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- 2021-06-10 发布
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专题 06 三角函数及解三角形
1．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】设函数 在[−π，π]的图像大致如下图，则
f（x）的最小正周期为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得： ，
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得 .
所以函数 最小正周期为
故选 C．
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属
于中档题.
2．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 ，且 ，则
的
π( ) cos( )6f x xω= +
10π
9
7π
6
4π
3
3π
2
4 ,09
π −
( )f x 4cos 09 6
ωπ π − ⋅ + =
4 ,09
π −
( )f x x
4
9 6 2
ωπ π π− ⋅ + = − 3
2
ω =
( )f x
2 2 4
3 3
2
T ω
π π π= = =
π( )0,α∈ 3cos2 8cos 5α α− = sinα =
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故选：A．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，
考查计算求解能力，属于基础题.
3．【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】若 α 为第四象限角，则
A．cos2α>0 B．cos2α<0
C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由 α 为第四象限角，可得 ，
所以
此时 的终边落在第三、四象限及 轴的非正半轴上，所以 ，
故选：D．
方法二：当 时， ，选项 B 错误；
当 时， ，选项 A 错误；
由 在第四象限可得： ，则 ，选项 C 错
误，选项 D 正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意
5
3
2
3
1
3
5
9
3cos2 8cos 5α α− = 26cos 8cos 8 0α α− − =
23cos 4cos 4 0α α− − = 2cos 3
α = − cos 2α =
2 5(0, ), sin 1 cos 3
α α α∈ π ∴ = − =
3 2 2 2 ,2 k k kαπ + π < < π + π ∈Z
3 4 2 4 4 ,k k kαπ + π < < π + π ∈Z
2α y sin 2 0α <
6
α π= − cos2 cos 03
α π = − >
3
α π= − 2cos2 cos 03
α π = − <
α sin 0,cos 0α α< > sin 2 2sin cos 0α α α= <
在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.【2020 年高考全国 III 卷理数】在△ABC 中，cosC= ，AC=4，BC=3，则 cosB=
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 在 中， ， ， ，
根据余弦定理： ，
，
可得 ，即 ，
由 ，
故 .
故选：A．
5．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】已知 2tanθ–tan(θ+ )=7，则 tanθ=
A．–2 B．–1
C．1 D．2
【答案】D
【解析】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
6．【2020 年高考北京】2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求
圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：
2
3
1
9
1
3
1
2
2
3
ABC
2cos 3C = 4AC = 3BC =
2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC C= + − ⋅ ⋅
2 2 24 3 2 24 3 3AB = + − × × ×
2 9AB = 3AB =
2 2 2 9 9 16 1cos 2 2 3 3 9
AB BC ACB AB BC
+ − + −= = =⋅ × ×
1cos 9B =
π
4
2tan tan 74
πθ θ − + =
tan 12tan 71 tan
θθ θ
+∴ − =−
tan , 1t tθ= ≠ 12 71
tt t
+− =−
2 4 4 0t t− + = 2t = tan 2θ =
π
π
当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形（各边均与
圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的
方法， 的近似值的表达式是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆周角为 ，每条边长为
，
所以，单位圆的内接正 边形的周长为 ，
单位圆的外切正 边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故选：A．
【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 边形和外
切正 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
7．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)=
A． B． C． D．
【答案】BC
n 6n 6n
6n 2π
π
30 303 sin tann n n
° ° +
30 306 sin tann n n
° ° +
60 603 sin tann n n
° ° +
60 606 sin tann n n
° ° +
6n 360 60
6n n
° °=×
302sin n
°
6n 3012 sinn n
°
6n 302tan n
° 3012 tann n
°
30 3012 sin 12 tan 30 302 6 sin tan2
n nn n n n n
π
° °+ ° ° ∴ = = +
30 303 sin tann n n
π ° ° = +
π 6n
6n
πsin( 3x + ） πsin( 2 )3 x− πcos(2 6x + ） 5πcos( 2 )6 x−
【解析】由函数图像可知： ，则 ，所以不选 A,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC．
【点睛】已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看
图得出，困难的是求待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法：
(1)由 ω＝ 即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的
“零点”横坐标 x0，则令 ωx0＋φ＝0(或 ωx0＋φ＝π)，即可求出 φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合
图形解出 ω 和 φ，若对 A，ω 的符号或对 φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符
合要求.
8.【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1，
，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则 cos∠FCB=______________.
