数学理卷·2018届北京市西城区高三第一学期期末考试试卷 12页

‎ 北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷 ‎ 高三数学（理科） 2018.1‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．若集合，，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．下列函数中，在区间上单调递增的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4．已知为曲线：（为参数）上的动点．设为原点，则的最大值是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎5．实数满足 则的取值范围是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎6．设是非零向量，且不共线．则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎7．已知，是函数的图象上的相异两点．若点，到直线的距离相等，‎ 则点，的横坐标之和的取值范围是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）的乘积等于常数．已知pH值的定义为，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为 ‎（参考数据：，）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．在复平面内，复数对应的点的坐标为____．‎ ‎10．数列是公比为的等比数列，其前项和为．若，则____；____．‎ ‎11．在△中，，，△的面积为，则 ____． ‎ ‎ ‎ ‎12．把件不同的产品摆成一排．若其中的产品与产品都摆在产品的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答） ‎ ‎13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的 部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____． ‎ ‎14．已知函数 若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．‎ 表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 ‎1月1日 ‎7:36‎ ‎4月9日 ‎5:46‎ ‎7月9日 ‎4:53‎ ‎10月8日 ‎6:17‎ ‎1月21日 ‎7:31‎ ‎4月28日 ‎5:19‎ ‎7月27日 ‎5:07‎ ‎10月26日 ‎6:36‎ ‎2月10日 ‎7:14‎ ‎5月16日 ‎4:59‎ ‎8月14日 ‎5:24‎ ‎11月13日 ‎6:56‎ ‎3月2日 ‎6:47‎ ‎6月3日 ‎4:47‎ ‎9月2日 ‎5:42‎ ‎12月1日 ‎7:16‎ ‎3月22日 ‎6:15‎ ‎6月22日 ‎4:46‎ ‎9月20日 ‎5:59‎ ‎12月20日 ‎7:31‎ 表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 ‎2月1日 ‎7:23‎ ‎2月11日 ‎7:13‎ ‎2月21日 ‎6:59‎ ‎2月3日 ‎7:22‎ ‎2月13日 ‎7:11‎ ‎2月23日 ‎6:57‎ ‎2月5日 ‎7:20‎ ‎2月15日 ‎7:08‎ ‎2月25日 ‎6:55‎ ‎2月7日 ‎7:17‎ ‎2月17日 ‎7:05‎ ‎2月27日 ‎6:52‎ ‎2月9日 ‎7:15‎ ‎2月19日 ‎7:02‎ ‎2月28日 ‎6:49‎ ‎（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；‎ ‎（Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求的分布列和数学期望．‎ ‎（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断与的大小．（只需写出结论）‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，三棱柱中，平面，，.‎ 过的平面交于点，交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：四边形为平行四边形；‎ ‎（Ⅲ）若，求二面角的大小.‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：在区间上恰有个零点． ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆过点，且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 数列：满足：，，或．‎ 对任意，都存在，使得，其中且两两不相等．‎ ‎（Ⅰ）若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；‎ ‎ ① ； ② ； ③ ‎ ‎（Ⅱ）记．若，证明：；‎ ‎（Ⅲ）若，求的最小值．‎ 北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 ‎ ‎ 2018.1‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．A 2．D 3．C 4．D ‎ ‎5．D 6．C 7．B 8．C ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9． 10．， 11．‎ ‎12． 13． 14．；‎ 注：第10，14题第一空2分，第二空3分. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎ [ 4分]‎ ‎ [ 5分]‎ ‎ ， [ 7分]‎ 所以的最小正周期 ． [ 8分]‎ ‎（Ⅱ）因为 ，‎ 所以 ． [10分]‎ 当 ，即时， [11分]取得最大值为． [13分] ‎ ‎ ‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，‎ ‎[ 1分]‎ 在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，‎ ‎ 所以 ． [ 3分]‎ ‎（Ⅱ）X可能的取值为． [ 4分]‎ ‎ 记事件B为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，‎ ‎ 则 ，． [ 5分] ‎ ‎ ； ；‎ ‎． [ 8分]‎ 所以 X 的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎． [10分]‎ 注：学生得到X ~，所以，同样给分．‎ ‎（Ⅲ）． [13分]‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）因为 平面，所以 ． [ 1分]‎ 因为 三棱柱中，，所以 四边形为菱形，‎ 所以 ． [ 3分]‎ ‎ 所以 平面． [ 4分] ‎ ‎（Ⅱ）因为 ，平面，所以 平面． [ 5分]‎ ‎ 因为 平面平面，所以 ． [ 6分] ‎ ‎ 因为 平面平面，‎ 平面平面，平面平面，‎ ‎ 所以 ． [ 7分]‎ ‎ 所以 四边形为平行四边形． [ 8分]‎ ‎（Ⅲ）在平面内，过作．‎ 因为 平面， ‎ 如图建立空间直角坐标系． [ 9分]‎ 由题意得，，，，，．‎ 因为 ，所以 ， ‎ 所以 ．‎ 由（Ⅰ）得平面的法向量为． ‎ 设平面的法向量为， ‎ 则 即 ‎ 令，则，，所以 ． [11分]‎ 所以 ． [13分]‎ 由图知 二面角的平面角是锐角，‎ 所以 二面角的大小为． [14分]‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）当时，，‎ 所以 ． [ 2分]‎ ‎ 因为 ，， [ 4分]‎ 所以曲线在点处的切线方程为． [ 5分]‎ ‎ （Ⅱ）． [ 6分]‎ 由 ，得 ． [ 7分]‎ 因为 ，所以． [ 8分]‎ 当 时， 由 ， 得 ．‎ 所以 存在唯一的， 使得 ． [ 9分]‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减． [11分]‎ 因为 ， [12分]‎ 且 ，‎ 所以 在区间上恰有2个零点． [13分]‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得 ，， 所以 ． [ 2分]‎ 因为 ， [ 3分]‎ 所以 ， [ 4分]‎ 所以 椭圆的方程为 ． [ 5分]‎ ‎（Ⅱ）若四边形是平行四边形，‎ 则 ，且 . [ 6分]‎ 所以 直线的方程为，‎ 所以 ，． [ 7分]‎ 设，．‎ 由 得， [ 8分]‎ 由，得 ．‎ 且，． [ 9分]‎ 所以 . ‎ ‎． [10分]‎ 因为 ， 所以 ．‎ 整理得 ， [12分]‎ 解得 ，或 ． [13分]‎ 经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．‎ 所以 ，或 ． [14分]‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）②③． [ 3分]‎ ‎ 注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．‎ ‎（Ⅱ）当时，设数列中出现频数依次为，由题意．‎ ‎ ① 假设，则有（对任意），‎ 与已知矛盾，所以 ．‎ ‎ 同理可证：． [ 5分]‎ ‎ ② 假设，则存在唯一的，使得．‎ 那么，对，有 （两两不相等），‎ 与已知矛盾，所以． [ 7分]‎ ‎ 综上：， ‎ 所以 ． [ 8分]‎ ‎（Ⅲ）设出现频数依次为．‎ 同（Ⅱ）的证明，可得，，则．‎ ‎ 取， ，得到的数列为：‎ ‎． [10分]‎ 下面证明满足题目要求．对，不妨令，‎ ‎ ① 如果或，由于，所以符合条件；‎ ‎ ② 如果或，由于，，‎ ‎ 所以也成立；‎ ‎ ③ 如果，则可选取；同样的，如果，‎ ‎ 则可选取，使得，且两两不相等； ‎ ‎ ④ 如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．‎ 综上，对任意，总存在，使得，其中且两 两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为． [13分]‎