福建省三明市第一中学2019届高三下学期开学考试 数学（文）试题（PDF版） 9页

高三数学（文科）试卷 第 1 页（共 5 页） 三明一中 2018-2019 学年下学期返校考 高三文科数学试卷 （总分 150 分，时间：120 分钟） 一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求） 1．设集合 { | 2 2 4}A x x    ， { | 1}B x x，则 AB（ ） A．{ | 1 1}xx   B．{ | 2 1}xx   C．{ | 1 1}xx   D．{ | 2 1}xx   2．(2 2 )(1 2 )ii   （ ） A． 42i B． 2i C． 42i D． 2i 3．八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号.八卦表示事物自 身变化的阴阳系统，用“ ”代表阳，用“——”代表阴，用这两种符号，按照大自 然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式（如图所示）.从图中的八卦中随机选取一卦， 则此卦中恰有两个“——”的概率为（ ） A． 1 2 B． 1 4 C． 3 8 D． 1 8 4．设等比数列{}na 的前 n 项和为 nS ，且 214Sa ，则公比 q （ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 2 D．3 5．双曲线 22 22: 1( 0, 0)xyC a bab    的左焦点为( 3,0) ，且C 的离心率为 3 2 ，则C 的方程为（ ） A． 22 145 yx B． 22 154 yx C． 22 145 xy D． 22 154 xy 6．某公司在十周年庆典中有一个抽奖活动，主持人将公司 450 名员工随机编号为 001，002，003，...， 450，采用系统抽样的方法从中抽取 50 名幸运员工.已知抽取的幸运员工中有一个编号为 025，那么以下编 号中不是幸运员工编号的是（ ） A．007 B．106 C．356 D． 448 高三数学（文科）试卷 第 2 页（共 5 页） 7．函数 | 2 2 |() 22 x xfx   的图像大致为（ ） A． B． C． D． 8．设 nS 为等差数列{}na 的前 n 项和，若 2 4 3 52S S S S   , 1 9a  ，则公差 d （ ） A． 5 B． 4 C． 3 D． 2 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A．80 12 B．80 13.5 C．59 13.5 D．59 12 10．已知曲线 2xy e x ax   在区间(0,1) 内存在垂直于 y 轴的切线，则 a 的取值范围为（ ） A．(0, 1)e B．(1, 1)e C． (0, 2)e D．(1, 2)e 11．若函数 ( ) sin 2 3cos2f x x x 在[0, ]t 上的值域为[ 3,2] ，则t 的取值范围为（ ） A． 5[ , ]36  B． 55[ , ]12 6  C．[ , ]3   D． 5[ , ]12   12．椭圆 22 22: 1( 0)xyC a bab    上一点 (2,1)A 到两焦点的距离之和为 42.若以 (0, 1)M  为圆心的圆 经过点 A ，则圆 M 与C 的四个交点围成的四边形的面积为（ ） A． 20 8 17 9  B． 20 4 17 9  C． 24 4 17 9  D． 24 8 17 9  第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案写在答题卡上．．．．．．．．．．）： 13．已知向量 a ，b 的夹角为 ，且 2a  ， 3b  ， 3ab ，则  ． 14．设 x 、 y 满足约束条件 2 0, 2 0, 2 0, xy xy x      则 2z x y的最大值为 ． 15．设 2log 3 a ， 2log 15 b ，则 2log 75  （结果用 a ，b 表示）． 16．正三棱锥 P ABC 的每个顶点都在半径为 2 的球O 的球面上， 3AB  ,则三棱锥 的体积 高三数学（文科）试卷 第 3 页（共 5 页） 为 ． 三．解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，其中 22 题为 10 分，其余为 12 分): 17．（本小题 12 分）已知数列 }{ na 的前 n 项和 nS 满足 ，且 11 a . （1）求数列的通项公式 na ； （2）记 1 1 n nn b aa   ， nT 为 }{ nb 的前 项和，求使 2 nT n 成立的 n 的最小值. 18．（本小题 12 分）为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某 部门从年龄在 15 岁到 65 岁的人群中随机调查了 100 人，将这 100 人 的年龄数据分成 5 组： 15,25 ， 25,35 ， 35,45 ， 45,55 ， 55,65 ， 整理得到如图所示的频率分布直方图. 在这 100 人中不支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 年龄 不支持“延迟退 休”的人数 15 5 15 23 17 （1）由频率分布直方图，估计这 100 人年龄的平均数； （2）由频率分布直方图，若在年龄 ， ， 的三组内用分层抽样的方法抽取 12 人做 问卷调查，求年龄在 组内抽取的人数； （3）根据以上统计数据填写下面的 22 列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为 以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异？ 