2
2 3 6 2
T π ππ= − = 2 2 2T
π πω π= = =
2
53 6
2 12x
ππ π+
= = 1y = − ∴ ( )5 32 212 2 k k Z
π πϕ π× + = + ∈
( )22 3k kϕ π π= + ∈Z
2sin 2 2 sin 2 cos 2 sin 23 6 2 6 3y x k x x x
π π π ππ π = + + = + + = + = −
5cos 2 cos( 2 )6 6x x
π π + = − −
2
T
π
3AB AD= =
【答案】
【解析】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
9．【2020 年高考全国 III 卷理数】16.关于函数 f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于 y 轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线 x= 对称．
1
4
−
AB AC⊥ 3AB = 1AC =
2 2 2BC AB AC= + =
6BD = 6BF BD∴ = =
ACE△ 1AC = 3AE AD= = 30CAE∠ =
2 2 2 32 cos30 1 3 2 1 3 12CE AC AE AC AE= + − ⋅ = + − × × × =
1CF CE∴ = =
BCF 2BC = 6BF = 1CF =
2 2 2 1 4 6 1cos 2 2 1 2 4
CF BC BFFCB CF BC
+ − + −∠ = = = −⋅ × ×
1
4
−
1sin sinx x
+
2
π
④f（x）的最小值为 2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【 解 析 】 对 于 命 题 ① ， ， ， 则
，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算
能力，属于中等题.
10．【2020年高考江苏】已知 = ，则 的值是 ▲ ．
【答案】
1 526 2 2f
π = + =
1 526 2 2f
π − = − − = −
6 6f f
π π − ≠
( )f x y
( )f x { },x x k k Zπ≠ ∈
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1sin sin sinsin sin sinf x x x x f xx x x
− = − + = − − = − + = − −
( )f x
1 1sin cos2 2 cossin 2
f x x x xx
π π
π
− = − + = + −
1 1sin cos2 2 cossin 2
f x x x xx
π π
π
+ = + + = + + 2 2f x f x
π π − = +
( )f x 2x
π=
0xπ− < < sin 0x < ( ) 1sin 0 2sinf x x x
= + < <
2sin ( )4
απ + 2
3 sin 2α
1
3
【解析】
故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础
题.
11．【2020 年高考北京】若函数 的最大值为2，则常数 的一个取
值为________．
【答案】 （ 均可）
【 解 析 】 因 为
，
所以 ，解得 ，故可取 .
故答案为： （ 均可）.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，
考查学生的数学运算能力，属于基础题.
12．【2020 年高考浙江】已知 ，则 _______， _______．
【答案】 ；
【解析】 ，
，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能
力，属基础题.
2 22 2 1sin ( ) ( cos sin ) (1 sin 2 )4 2 2 2
π α α α α+ = + = +
1 2 1(1 sin 2 ) sin 22 3 3
α α∴ + = ∴ =
1
3
( ) sin( ) cosf x x xϕ= + + ϕ
2
π
2 ,2k k Z
ππ + ∈
( ) ( ) ( ) ( )22cos sin sin 1 cos cos sin 1 sinf x x x xϕ ϕ ϕ ϕ θ= + + = + + +
( )22cos sin 1 2ϕ ϕ+ + = sin 1ϕ =
2
ϕ π=
2
π
2 ,2k k Z
ππ + ∈
tan 2θ = cos2θ = πtan( )4
θ − =
3
5-
1
3
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
cos sin 1 tan 1 2 3cos2 cos sin cos sin 1 tan 1 2 5
θ θ θθ θ θ θ θ θ
− − −= − = = = = −+ + +
tan 1 2 1 1tan( )4 1 tan 1 2 3
π θθ θ
− −− = = =+ +
3 1,5 3
−
13．【2020 年高考江苏】将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的
图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．
【答案】
【解析】
当 时 .
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基
础题.
14．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图
所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆
弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂足为 C，tan∠ODC= ，
，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为
1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【解析】设 ，由题意 ， ，所以 ，
因为 ,所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 与圆弧 相切于 点，所以 ，
即 为等腰直角三角形；
πsin(3 2 )4y x= ﹢ π
6
5
24x
π= −
3sin[2( ) ] 3sin(2 )6 4 12y x x
π π π= − + = −
72 ( ) ( )12 2 24 2
kx k k Z x k Z
π π π ππ− = + ∈ ∴ = + ∈
1k = − 5
24x
π= −
5
24x
π= −
3
5
BH DG∥
54 2
π+
= =OB OA r 7AM AN= = 12EF = 5NF =
5AP = 45AGP °∠ =
//BH DG 45AHO °∠ =
AG AB A OA AG⊥
OAH△
在直角 中， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ；
等腰直角 的面积为 ；
扇形 的面积 ，
所以阴影部分的面积为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以
劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.
