2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题（解析版） 24页

2020 届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题 一、填空题 1．设全集 ,若 ，则集合 _________. 【答案】 . 【解析】直接求根据 求出集合 即可. 【详解】 解：因为全集 若 ， 则集合 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查补集的运算，是基础题. 2．已经复数 满足 （i 是虚数单位），则复数 的模是________． 【答案】 【解析】【详解】 ， ，故答案为 . 3．已知一组数据 ，…， 的平均数为 a，极差为 d，方差为 ，则数据 ，…， 的方差为___________. 【答案】 【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来 数据的平方倍，得到结果． 【详解】 解： ∵数据 ，…， 的方差为 ， ∴数据 ，…， 的方差是 ， {1,2,3,4,5}U = {1,2,4}U A = A = {3,5} {1,2,4}U A = A {1,2,3,4,5}U = {1,2,4}U A = A = {3,5} {3,5} z ( 2) 1z i i− = + z 10 ( 2) 1z i i− = + 1 1 32 3 ,i iz ii i + +∴ = + = = − 10z = 10 1 2 3, ,a a a na 2S 12 1,a + 22 1,a + 32 1a + 2 1na + 24S 1 2 3, ,a a a na 2S 12 1,a + 22 1,a + 32 1a + 2 1na + 2 2 22 4S S× = 故答案为： . 【点睛】 此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______． 【答案】 【解析】由题设提供的算法流程图可知: ， 应填答案 ． 5．从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个 数为______。 【答案】18 【解析】试题分析：分类讨论：从 0、2 中选一个数字 0，则 0 只能排在十位；从 0、2 中选一个数字 2，则 2 排在十位或百位，由此可得结论．解：从 0、2 中选一个数字 0， 则 0 只能排在十位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与百位，共有 =6 种；从 0、2 中选一个数字 2，则 2 排在十位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与百位，共有 =6 种； 2 排在百位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与十位，共有 =6 种；故共有 3 =18 种，故答案为 18． 【考点】计数原理 点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键 6．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为_______． 【答案】 【解析】由双曲线的离心率为 ，可以得到 ，再根据 求出 24S 10 11 1 1 1 1 1011 2 2 3 10 11 11 11S = + +⋅⋅⋅+ = − =× × × 10 11 2 3A 2 3A 2 3A 2 3A xOy ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 10 C 3y x= ± 10 10c a = 2 2 2a b c+ = ,a b 的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】 解：因为双曲线 的离心率为 ， 所以 ， 故 ， 又因为 ， 所以 ，即 ，即 ， 所以双曲线的渐近线 . 【点睛】 本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出 的关系，从而解决问 题. 7．将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则 为 ． 【答案】4 【解析】试题分析：将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，即将函 数 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 得 y=4sin[2（ x+ ） ]=4sin2x， 所 以 = . 故 答 案 为 ： 4． 【考点】三 角 函 数 的 图 象 平 移 . 8．设定义在 R 上的奇函数 在区间 上是单调减函数，且 ，则实数 x 的取值范围是_________ 【答案】 【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数 在 上为减函数，则 可以转化为 ，解可得 的取值范围，即可得答 案． ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 10 10c a = 2 2 10c a = 2 2 2a b c+ = 2 2 2 10a b a + = 2 2 9b a = 3=b a 3y x= ± ,a b π 6 ( )π4sin 2 3y x= − ( )π 4f π 6 ( )π4sin 2 3y x= − ( )π4sin 2 3y x= − π 6 π 6 π 3 − ( )π 4f 4sin 42 π = ( )f x [0, )+∞ ( )2 3 (2) 0f x x f− + > (1,2) ( )f x R ( )2 3 (2) 0f x x f− + > 2 3 2x x− < − x 【详解】 解：根据题意， 是在 上的奇函数，且在区间 上是单调减函数， 则其在区间 上递减， 则函数 在 上为减函数， ， 解得： ； 即实数 x 的取值范围是 ； 故答案为： ． 