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- 2021-06-10 发布
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1.古典概型
解决古典概型问题应注意2点
(1)对于古典概型中的抽取问题,要注意是否有顺序性,是否有无放回,如T1,T2,T3,T4.
(2)在利用排列、组合与两个基本计数原理求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m时,要明确事件之间是对立关系还是互斥关系,如T2.
1.[一题多解]从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B.
C. D.
C [法一:∵9张卡片中有5张奇数卡片,4张偶数卡片,且为不放回地随机抽取,
∴P(第一次抽到奇数,第二次抽到偶数)=×=,
P(第一次抽到偶数,第二次抽到奇数)=×=,
∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)=+=.
法二:依题意,得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)==.]
2.现有大小形状完全相同的4个小球,其中红球有2个,白球与蓝球各1个,将这4个小球任意排成一排,则中间2个小球不都是红球的概率为( )
A. B.
C. D.
C [设“4个小球排成一排,中间2个小球不都是红球”为事件A.则表示事件“中间2个球都是红球”,易知P()===,故P(A)=1-P()=.]
3.(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )
A. B.
C. D.
C [不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法,这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对,所以所求概率P==,故选C.]
4.(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“--”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B.
C. D.
A [由6个爻组成的重卦种数为26=64,在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的种数为C==20.根据古典概型的概率计算公式得,所求概率P==.故选A.]
2.几何概型
解决几何概型问题应注意2点
(1)明确几何概型的适用条件:基本事件发生的等可能性和基本事件的无限性.
(2)分清几何概型中的“测度”:注意区别长度与角度、面积、体积等度量方式,如T1,T2,T3.
1.在区间(1,3)内,任取1个数x,则满足log2(2x-1)>1的概率为( )
A. B.
C. D.
D [由题意,满足log2(2x-1)>1,则2x-1>2,解得x>,所以在区间(1,3)内,任取1个数x时,x>的概率为P==,故选D.]
2.(2019·青岛调研)有一底面半径为1,高为2的圆柱,点O为圆柱下底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A. B.
C. D.
B [设点P到点O的距离小于1的概率为P1,由几何概型,则P1===,故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=.故选B.]
3.如图,B是AC上一点,分别以AB,BC,AC为直径作半圆,从B作BD⊥AC,与半圆相交于D,AC=6,BD=2,在整个图形中随机取一点,则此点取自图中阴影部分的概率是( )
A. B.
C. D.
C [连接AD,CD,可知△ACD是直角三角形,又BD⊥AC,所以BD2=AB·BC,设AB=x(0<x<3),则有8=x(6-x),得x=2,所以AB=2,BC=4,由此可得图中阴影部分的面积等于-=2π,故概率P==.]