15．【2020 年高考全国 II 卷理数】 中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC．
（1）求 A；
（2）若 BC=3，求 周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理和已知条件得 ，①
由余弦定理得 ，②
OQD△ 25 2OQ r= − 27 2DQ r= −
3tan 5
OQODC DQ
∠ = = 3 2 5 221 252 2r r− = −
2 2r =
OAH△ 1
1 2 2 2 2 42S = × × =
AOB ( )2
2
1 3 2 2 32 4S
π π= × × =
1 2
1 542 2S S
ππ+ − = +
54 2
π+
ABC△
ABC△
2 2 2BC AC AB AC AB− − = ⋅
2 2 2 2 cosBC AC AB AC AB A= + − ⋅
由①，②得 .
因为 ，所以 .
（2）由正弦定理及（1）得 ，
从而 ， .
故 .
又 ，所以当 时， 周长取得最大值 .
16．【2020 年 高 考 江 苏 】 在△ABC 中 ， 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c， 已 知
．
（1）求 的值；
（2）在边 BC 上取一点 D，使得 ，求 的值．
【解析】（1）在 中，因为 ，
由余弦定理 ，得 ，
所以 .
在 中，由正弦定理 ，
得 ，
所以
（2）在 中，因为 ,所以 为钝角，
而 ,所以 为锐角.
故 则 .
1cos 2A = −
0 πA< < 2π
3A =
2 3sin sin sin
AC AB BC
B C A
= = =
2 3sinAC B= 2 3sin(π ) 3cos 3sinAB A B B B= − − = −
π3 3sin 3cos 3 2 3sin( )3BC AC AB B B B+ + = + + = + +
π0 3B< < π
6B = ABC△ 3 2 3+
3, 2, 45a c B= = = °
sinC
4cos 5ADC∠ = − tan DAC∠
ABC△ 3, 2, 45a c B= = = °
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 9 2 2 3 2 cos45 5b = + − × × ° =
5b =
ABC△
sin sin
b c
B C
=
5 2=sin 45 sinC°
5sin .5C =
ADC△ 4cos 5ADC∠ = − ADC∠
180ADC C CAD∠ + ∠ + ∠ = ° C∠
2 2 5cos 1 sin ,5C C= − = sin 1tan cos 2
CC C
= =
因 为 ， 所 以 ，
.
从而
.
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档
题.
17．【2020 年高考天津】在 中，角 所对的边分别为 ．已知
．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
【解析】（Ⅰ）在 中，由余弦定理及 ，有
．又因为 ，所以 ．
（Ⅱ）在 中，由正弦定理及 ，可得
．
（Ⅲ）由 及 ，可得 ，
进而 ．
所以， ．
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，
考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
4cos 5ADC∠ = − 2 3sin 1 cos 5ADC ADC∠ = − ∠ =
sin 3tan cos 4
ADCADC ADC
∠∠ = = −∠
3 1
tan( ) 24 2tan tan(180 ) tan( )= = =3 11 tan tan 111 ( )4 2
ADC CADC ADC C ADC C ADC C
− +∠ + ∠∠ = ° − ∠ − ∠ = − ∠ + ∠ − −− ∠ × ∠ − − ×
ABC△ , ,A B C , ,a b c
2 2, 5, 13a b c= = =
C
sin A
πsin(2 )4A+
ABC△ 2 2, 5, 13a b c= = =
2 2 2 2cos 2 2
a b cC ab
+ −= = (0,π)C ∈ π
4C =
ABC△ π , 2 2, 134C a c= = =
sin 2 13sin 13
a CA c
= =
a c< 2 13sin 13A = 2 3 13cos 1 sin 13A A= − =
212 5sin 2 2sin cos ,cos2 2cos 113 13A A A A A= = = − =
π π π 12 2 5 2 17 2sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin4 4 4 13 2 13 2 26A A A+ = + = × + × =
18．【2020 年高考北京】在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择
一个作为己知，求：
（Ⅰ）a 的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属
中档题.