【点睛】 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性． 9．在锐角三角形 ABC 中 ， ，则 的值为_________. 【答案】79 【解析】由题意可得 ，进而可得 ，而 ，由两角和与差 的正切公式可得． 【详解】 解：∵在锐角三角形 中 ， ， ， ， ， 故答案为：79． 【点睛】 本题考查两角和与差的正切公式，属中档题． ( )f x R [0, )+∞ ( ,0)−∞ ( )f x R ( ) ( )2 2 2 23 (2) 0 3 (2) ( 3 ) ( 2) 3 2f x x f f x x f f x x f x x− + > ⇒ − > − ⇒ − > − ⇒ − < − 1 2x< < (1,2) (1,2) 3sin 5A = 1tan( ) 3A B− = − 3tanC tan A tan B tan tan( )C A B= − + ABC 3sin 5A = 2 4cos 1 sin 5A A∴ = − = sin 3tan cos 4 AA A ∴ = = 3 1 tan tan( ) 134 3tan tan[ ( )] 3 11 tan tan( ) 91 4 3 A A BB A A B A A B +− −∴ = − − = = =+ − − × 3 13 tan tan 794 9tan tan( ) 3 131 tan tan 31 4 9 A BC A B A B ++∴ = − + = − = − =− − × 3tan 79C∴ = 10．已知 为数列 的前 n 项和 且 .则 的值 ________ 【答案】5 【解析】由 ，且 ．取 即可得出． 【详解】 解：∵ ，且 ． ，即 ． 故答案为：5. 【点睛】 本题考查了递推式的简单应用，是基础题. 11．设正实数 x，y 满足 ，则实数 x 的最小值为______. 【答案】 . 【解析】由正实数 x，y 满足 ，化为 ，可得 ，计算即可． 【详解】 解：由正实数 x，y 满足 ， 化为 ， ∴ ，化为 ， 解得 ． 因此实数 x 的最小值为 ． nS { }na 3 ( 1)( *)n nS na n n n N= − − ∈ 2 11a = 1a 3 ( 1)( *)n nS na n n n N= − − ∈ 2 11a = 2n = 3 ( 1)( *)n nS na n n n N= − − ∈ 2 11a = 1 2 22 6a a a∴ + = − 1 2 6 5a a= − = x yxy x y += - 2 1+ x yxy x y += - ( )2 21 0xy x y x+ − + = ( )22 2 2 1 2 1 2 1 4 0 1 0 1 0 x x xy y x y y ∆ = − − ≥  − + = >  = >  x yxy x y += - ( )2 21 0xy x y x+ − + = ( )22 2 2 1 2 1 2 1 4 0 1 0 1 0 x x xy y x y y ∆ = − − ≥  − + = >  = >  4 26 1 0 1 x x x  − + ≥  > 2 1x ≥ + 2 1+ 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法， 考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 12．如图正四棱柱 的体积为 27，点 E，F 分别为棱 上的点 （异于端点）且 ，则四棱锥 的体积为___________. 【答案】9 【解析】由 ，由此能求出四棱锥 的体 积． 【详解】 解：连接 ， ∵正四棱柱 的体积为 27， 点 E，F 分别为棱 上的点（异于端点），且 ， ， ， ∴四棱锥 的体积 ． 故答案为：9． 2 1+ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1,B B C C / /EF BC 1A AEFD− 1 1 1 1 3A AED E A AD A ADV V S AB− − ∆= = ⋅ 1A AEFD− DE 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1,B B C C / /EF BC 1 1A AED A FEDV V− −∴ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 3 6 6 2A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C DV V S AB S AB V− − ∆ −∴ = = ⋅ = ⋅ = = 1A AEFD− 1 9A AEFDV − = 【点睛】 本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题． 13．已知向量 满足 且 与 的夹角的正切为 ， 与 的夹角的 正切为 ， ，则 的值为___________. 【答案】 【解析】可设 ，由题意可得 ，由两角和 的正切公式，可得 ，再由同角的基本关系式可得 ，再由正弦定理可得 AB，AC，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】 解：可设 ， 由题意可得 ， 则 ， 即为 ， 又 为锐角， ， 可得 ， 同理可得 ， 由正弦定理可得 ， 即有 ， 则 ． 