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- 2021-06-10 发布
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福建省福州市2012届高三第一学期期末质量检查数学(文)试卷(word版)
第1卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共1 2小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.把正确的选项涂在答题卡的相应位置上.)
1.复数i(1+i)(i为虚数单位)等于
A.0 B.1+i C.1-i D.-1+i
2.已知全集U={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},则( M)∩N等于
A.{b} B.{d} C.{b,e} D.{b,d,e}
3.如图是某次大赛中,7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为
A.83 B.84 C.85 D.86
4.“x<2”是“x2-2x<0'”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c> a
6.若变量x,y满足约束条件则z = x-2y的最小值等于
A.-2 B.- C. D.
7.已知cos(α+)=,则sin(-α)的值等于
A. B.- C. D.±
8.直线y =x与椭圆=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点,则椭圆C的
离心率为
A. B. C. D.
9.已知函数f (x)=2sin(ωx+φ)( ω>0)的部分图象如图所示,则函数f (x)的一个单调递增区间是
A.() B.()
C.() D.()
10.若直线x+my=2+m与圆x2+y2—2x —2y+1= 0相交,则实数m的取值范围为
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)U(0,+∞)
11.如图,已知点O是边长为1的等边△ABC的中心,则()·()等于
A. B. C. D.
12.已知数列{an}中,a1=,a n+1=则a2012等于
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共1 6分,将答案填在答题卡的相应位置上.)
13.双曲线:=1的渐近线方程为
14.如图所示,程序框图的输出值s等于
15.“无字证明”(proofs without words),就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:
16.已知集合M是满足下列条件的函数f (x)八戈)的全体:
(1) f (x)既不是奇函数也不是偶函数;(2)函数f (x)有零点.那么在函数
①f (x)=|x| + 1 , ②f (x) =2x一1 ,
③f (x)= ④ f (x) =x2一x一1 + lnx
中,属于M的有 (写出所有符合的函数序号)
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
l7.(本小题满分l 2分)
已知{an}是等比数列,a1=2,且a1,a3+1,a4成等差数列.
(I)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=log2 an,求数列{bn}的前n项和Sn.
18.(本小题满分12分)
已知A、B、C三个箱子中各装有2个完全相同的球,每个箱子里的球,有一个球标着号码1,另一个球标着号码2.现从A、B、C三个箱子中各摸出1个球.
(I)若用数组(x,y,z)中的x、y、z分别表示从A、B、C三个箱子中摸出的球的号码,请写出数组(x,y,z)的所有情形,并回答一共有多少种;
(Ⅱ)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和,猜中有奖.那么猜什么数获奖的可能性
最大?请说明理由. ’
19.(本小题满分1 2分)
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a=3,B=,S△ABC=6
( I )求△ABC的周长;
(Ⅱ)求sin2A的值.
20.(本小题满分l 2分)
某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到15一O.1x万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为l0.假设不计其它成本,即销售每套丛书的利润 = 售价 一 供货价格.问:
(I)每套丛书定价为100元时,书商能获得的总利润是多少万元?
(Ⅱ)每套丛书定价为多少元时,单套丛书的利润最大?
21.(本小题满分1 2分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(一1,1),P是动点,且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA.
(I)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且,直线OP与QA交于点M,试探究:点M的横坐标是否为定值?并说明理由.
22.(本小题满分1 4分)
已知m,t∈R,函数f (x) =(x - t)3+m.
(I)当t =1时,
(i)若f (1) =1,求函数f (x)的单调区间;
(ii)若关于x的不等式f (x)≥x3—1在区间[1,2]上有解,求m的取值范围;
(Ⅱ)已知曲线y= f (x)在其图象上的两点A(x1,f (x1)),B(x2,f (x2)))( x1≠x2)处的切线
分别为l1、l2.若直线l1与l2平行,试探究点A与点B的关系,并证明你的结论.
福州市2011-2012学年第一学期期末高三质量检查
数学(文科)试卷参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.)
1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.A 8.A 9.D 10.D
11.D 12.C
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.)
13.;14.1320;15.;16.②④
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设数列的公比为,则
,, 2分
∵ 成等差数列,
∴ ,即 4分
整理得,
∵ ,∴ , 6分
∴ (). 8分
(Ⅱ)∵, 10分
∴ . 12分
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)数组的所有情形为:(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2),共8种.
答:一共有8种. 5分
注:列出5、6、7种情形,得2分;列出所有情形,得4分;写出所有情形共8种,得1分.
(Ⅱ)记“所摸出的三个球号码之和为”为事件(=3,4,5,6), ……6分
易知,事件包含有1个基本事件,事件包含有3个基本事件,事件包含有3个基本事件,事件包含有1个基本事件,所以,
,,,. …………………10分
故所摸出的两球号码之和为4、为5的概率相等且最大.
答:猜4或5获奖的可能性最大. …………………12分
19.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵ ,
∴ ,
∴ , 2分
由余弦定理得,
,
∴ , 5分
∴ 的周长为. 6分
(Ⅱ)由正弦定理得,,
∴ , 8分
∵ ,
∴ ,故角为锐角, 9分
∴ , 10分
∴ . 12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)每套丛书定价为100元时,销售量为万套,
此时每套供货价格为元, 3分
∴ 书商所获得的总利润为万元. 4分
(Ⅱ)每套丛书售价定为元时,由得,, 5分
依题意,单套丛书利润
7分
∴,
∵ ,∴ ,
由 , 10分
当且仅当,即时等号成立,此时
.
答:(Ⅰ)当每套丛书售价定为100元时,书商能获得总利润为340万元;(Ⅱ)每套丛书售价定为140元时,单套利润取得最大值100元. 12分
(说明:学生未求出最大值不扣分).
21.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设点为所求轨迹上的任意一点,则由得
, 2分
整理得轨迹的方程为(且),…4分
(Ⅱ)(方法一)设,
由可知直线,则,
故,即,…………………6分
由三点共线可知,与共线,
∴ ,
由(Ⅰ)知,故, 8分
同理,由与共线,
∴ ,即,
由(Ⅰ)知,故, 10分
将,代入上式得,
整理得,
由得,即点M的横坐标为定值. 12分
(方法二)
设
由可知直线,则,
故,即, 6分
∴直线方程为: ①; 8分
直线的斜率为:,
∴直线方程为:,即 ②; 10分
联立①②,得,∴点的横坐标为定值. 12分
22.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)(i)因为,所以, 1分
则, 而恒成立,
所以函数的单调递增区间为. 4分
(ii)不等式在区间上有解,
即 不等式在区间上有解,
即 不等式在区间上有解,
等价于在区间上的最小值, 6分
因为时,,
所以的取值范围是. 9分
(Ⅱ)因为的对称中心为,
而可以由经平移得到,
所以的对称中心为,故合情猜测,若直线与平行,则点与点关于点对称. 10分
对猜想证明如下:
因为
所以
所以,,的斜率分别为,.
又直线与平行,所以,即,
因为,
所以,, 12分
从而,
所以.
又由上
所以点关于点(对称.
故直线与平行时,点与点关于点对称. 14分