ABC 11a b+ =
sinC ABC
17,cos 7c A= = −
1 9cos ,cos8 16A B= =
17,cos 7c A= = − ， 11a b+ =
2 2 2 2 2 2 12 cos (11 ) 7 2(11 ) 7 ( )7a b c bc A a a a= + − ∴ = − + − − ⋅ ⋅ −
8a∴ =
21 4 3cos (0, ) sin 1 cos7 7A A A Aπ= − ∈ ∴ = − = ，
8 7 3sinsin sin sin 24 3
7
a c CA C C
= ∴ = ∴ =
1 1 3sin (11 8) 8 6 32 2 2S ba C= = − × × =
1 9cos ,cos , (0, )8 16A B A B π= = ∈ ，
2 23 7 5 7sin 1 cos ,sin 1 cos8 16A A B B∴ = − = = − =
11 6sin sin 3 7 5 7
8 16
a b a a aA B
−= ∴ = ∴ =
3 7 9 5 7 1 7sin sin( ) sin cos sin cos 8 16 16 8 4C A B A B B A= + = + = × + × =
1 1 7 15 7sin (11 6) 62 2 4 4S ba C= = − × × =
19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知
．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得 ，故 ，
由题意得 .
（Ⅱ）由 得 ，
由 是锐角三角形得 .
由 得
.
故 的取值范围是 .
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实
现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利
用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
20．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】在① ，② ，③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，
说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ，
，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
2 sin 3 0b A a− =
2sin sin 3sinB A A= 3sin 2B =
π
3B =
πA B C+ + = 2π
3C A= −
ABC△ π π( , )6 2A∈
2π 1 3cos cos( ) cos sin3 2 2C A A A= − = − +
3 1 1 π 1 3 1 3cos cos cos sin cos sin( ) ( , ]2 2 2 6 2 2 2A B C A A A
++ + = + + = + + ∈
cos cos cosA B C+ + 3 1 3( , ]2 2
+
3ac = sin 3c A = 3c b=
c
ABC△ , ,A B C , ,a b c sin 3sinA B=
6C
π=
6C
π= 2 2 2 3
2 2
a b c
ab
+ − =
sin 3sinA B= 3a b=
2 2 2
2
3 3
22 3
b b c
b
+ − = b c=
由① ，解得 ．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 ．
方案二：选条件②．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ， ， ．
由② ，所以 ．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 ．
方案三：选条件③．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由③ ，与 矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关
系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定
理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范
围．
1．【2020·上海高三一模】若不等式 对 上恒成立，则
A． B．
C．1 D．2
3ac = 3, 1a b c= = =
1c =
6C
π= 2 2 2 3
2 2
a b c
ab
+ − =
sin 3sinA B= 3a b=
2 2 2
2
3 3
22 3
b b c
b
+ − = b c=
6B C
π= = 2
3A
π=
sin 3c A = 2 3, 6c b a= = =
2 3c =
6C
π= 2 2 2 3
2 2
a b c
ab
+ − =
sin 3sinA B= 3a b=
2 2 2
2
3 3
22 3
b b c
b
+ − = b c=
3c b= b c=
( )sin 06x a b x
π − − π + ≤
[ ]1,1x∈ −
a b+ =
2
3
5
6
【答案】B
【解析】法一：
由题意可知：当 ， ，当 ，
，故当 ， ，当 ，
，
即有 ，故选 B；
法二：由 右图像可得：显然有 ，
故选 B．
【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关
键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研
究.
2．【2020·广东省高三其他（理）】已知四边形 中， ， ，
， ，E 在 的延长线上，且 ，则
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】在 中，由余弦定理有
，
1 5,6 6x ∈ − sin 06x
π π + ≥
1 51, ,16 6x ∈ − −
sin 06x
π π + ≤
1 5,6 6x ∈ − 0x a b− − ≤ 1 51, ,16 6x ∈ − −
0x a b− − ≥
5 106 53
1 61 0 26
a b a
a b
ba b
− − = = ⇒ ⇒ + =
=− − − =
sin 6x
π π +
5 106 53
1 61 0 26
a b a
a b
ba b
− − = = ⇒ ⇒ + =
=− − − =
ABCD //AD BC 30A∠ = °
2 3AB = 5AD = CB AE BE= AE DB⋅ =
1
2 3
ABD△
2 2 2 32 cos30 12+25 2 2 3 5 72BD AB AD AB AD= + − ⋅ ⋅ ° = − × × × =
∴ ，
易知 ，又 ， ，故 ，
.