故答案为： ． 【点睛】 , ,a b c   0a b c+ + =   a b 1 2 − b c 1 3 − | | 2b = a c⋅  4 5 , ,AB a BC b CA c= = =    1 1tan ,tan2 3B C= = tan A sin ,sinB C , ,AB a BC b CA c= = =    1 1tan ,tan2 3B C= = 1 1 tan tan 2 3tan tan( ) 11 11 tan tan 1 2 3 B CA B C B C ++= − + = − = − = −− − × 135A °= ,B C 2 2 sin 1sin cos 1, cos 2 BB B B + = = 5sin 5B = 10sin 10C = 2 | | | | sin135 5 10 5 10 c a ° = =  2 10 2 5,5 5c a= =  2 10 2 5 2 4| | | | cos45 5 5 2 5a c c a °⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =   4 5 本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解 能力，属于中档题． 14．已知 ，若同时满足条件：① 或 ；② .则 m 的取值范围是 ________________. 【答案】 【解析】根据 可解得 x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致 f(x)在 是必须是 ，当 m=0 时， 不能做到 f(x)在 时 ，所 以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故 m<0,且此时 2 个根为 ，为保证条件成立，只需 ，和大前提 m<0 取交集结果为 ；又由于条件 2 的限制，可分析得出在 恒负，因此就需要在这个范围内 g(x)有得正数的可能，即-4 应该比 两个根中较小的来的大，当 时， ，解得交集为空，舍．当 m=-1 时，两个根同为 ，舍．当 时， ，解得 ，综 上所述， ． 【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉 及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想． 二、解答题 15．已知 的面积为 ，且 ，向量 和向量 是共线向量. （1）求角 C； （2）求 的边长 c. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可 求得角 C； ( ) ( 2 )( 3), ( ) 2 2xf x m x m x m g x= − + + = − , ( ) 0x R f x∀ ∈ < ( ) 0 − 4 0m− < < ( , 4), ( )x f x∃ ∈ −∞ − 1 2x x ( 1,0)m∈ − 3 4m− − < − 2 4− > − ( 4, 1)m∈ − − 2 4m < − 2m < − ( 4, 2)m∈ − − ABC∆ 9 3 ( ) 18AC AB CB⋅ − =   (tan tan ,sin 2 )m A B C= + (1,cos cos )n A B= ABC∆ 3C π= 3 6 （2）由 得： ，进而利用 的面 积为 ，及余弦定理可求 的边长 c． 【详解】 （1）因为向量 和 是共线向量， 所以 ， 即 ， 化简 ， 即 . 因为 ，所以 ， 从而 . （2） ， 则 ，于是 . 因为 的面积为 ， 所以 ， 即 解得 在 中，由余弦定理得 ， 所以 . 【点睛】 本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正 弦、余弦定理求出三角形的边． 16．如图，四棱锥 P－ABCD 的底面为矩形，且 AB＝ ，BC＝1，E，F 分别为 AB， PC 中点. ( ) 18AC AB CB⋅ − =   2 ( ) 18AC AB BC AC⋅ + = =    ABC∆ 9 3 ABC∆ (tan tan ,sin 2 )m A B C= + (1,cos cos )n A B= cos cos (tan tan ) sin 2 0A B A B C+ − = sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C+ − = sin 2sin cos 0C C C− = sin (1 2cos ) 0C C− = 0 C π< < sin 0C > 1cos ,2C = 3C π= ( ) 18AC AB CB⋅ − =    18 ( )AC AB CB∴ = ⋅ −   2| |AC AC AC= ⋅ =   | | 18 3 2AC = = 3 2AC = ABC 9 3 1 sin 9 32 CA CB C⋅ = 1 3 2 sin 9 32 3CB π× = 6 2CB = ABC 2 2 2 2 cosAB CA CB CA CB C= + − ⋅ 2 2 1(3 2) (6 2) 2 3 2 6 2 2 = + − × × × 54= 54 3 6AB = = 2 （1）求证：EF∥平面 PAD； （2）若平面 PAC⊥平面 ABCD，求证：平面 PAC⊥平面 PDE. 【答案】证明：（1）方法一：取线段 PD 的中点 M，连结 FM，AM． 因为 F 为 PC 的中点，所以 FM∥CD，且 FM＝ CD． 因为四边形 ABCD 为矩形，E 为 AB 的中点， 所以 EA∥CD，且 EA＝ CD． 所以 FM∥EA，且 FM＝EA． 所以四边形 AEFM 为平行四边形． 