45 岁以下 45 岁以上 总计 不支持 支持 总计 )2(11 NnnSS nn   ， 高三数学（文科）试卷 第 4 页（共 5 页） 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 参考数据：  2 0P K k 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 19．（本小题 12 分）四棱锥 ABCDP  中， PA 平面 ABCD ，底面 为直 角梯形， BCAD // ， ABAD  ， BCAD 2 ，M 为 PA 上一点，且 PAPM 3 1 ， （1）证明： PC 平面 MBD ； （2）若 3PA AD，四棱锥 的体积为 9 4 ，求直线 AB 与平面 MBD 所 成角的正弦值. 20．（本小题 12 分）已知抛物线  2: 2 0E x py p上一点 M 的纵坐标为6 ，且点 到焦点 F 的距离7 . （1）求抛物线 E 的方程； （2）设 1l ， 2l 为过焦点 F 且互相垂直的两条直线，直线 1l 与抛物线 E 相交于 ,AB两点，直线 2l 与抛物线 E 相交于点 ,CD两点，若直线 1l 的斜率为 ( 0)kk ，且 8OAB OCDSS，试求 k 的值. 21．（本小题 12 分）已知函数   2 1 x x axfx e  ，其中 aR . （1）讨论函数  fx的单调性； （2）若实数 0x 为函数 的极小值点，且  0 3 4fx e ，求实数 a 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 1C 的参数方程为 2cos sin x y      （ 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半xOy 高三数学（文科）试卷 第 5 页（共 5 页） 轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 3sin( )62  . （1）求曲线 1C ， 2C 的直角坐标方程； （2）判断曲线 ， 是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由. 23．（本小题 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 2 | | |f x x a x a    . （1）当 1a  时，求不等式 ( ) 4 | 2|f x x   的解集； （2）设 0a  ， 0b  ，且 ()fx的最小值为t .若 33tb，求 1 a ab 的最小值. 高三数学（文）试卷答案 第 1 页（共 4 页） 三明一中 2018-2019 学年度下学期高三返校考（文科数学）答案 一、选择题：5×12=60 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C D C C B A B D B D 二、填空题：4×5=20 13、 6  14、8 15、 2ba 16、 33 4 或 93 4 三、解答题：（第 22 题 10 分，第 17~21 题每题 12 分，共 70 分） 17.（1）由已知有 11  nn SS ， 数列 }{ nS 为等差数列，且 111  aS ， nSn  ，即 2nS n  ， 当 2n 时， 12)1( 22 1   nnnSSa nnn ，又 11 a 也满足上式， 12  nan ；… 6 分 (2）由（1）知， )12 1 12 1(2 1 )12)(12( 1  nnnnbn 12)12 11(2 1)12 1 12 1 5 1 3 1 3 11(2 1  n n nnnTn ， 由 nTn 2 有 242  nn ，有 6)2( 2 n ，所以 5n ， n 的最小值为 5.…………12 分 18.解（1）估计这 100 人年龄的平均数为 20 0.2 30 0.1 40 0.2 50 0.3 60 0.3 42x            …………2 分. （2）由频率分布直方图可知，年龄在 25,35 ， 35,45 ， 45,55 内的频率分别为 0.1,0.2,0.3， 所以在这三组内抽取的人数之比为 1:2:3，所在年龄在 组内抽取的人数为 212 46 （人）. …………6 分 （3）由频率分布直方图可知，得年龄在 ， ， 这三组内的频率和为 0.5，所以 45 岁以下共有 50 人，45 岁以上共有 50 人.列联表如下： 45 岁以下 45 岁以上 总计 不支持 35 45 80 支持 15 5 20 总计 50 50 100 所以  2100 35 5 45 15 25 6.25 3.84150 50 80 20 4k         ， 高三数学（文）试卷答案 第 2 页（共 4 页） 所以在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不 支持态度存在差异„„„„„12 分 19、解：（1）证明：连结 AC 交 BD 于 N 点，连结 MN，则 BNC ∽ AND 又 BCAD 2 ， NCAN 2 PAPM 3 1 ， PCMN // ， MBDPCMBDMN 平面，平面  ， MBDPC 平面// „„„„„„„„5' (2) 解：不妨设 AB a ，因为 PA=AD=3，四棱锥 ABCDP 的体积为 9 4 ，所以 1 1 3 9[ ( 3) ] 33 2 2 4a      ， 解得 1a  ；„„„„„„ '8 设点 A 到平面 MBD的距离为 h ，利用体积桥， A MBD M ABDVV三棱锥 三棱锥 , 在 MBD 中， 5, 10, 13MB BD MD   ,利用余弦定理可求得 2cos 10MBD,所以 72sin 10MBD，所以 三角形 MBD 的面积 7 2S  ,„„„„„„ '10 代入 中得： 1 7 1 3 23 2 3 2h     ，解得 6 7h  ，„„„„„„ '11 又因为 1AB  ,所以直线 AB 与平面 MBD 所成角的正弦值为 6 7 . „„„„„„ '12 20、解：（1）由抛物线的定义知，点 M 到抛物线的准线 E 的距离为 7，又抛物线 的准线方程为 2 py  ， 所以672 p，解得 2p  .