故选：A
【点睛】本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解
能力，属于中档题.
3．【2020·安徽省高三三模（理）】函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
7BD =
30ABE A∠ = ∠ = ° AE BE= 2 3AB = 3 2cos30BE = =°
( ) ( )AE DB BE BA AB AD⋅ = − ⋅ −
BE AB BE AD BA AB BA AD= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅
( )2
2 2 3 cos150 2 5 2 3 5 2 3 cos150 1= × × °+ × + + × × ° =
( ) 3 sin
e ex x
x xf x −
+= +
R
( ) ( ) ( )3 3sin sin
x x x x
x x x xf x e e e e− −
− + − +− = = −+ +
是奇函数，排除 C，D；
当 时， ，排除 B；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.
4．【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，其始边与
x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 ，则 ＝
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由定义知 sinα= ， ，
所以 ，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，
正弦二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于基础题目.
5．【2020·南昌市八一中学高三三模（理）】已知函数 的图象如图所示，
则函数 的图象可能
A． B．
( )f x
x π= ( ) 3 3sin 0e e e ef x π −π π −π
π + π π= = >+ +
α
3 4,5 5P − sin 2α
12
25
− 24
25
− 8
5
6
5
−
4
5
3cos 5
α = −
24sin 2 2sin cos 25
α α α= = −
sin ( 0)y ax b a= + >
log ( )ay x b= −
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 的图象可得 ，
，故函数 是定义域内的减函数，且过定点 .结合所给
的图像可知只有 C 选项符合题意.
故选：C．
【点睛】本题主要考查由函数 的部分图象求函数的解析式，对数函数的
单调性以及图象特征，属于基础题．
6．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】已知 满足 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据两角和差的余弦公式得到
，因为 ,得到 sin =
或 代入得到结果为 .
故答案为:A．
【点睛】
三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式 tan α= ;形如 ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x
等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan
等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2 的关系进行
sin ( 0)y ax b a= + > 20 1,2 3b a
ππ π< < < <
2 13 a∴ < < log ( )ay x b= − (1 ,0)b+
sin( )y A xω ϕ= +
α 2 2cos 3
α =
cos( )cos( )4 4
α απ π+ − =
7
18
25
18
7
18
− 25
18
−
cos cos4 4
π πα α + − =
( )( ) 2 21 1cos sin cos sin (cos sin )2 2
α α α α α α− + = − 2 2cos 3
α = α
1
3
1
3
− 7
18
sinα
cosα
sin cos
sin cos
a x b x
c x d x
+
+
4
π
变形、转化.
7．【2020·广东省高三一模（理）】已知函数 的图象与
直线 的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8，则 的单调递减区间
是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由题设可知该函数的最小正周期 ，结合函数的图象可知单调递减
区间是 ，即 ，等价于
，应选答案 D．
【点睛】解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数
的图象与直线 的三个相邻交点的横坐标分别是
2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是 ，进而数形结合写出函数的单
调递减区间，从而使得问题获解．
8．【2020·湖北省高三其他（理）】已知函数
的最大值为 3， 的图象与 y 轴
的交点坐标为 ，其相邻两条对称轴间的距离为 ，则 _____．
【答案】
【解析】
，
因为函数 的最大值为 ，所以 ，所以 ，
由函数 相邻两条对称轴间的距离为 ，可得周期 ，
所以 ，所以 ,
所以 ，又 的图象与 y 轴的交点坐标为 ，
( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ ( )0, 0A ω> >
( )0y a a A= < < ( )f x
[ ]6 ,6 3k kπ π + k ∈Z [ ]6 3,6k kπ − π k ∈Z
[ ]6 ,6 3k k + k ∈Z [ ]6 3,6k k− k ∈Z
8 2 6T = − =
2 4 4 8[ 6 , 6 ]( )2 2k k k Z
+ ++ + ∈ [3 6 ,6 6 ]( )k k k Z+ + ∈
[ ]6 3,6k k−
( ) ( )sinf x A xω ϕ= +
( 0, 0)A ω> > (0 )y a a A= < <
8 2 6T = − =
2( ) cos ( ) 1( 0, 0,0 )2f x A ωx φ A ω φ
π= + + > > < < ( )f x
(0,2) 2 (1) (2)f f+ =
3
2 1 cos(2 2 )( ) cos ( ) 1 1 cos(2 2 ) 12 2 2
ωx φ A Af x A ωx φ A ωx φ
+ += + + = ⋅ + = + + +
( )f x 3 1 32 2
A A+ + = 2A =
( )f x 2 4T =
22 2T
ω π π= =
4
ω π=
( ) cos( 2 ) 22f x x φ
π= + + ( )f x (0,2)
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查求三角函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，诱导公式，属于
中档题.