所以 EF∥AM． ……………………… 5 分 又 AM⊂平面 PAD，EF⊄平面 PAD，所以 EF∥平面 PAD． ………7 分 方法二：连结 CE 并延长交 DA 的延长线于 N，连结 PN． 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AD∥BC， 所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE． 1 2 1 2 又 AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以 CE＝NE． 又 F 为 PC 的中点，所以 EF∥NP．………… 5 分 又 NP⊂平面 PAD，EF⊄平面 PAD，所以 EF∥平面 PAD． ……………7 分 方法三：取 CD 的中点 Q，连结 FQ，EQ． 在矩形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，所以 AE＝DQ，且 AE∥DQ． 所以四边形 AEQD 为平行四边形，所以 EQ∥AD． 又 AD⊂平面 PAD，EQ⊄平面 PAD，所以 EQ∥平面 PAD． ………………2 分 因为 Q，F 分别为 CD，CP 的中点，所以 FQ∥PD． 又 PD⊂平面 PAD，FQ⊄平面 PAD，所以 FQ∥平面 PAD． 又 FQ，EQ⊂平面 EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面 EQF∥平面 PAD．…………… 5 分 因为 EF⊂平面 EQF，所以 EF∥平面 PAD． ……………………………… 7 分 （2）设 AC，DE 相交于 G． 在矩形 ABCD 中，因为 AB＝ BC，E 为 AB 的中点.所以 ＝ ＝ ． 又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA． 又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°． 由△DGC 的内角和为 180°，得∠DGC＝90°．即 DE⊥AC． ……………………… 10 分 因为平面 PAC⊥平面 ABCD 因为 DE⊂平面 ABCD，所以 DE⊥平面 PAC， 又 DE⊂平面 PDE，所以平面 PAC⊥平面 PDE． ………………………… 14 分 【解析】略 17．如图，OM，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线 OM 上的一个码 头．已知 ， ，Q 到海岸线 OM，ON 的距离分别为 3 km， km．现要在海岸线 ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线 AB 经过小岛 Q． （1）求水上旅游线 AB 的长； （2）若小岛正北方向距离小岛 6 km 处的海中有一个圆形强水波 P，从水波生成 t h 时 2 DA AE CD DA 2 的半径为 （a 为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以 km/h 的速度 自码头 A 开往码头 B，问实数 a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行． 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示： ，直线 的方 程为 ．由 Q 到海岸线 ON 的距离为 km，得 ，解得 ，再由两直线交点得 ，利用两点间距离公式得 （2）由题意是一个不等式恒成立问题：设 小时时，游轮在线段 上的点 处， 而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数 最值问题： 试题解析：（1）以点 为坐标原点，直线 为 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得： ，直线 的方程为 ． 由 ，及 得 ，∴ ．∴直线 的方程为 ，即 ， 由 得 即 ，∴ ，即水上 旅游线 的长为 ． （2）设试验产生的强水波圆 ，由题意可得 P（3，9），生成 小时时，游轮在线段 上 的点 处，则 ，∴ ．强水波不会波及游轮的航行即 ，当 时 ， 当 . ， ，当且仅当 时等号成立，所以，在 时 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行． 【考点】函数实际应用，不等式恒成立 18．在平面直角坐标系 中已知椭圆 过点 ，其左、 右焦点分别为 ，离心率为 . （1）求椭圆 E 的方程； （2）若 A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，动点 M 满足 ，且 MA 交椭圆 E 于点 P. （i）求证： 为定值； （ii）设 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q，问：直线 MQ 是否过定点，并说明 理由. 【答案】(1) (2) （i）证明见解析，定值为 4 （ii）直线 过定点 . 【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的 的关系，可得 ， 进而得到椭圆方程； （2）（i）设 ，求得直线 MA 的方程，代入椭圆方程，解得点 P 的 坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证； （ii）直线 MQ 过定点 O（0，0）．先求得 PB 的斜率，再由圆的性质可得 MQ⊥PB，求 出 MQ 的斜率，再求直线 MQ 的方程，即可得到定点． 