故抛物线 的方程为 2 4xy . （2）由题意可知 1l 的方程为  10y kx k   ，设  11,A x y ，  22,B x y ， 由 2 1 4 y kx xy    消去 y ，整理得 2 4 4 0x kx   ，则 124x x k ， 12 4xx  ，  216 1 0k    ，    2 2 2 2 2 121 1 1 16 1 4 11AB k x x k k k k          .又点O 到直线 AB 的距离 2 1 1 d k   ，则  22 2 1 1 14 1 2 122 1OABS AB d k k k          . 因为 12ll ，同理可得 2 21 2 121OCD kS kk     ，由 8OAB OCDSS，得 高三数学（文）试卷答案 第 3 页（共 4 页） 2 2 212 1 8kk k    ，解得 2 1k  ，即 1k  或 1k  .„„„„„„„„„12 分 21、解： (1) 函数  fx的定义域为 ,  ，           2 2 2 212 1 1 1xx x x x x a e e x ax x a x a x x afx e e e                . 由   0fx  ，得 1x  ，或 1xa . ①当 0a  时，    21 0x xfx e  ，所以函数 在区间 上单调递增； ②当 0a  时，11a，由   0fx  ，解得 1xa或 1x  ， 所以函数 在区间   ,1 , 1,a   上单调递增；由   0fx  ，解得11ax   ， 所以函数 在区间 1 ,1a 上单调递减. ③当 0a  时，11a ，由 ，解得 1x  或 1xa ， 所以函数 在区间   ,1 , 1 ,a   上单调递增；由 ，解得11xa   ， 所以函数 在区间 1,1 a 上单调递减. 综上所述，当 时，函数 在区间 上单调递增； 当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减； 当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. （2）由（1）知，①当 时，函数 在区间 上单调递增，可知函数无极小值. ②当 时，由函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，可知 0 1x  ，所以    0 3 241 af x f ee      ，即 3 24a ee   ，解得 2 4 2a e，又 ，所以 a 的取值 范围为 0, . ③当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，可知 0 1xa ，所以    0 13 241 a af x f a ee       ，即 13 24 a a ee   ，整理得  2 420aae e   . 令函数      2 420ah a a e ae    ，    1 ah a a e  ， 高三数学（文）试卷答案 第 4 页（共 4 页） 因为 0a  ，所以   0ha  ，所以函数  ha在区间 ,0 上单调递增. 又因为  20h ，所以 20a   .综上所述，实数 a 的取值范围   2,0 0,  .„„„„12 分 22、解：（1）将 2cos sin x y      ，消去参数，得曲线 1C 的直角坐标方程为 2 2 14 x y， 将 3sin( )62  展开整理，得 cos 3 sin 3   ， 因为 cosx  ， siny  ， 所以曲线 2C 的直角坐标方程为 3 3 0xy   . （2）由（1）知曲线 2C 是过定点 ( 3,0)的直线，因为点( 3,0) 在曲线 1C 的内部，所以曲线 1C 与曲线 2C 相交.将 33xy代入 2 2 14 x y并整理，得 27 6 1 0yy   ， 设曲线 1C ， 2C 的两交点为 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，则 12 6 7yy   ， 12 1 7yy   ， 故曲线 ， 两交点间的距离 2| | 1 ( 3)AB  2 1 2 1 2 16( ) 4 7y y y y     . 10 分 23、解：（1）当 1a  时， ( ) | 2| | 1|f x x x    ，原不等式可化为 2| 2| | 1| 4xx    ，① 当 2x  时，不等式①可化为 2 4 1 4xx     ，解得 7 3x  ，此时 7 3x  ； 当 21x   时，不等式①可化为 2 4 1 4xx    ，解得 1x  ，此时 11x   ； 当 1x  时，不等式①可化为 2 4 1 4xx    ，解得 1 3x  ，此时 1x  ， 综上，原不等式的解集为 7( , ] [ 1, )3    . （2）由题意得， ( ) | 2 | | |f x x a x a     | ( 2 ) ( ) | 3x a x a a    ， 因为 ()fx的最小值为t ，所以 3ta ，由3 3 3ab，得 1ab， 所以 1 2 1 2( ) ( )aba b a b     223 3 2 3 2 2b a b a a b a b        ， 当且仅当 2ba ab ，即 21a ， 22b  时， 12 ab 的最小值为3 2 2 .„„„„„„„„„10 分