC中点O， 连结 1AO， BO 在 1A AC 中， 1 2A A AC  ， 1 60A AC   ，所以 1A AC 为 正三角形， 因为O为 AC中点，所以 1AO AC ， 1 3AO  ； …………………2 分 在 OAB 中， 2AB  ， 1 1 2 AO AC  ， 45BAC  ， 所以，由余弦定理得 2 2 2 cos 45 1OB AO AB AO AB     所以， 2 2 2 1 1 4AB AO OB   ，所以 1AO OB ， …………………4 分 又 1AO AC ，OB AC O ，OB 平面 ABC， AC 平面 ABC， 所以 1AO 平面 ABC， 因为 1AO 平面 1 1ACC A ，所以平面 1 1ACC A 平面 ABC． …………………6 分 （2）在 OAB 中， 2AB  ， 1AO OB  ， 故 2 2 2AB AO OB  ，所以 AO OB ，又 1AO AC ， 1AO OB ， 分别以OB，OC， 1OA所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系， (0, 1,0)A  ， (1,0,0)B ， 1(0,0, 3)A ， (0,1,0)C 因为 11 (0,1, 3)AA BB    ，所以 1 1 (1,1, 3)OB OB BB      ， …………………8 分 所以 1 (1,0, 3)A B    ， ( 1,1,0)BC    ， 设平面 1 1A B B的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z  ， C1 A B C A1 B1 y z O 所以， 1 1 1 1 0, 0, n A B n B B           即 1 1 1 1 3 0, 3 0, x z y z       令 1 3z  ，解得 1 3x  ， 1 3y   ，所以 1 (3, 3, 3)n    设平面 1A BC的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z  ， 所以， 2 1 2 0, 0, n A B n BC           即 2 2 2 2 3 0, 0, x z x y        令 2 3z  ，解得 2 3x  ， 2 3y  ，所以 2 (3,3, 3)n   …………………10 分 所以 1 21n   ， 2 21n   ， 1 2 3n n    ， 所以 1 2 1 2 1 2 3 1cos , 721 21 n nn n n n            ， 所以，二面角 1 1B A B C  的余弦值为 1 7 . …………………12 分 22．解：（1）因 2( ) ln( 1) 1f x x x ax    ，所以 ( ) ln( 1) 2 1 xf x x ax x       ， 又 ( ) ( )h x f x 在 ( 1, )  上是单调递增函数， 所以 ( ) 0h x ≥ 在 ( 1, )  上恒成立，且无连续区间使 ( )f x 恒为 0． 则 2 1 1( ) 2 0 1 ( 1) h x a x x       ≥ ……………………………………3 分 所以 2 1 1 2 1 ( 1) a x x    ≥ 恒成立，令 1 ( 0) 1 t t x    ， 因 2 0t t  ，所以 2 0a≤ ，则 0a≤ . ……………………………5 分 （2）因 2( ) ln( 1) 1f x x x ax    ，所以 ( ) ln( 1) 2 1 xf x x ax x       ， 又 ( )f x 在 （-1,+ )上是单调递减函数， 所以 ( ) 0f x ≤ 恒成立，且无连续区间使 ( )f x 恒为 0． x 因 (0) 0f   ，所以 (0)f  是 ( )f x 的一个极大值，则有 "(0) 0f  ，……………………8 分 因 2 1 1"( ) 2 1 ( 1) f x a x x      2 2 2 2 2 ( 1) 2 2 (1 4 ) 2 2 ( 1) ( 1) a x x ax a x a x x              ， 代入 "(0) 0f  有 1a  . ……………………10 分 当 1a  时，有 2 1 1"( ) 2 1 ( 1) f x x x      2 (2 3) ( 1) x x x     ， 当 ( 1,0)x  时， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 ( 1,0) 上单调递增； 当 (0, )x  时， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减． 所以 ( ) (0) 0f x f   ，所以当 1a  时， ( )f x 在 ( 1, )  单调递减. 故实数 a的取值集合为 1 . …………………12 分