【详解】 解：（1）易得 且 ， 解得 所以椭圆 E 的方程为 （2）设 ， ①易得直线 的方程为： ， xOy 2 2 2: 1( 0)3 x yE a ba + = > > 61, 2       1 2F F、 2 2 MB AB⊥ OP OM⋅  2 2 14 2 x y+ = MQ (0,0)O , ,a b c ,a b ( )02, ,M y ( )1 1,P x y 2 2 3 1 2 1 2 2 a b c a   + =  = ， ， 2 2 2c a b= − 2 2 4 2 a b  =  = ， ， 2 2 14 2 x y+ = ( )02, ,M y ( )1 1,P x y MA 0 0 4 2 y yy x= + 代入椭圆 得， ， 由 得， ，从而 ， 所以示 ， ②直线 过定点 ，理由如下： 依题意， ， 由 得， ， 则 的方程为： ，即 ， 所以直线 过定点 . 【点睛】 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线 方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置 关系，属于中档题． 19．已知数列 满足： （常数 ）， .数列 满足： . （1）求 的值； （2）求出数列 的通项公式； （3）问：数列 的每一项能否均为整数？若能，求出 k 的所有可能值；若不能，请 说明理由. 【答案】(1) ；(2) ； (3) k 为 1，2 时 数列 是整数列. 2 2 14 2 x y+ = 2 2 2 20 0 01 4 08 2 2 y y yx x  + + + − =   ( )2 0 1 2 0 4 8 2 8 y x y − − = + ( )2 0 1 2 0 2 8 8 y x y − − = + 0 1 2 0 8 8y y y= + ( ) ( ) 2 0 0 02 2 0 0 2 8 8, 2,8 8 y yOP OM yy y  − − ⋅ = ⋅ + +    ( )2 2 0 0 2 2 0 0 4 8 8 48 8 y y y y − − = + =+ + MQ (0,0)O ( ) 0 2 0 2 00 2 0 8 8 2 2 8 8 PB y yk yy y += = − − − + MQ PB⊥ 0 2MQ yk = MQ 0 0 ( 2)2 yy y x− = − 0 2 yy x= MQ (0,0)O { }na 1 2 3a a a k= = = 0k > 1 1 1 n n n n K a aa a − + − += ( )*3,n n N≥ ∈ { }nb 2 1 n n n n a ab a + + += ( )*n N∈ 1,b 2 ,b 3,b 4b { }nb { }na 1 3 2b b= = ， 2 4 2 1kb b k += = 4 1 1 2 2 n n kb k k + −= +（ ） { }na 【解析】（1）经过计算可知： ，由数列 满足： （n＝1，2，3，4…），从而可求 ； （2）由条件可知 ．得 ，两式相减整理得 ，从而可求数列 的通项公式； （3）假设存在正数 k，使得数列 的每一项均为整数，则由（2）可知： ，由 ， ，可求得 ．证 明 时，满足题意，说明 时，数列 是整数列． 【详解】 （1）由已知可知： ， 把数列 的项代入 求得 ； （2）由 可知： ① 则： ② ①−②有： ， 即： … ， … ， ； （3）假设存在正数 k 使得数列 的每一项均为整数， 则由（2）可知： ③， 4 5 6 21, 2, 4a k a k a k k = + = + = + + { }nb 2 1 n n n n a ab a + + += 1,b 2 ,b 3,b 4b 1 2 1n n n na a k a a+ − −= + 2 1 1n n n na a k a a+ − += + 2n nb b −= { }nb { }na 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 n n n n n n a a a ka a ak + − + = − + = + − 1a k Z= ∈ 6 24 Za k k = + + ∈ 1,2k = 1,2k = 1,2k = { }na 4 5 6 21, 2, 4a k a k a k k = + = + = + + { }na 2 1n n n nb a a a= + + + 1 3 2b b= = ， 2 4 2 1kb b k += = 1 2 1 n n n n k a aa a − − ++ = 3,n n N≥ ∈ ∗（ ） 1 2 1n n n na a k a a+ − −= + 2 1 1n n n na a k a a+ − += + 2 2 1 1 n n n n n n a a a a a a + − + − + += 2n nb b −= 2 1 2 3n nb b− −∴ = = 1 3 1 2 2a ab a += = = 2 2 2n nb b −= = 2 4 2 3 2 1a a kb a k + += = = 4 1 1 2 2 n n kb k k + −∴ = +（ ） { }na 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 n n n n n n a a a ka a ak + − + = − + = + − 由 ， ，可知 ，2. 当 时， 为整数，利用 结合③式可知 的每一项均为整 数； 当 时，③变为 ④ 用数学归纳法证明 为偶数， 为整数. 时结论显然成立，假设 时结论成立， 这时 为偶数， 为整数， 故 为偶数， 为整数， 时，命题成立. 故数列 是整数列. 综上所述 k 为 1，2 时数列 是整数列. 【点睛】 本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的 综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题． 20．设函数 . （1）若 求函数 的单调区间； （2）若 试判断函数 在区间 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数 a 都存在实数 t 满足：对任意的 ， . 【答案】(1) 单调递减区间为 单调递增区间为 . (2) 见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）求解 ，利用 ，解不等式求解单调递增区 间，单调递减区间； （2） ，其中 ， 再次构造函数令 ，分析 的零点情况． ， 令 ，列表分析得出 单调性，求其最小值， 分类讨论求解①若 ，②若 ，③若 的单调性， 1a k Z= ∈ 6 24 Za k k = + + ∈ 1k = 1k = 2 1 3k k + = 1 2 3, ,a a a Z∈ { }na 2k = 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 5 12 n n n n n n a a a a a a + − + = − = + − 2 1na − 2na 1n = n k= 2 1na − 2na 2 1 2 2 12n n na a a+ −= − 2 2na + 1n k∴ = + { }na { }na ( ) ( )ln ,f x x a x x a= − − + a R∈ 0a = ( )f x 0a < ( )f x ( )2 2,e e− ( , )x t t a∈ + ( ) 1f x a< − (0,1) (1, )+∞ ( ) lnf x x′ = ( ) 0, ( ) 0f x f x′ ′> < ' ( ) ln af x x x = − 0x > ( ) lng x x x a= − ( )g x ( ) ln 1g x x′ = + 1( ) 0,g x x e ′ = = ( )g x 1a e ≤ − 2 1 2ae e − < < − 2 2 0, ( )a f xe − ≤ < 最大值，最小值，确定有无零点问题； （3）先猜想 恒成立． 再运用导数判断证明．令 ，求解最大值，得 出 即可． 【详解】 （1）当 时， ， ， 令 ， ，列表分析 1 − 0 + 单调递减 单调递增 故 的单调递减区间为 单调递增区间为 . （2） ， ，其中 ， 令 ，分析 的零点情况. 令 ， ，列表分析 − 0 + 单调递减 单调递增 ， 而 ， ， ( )f x (1,1 ), ( ) 1x a f x a∈ + < − ' 1( ) ln 1, 1, ( ) 1 0G x x x x G x x = − + ≥ = − ≤ ( ) (1) 0G x G< = 0a = ( ) lnf x x x x= − ( ) lnf x x′ = ( ) 0f x′ = 1x = x (0,1) (1, )+∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x (0,1) (1, )+∞ ( ) ( )lnf x x a x x a= − − + ( ) lnf x x ax′ = − 0x > ( ) lng x x x a= − ( )g x ( ) ln 1g x x′ = + ( ) 0g x′ = 1x e = x (0,1e) 1e (1 , )e +∞ ( )g x′ ( )g x min 1 1( ) ( )g x g ae e = = − − 1 1( ) 1n 1f ae aee e ′ = − = − − 2 2 2( ) 2 (2 )f e ae ae−′ = − − = − + 2 2 2 2 1( ) 2 (2 )af e e ae e ′ = − = − ①若 则 ， 故 在 内没有极值点； ②若 ，则 ， 因此 在 有两个零点， 在 内有两个极值点； ③若 则 ， ， ， 因此 在 有一个零点， 在 内有一个极值点； 综上所述当 时， 在 内没有极值点； 当 时， 在 内有两个极值点； 当 时， 在 内有一个极值点. （3）猜想： ， 恒成立. 证明如下： 由（2）得 在 上单调递增，且 ， . 因为当 时， ， 所以 故 在 上存在唯一的零点，设为 .由 − 0 + 单调递减 单调递增 1a e ≤ − ( ) ln 0af x x x ′ = − ≥ ( )f x 2 2( , )e e− 2 1 2ae e − < < − 1 1( ) 1n 0f aee e ′ = − < 2 2( ) (2 ) 0f e ae−′ = − + > 2 2 2 1( ) (2 ) 0f e e ae ′ = − > ( )f x′ 2 2( , )e e− ( )f x 2 2( , )e e− 2 2 0ae − ≤ < 1 1( ) 1 0f n aee e ′ = − < 2 2( ) (2 ) 0f e ae−′ = − + ≤ 2 2 2 1( ) (2 ) 0f e e ae ′ = − > ( )f x′ 2 2( , )e e− ( )f x 2 2( , )e e− 1( , ]a e ∈ −∞ − ( )f x 2 2( , )e e− 2 1 2,a e e  ∈ − −   ( )f x 2 2( , )e e− 2 2 ,0a e  ∈ −   ( )f x 2 2( , )e e− (1,1 )x a∈ + ( ) 1f x a< − ( )g x 1( , )e +∞ (1) 0g a= − < (1 ) (1 )ln(1 )g a a a a+ = + + − 1x > 1ln 1 (*)x x > − 1(1 ) (1 )(1 ) 01g a a aa + > + − − =+ ( )g x (1,1 )a+ 0x x 0(1, )x 0x 0( ,1 )x a+ ( )f x′ ( )f x 知 ， . 又 ，而 时， ， 所以 . 即 ， . 所以对任意的正数 a，都存在实数 ， 使对任意的 ， 使 . 补充证明 : 令 ， . ， 所以 在 上单调递增. 所以 时， ，即 . 补充证明 令 ， . ， 所以 在 上单调递减. 所以 时， ，即 . 【点睛】 本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问 题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于 0 得到函数的递增区 间，令导函数小于 0 得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大． 21．已知二阶矩阵 ，矩阵 属于特征值 的一个特征向量为 ，属 于特征值 的一个特征向量为 .求矩阵 . 【答案】 【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】 由特征值、特征向量定义可知， ， 即 ，得 (1,1 )x a∈ + ( ) max{ (1), (1 )}f x f f a< + (1 ) ln(1 ) 1f a a+ = + − 1x > ln 1(**)x x< − (1 ) ( 1) 1 1 1 (1)f a a a f+ < + − − = − = (1,1 )x a∈ + ( ) 1f x a< − 1t = ( , )x t t∈ + ∞ ( ) 1f x a< − (*) 1( ) 1n 1F x x x = + − 1x ≥ 2 2 1 1 1( ) 0xF x x x x −′ = − = ≥ ( )F x [1, )+∞ 1x > ( ) (1) 0F x F> = 1ln 1x x > − (**) ( ) ln 1G x x x= − + 1x ≥ 1( ) 1 0G x x ′ = − ≤ ( )G x [1, )+∞ 1x > ( ) (1) 0G x G< = ln 1x x< − 同理可得 解得 ， ， ， .因此矩阵 【点睛】 本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果， 较为简单 22．在极坐标系中，已知 ，线段 的垂直平分线 与极轴交于点 ，求 的极坐标方程及 的面积． 【答案】 的极坐标方程及 , . 【解析】将 转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段 的 中点与直线 的斜率，进而求出直线 l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程； 在直角坐标系下，求出点 C 到直线 AB 的距离、线段 AB 的长度，从而得出 的面 积. 【详解】 解：以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xoy 在平面直角坐标系 xoy 中， 的坐标为 线段 的中点为 ， 故线段 中垂线的斜率为 ， 所以 的中垂线方程为： 化简得： ， 所以极坐标方程为 ， 即 ， 令 ，则 ， 故在平面直角坐标系 xoy 中，C（10,0） 1, , 9,3 3A B π π           AB l C l ABC∆ l cos 53 πρ θ − =   20 3ABC∆ 的面积 1, , 9,3 3A B π π           AB AB ABC∆ 1, , 9,3 3A B π π           1 3 9 9 3( , ), ( , )2 2 2 2A B AB 5 5 3( , )2 2A 3ABk = AB 1 3 3AB k k − −= = AB 5 3 3 5( )2 3 2y x −− = − 3 10 0x y+ − = cos 3 sin 10 0ρ θ ρ θ+ − = cos( ) 53 πρ θ − = 0y = 10x = 点 C 到直线 AB： 的距离为 ， 线段 ， 故 的面积为 . 【点睛】 本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐 标系下的问题，从而转化为熟悉的问题. 23．已知实数 满足 ，求证： ． 【答案】证明见解析 【解析】对 进行转化，转化为含有 形式，然后通过不等关 系得证. 【详解】 解：因为 ， 所以 ,得证. 【点睛】 本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件， 考查了学生转化与化归的能力. 24．如图，在四棱锥 中，已知棱 ， ， 两两垂直，长度分别为 1，2，2.若 （ ），且向量 与 夹角的余弦值为 . 3y x= 10 3 5 3 3 1 d = = + 8AB = ABC∆ 1 5 3 8 20 32S = × × = ,a b 2a b+ ≤ 2 22 2 4( 2)a a b b a+ − + ≤ + 2 22 2a a b b+ − + 2a b+ ≤ 2a b+ ≤ 2 22 2a a b b+ − + 2 2 2 2a b a b= − + + ( )( ) ( )2a b a b a b= − + + + 2a b a b= + − + ( )2 2a b a a b= + − + + 2 2a b a a b≤ + + + + ( )2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2a a a a≤ + + = + = + ≤ + P ABCD− AB AD AP DC ABλ=  Rλ ∈ PC BD 15 15 （1）求 的值； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】试题分析：（1）以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建 立空间直角坐标系 ，写出 ， 的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出 关于 的方程可求；（2）设岀平面 的法向量为 ，根据 ， 进而得到 ，从而求出 ，向量 的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余 弦的公式求出 ，从而得 和平面 所成角的正弦值. 试题解析：（1）依题意，以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建 立空间直角坐标系 ，因为 ，所以 ，从而 ，则由 ，解得 （舍去）或 . （2）易得 ， ，设平面 的法向量 ， 则 ， ，即 ，且 ，所以 ，不妨取 ， 则平面 的一个法向量 ，又易得 ，故 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . λ PB PCD 2λ = 10 5 A AB AD AP x y z A xyz− ,PC BD λ PCD ( ), ,n x y z= n PC n DC  ⊥ ⊥     0 0  ⋅ = ⋅ =     n PC n DC n PB cos ,n PB< >  PB PCD A AB AD AP x y z A xyz− (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2)B D P DC ABλ=  ( ,2,0)C λ ( ,2, 2)PC λ= − 15cos , 15PC BD =  10λ = 2λ = (2,2, 2)PC = − (0,2, 2)PD = − PCD ( , , )n x y z= 0⋅ = n PC 0⋅ = n PD 0x y z+ − = 0y z− = 0x = 1y z= = PCD (0,1,1)n = (1,0, 2)PB = − 10cos , 5 = ⋅ = − PB n PB n PB PCD 10 5 考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25．已知数列 的通项公式为 ， ，记 … . （1）求 的值； （2）求所有正整数 n，使得 能被 8 整除. 【答案】(1) ； ； (2) 【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值； （2）通过化简得到 ，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求 结论． 【详解】 解：（1） … … ， { }na 1 1 5 1 5 2 25 n n na     + − = −            n N∈ 1 2 1 2n n nS C a C a= + + n n nC a+ 1,S 2S nS 1 1S = 2 3S = { }*| 3 ,n n k k N= ∈ 2 13n n nS S S+ += − 1 2 1 2 n n n n n nS C a C a C a= + +…+ 2 1 21 1 5 1 5 2 25 n nC C   + += ⋅ + ⋅ +     2 1 21 5 1 5 1 5 2 2 2 n n n n nC C C     + − − + ⋅ − ⋅ + ⋅ +            1 5 2 n n nC  − + ⋅      1 1 5 1 51 12 25 n n    + − = + − +            1 3 5 3 5 2 25 n n    + − = −            即有 ； ； （2） ， ， 即 ， ， 因此 除以 8 的余数， 完全由 除以 8 的余数确定， 因为 ， 所以 ， ， ， ， ， 由以上计算及 可知，数列 各项除以 8 的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…, 它是一个以 6 为周期的数列，从而 除以 8 的余数等价于 n 除以 3 的余数， 所以 ， 即所求集合为： . 【点睛】 本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题． 1 1S 5 1 5 = ⋅ = 2 1S 3 5 3 5 = ⋅ ⋅ = 1 3 5 3 5 2 25 n nS n     + − = −            2 1 3 5 3 52 22 25nS n n+     + −= + − +             1 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5= 2 2 2 2 2 25 n n n n            + − + − + −   − ⋅ + − −                                  13 n nS S+= − 2 13n n nS S S+ += − *n N∈ 2nS + 1,n nS S+ 1 1,a = 2 1a = 1 1 1 1 1S C a= = 1 2 2 2 1 2 2 3S C a C a= + = 3 2 13 9 1 8S S S= − = − = 4 3 23 24 3 21,S S S= − = − = 5 4 33 63 8 55S S S= − = − = 6 5 43 165 21 144,S S S= − = − = 7 5356 432 55 377S S= − = − = 8 7 63 1131 144 987,S S S= − = − = 9 8 73 2961 377 2584S S S= − = − = 2 13n n nS S S+ += − { }nS nS 3 ,n k= *k N∈ { }*| 3 ,n n k k N= ∈