9．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】如图，将地球近似看作球体.设地球表面某
地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），
为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即 .
如果在北京地区（纬度数约为北纬 ）的一幢高为 的楼房北面盖一新楼，要使新楼
一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出
式子）
【答案】
【解析】设两楼的距离为 ，
因为
则要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，需满足 对
恒成立,因此
，从而两楼的距离不应小于
故答案为：
cos2 2 2ϕ + = cos2 0ϕ = 0 2
ϕ π< < = 4
ϕ π
( ) cos( ) 2 sin 22 2 2f x x x
π π π= + + = − +
(1) (2) sin 2 sin 2 1 2 0 2 32f f
π+ = − + − π + = − + − + =
3
θ δ
ϕ 23 26 ,23 26δ ′ ′ ∈ −
40 0h
0
tan26 34
h
′
d
90 (40 ) 50 26 34 ,73 26θ δ δ é ù¢ ¢= - - = + Î ê úë û
0tan h
d
θ ³
26 34 ,73 26θ é ù¢ ¢Î ê úë û
0
min(tan ) h
d
θ ³
0tan 26 34 h
d
¢ ³ 0
tan 26 34
hd ³ ¢
0
tan26 34
h
′
0
tan26 34
h
′
【点睛】本题考查不等式恒成立问题、正切函数单调性，考查基本分析建模能力与转化
求解能力，属中档题.
10．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】在 中，若 ，则
的最小值为_______
【答案】
【解析】由 ，结合 ，
可得： ，
当且仅当 时， 取得最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查余弦定理、利用均值不等式求和的最小值，属综合基础题.
11．【2020·定远县育才学校高三其他（理）】已知函数
是奇函数，将 的图象上所有点
的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的
最小正周期为 ，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】函数 是奇函数，
所以 ，代入可得 ，
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应
的函数为 ．
则 ， 的最小正周期为 ，
则 ，解得 ，
ABC ( )2 2 23 5a c b+ = cos B
2
5
( )2 2 23 5a c b+ = 2 2 2 2a c b accosB+ = +
2 2 2 1 2 2
3 5 5 5 5
b a c c a c acosB ac ac a c a c
+ = = = + ≥ × =
a c= cosB 2
5
2
5
( ) ( )( )sin 0, 0,f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < ( )y f x=
( )g x ( )g x
2π 24g
π =
3
8f
π =
2
( ) ( )( )sin 0, 0,f x A x Aω ϕ ω ϕ= + > > < π
( )0 0f = 0ϕ =
( )y f x=
( )g x
( ) 1sin 2g x A xω =
( )g x 2π
2 21
2
ω
π = π
2ω =
所以 ，
因为 ，代入可得 ，
解得 ，
所以 ，
则 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的简单应用，函数图像平移变换及由性质求三
角函数解析式，属于基础题.
12．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数 ，
则下列判断正确的是
A．函数的一条对称轴为
B．函数在区间 内单调递增
C． ，使
D． ，使得函数 在其定义域内为偶函数
【答案】D
【解析】函数 ，
当 时，当 时， 不能使函数取得最值，
所以不是函数的对称轴，A 错；
当 时， ，函数先增后减，B 不正确；
若 ，那么 不成立，所以 C 错；
( ) sing x A x=
24g
π = 2 sin 4A
π=
2A =
( ) 2sin 2f x x=
2sin 3 28 823f ×π π = =
2
2( ) 2cos ( ) sin(2 )8 4f x x x
π π= + + +
(0,3π)∈x
6x
π=
5,2 4
π π
0 (0,3π)x∃ ∈ 0( ) 1f x = −
∃ ∈Ra ( )y f x a= +
( ) 1 cos 2 sin 2 1 2 cos24 4f x x x x
π π = + + + + = +
(0,3π)∈x
6x
π= 2 3x
π=
5,2 4x
π ∈ π
52 , 2x ∈ π π
( ) 1f x = − cos2 2x = −
当 时， 函数是偶函数，D 正确，
故选：D．
13．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】已知 中，角 ， ， 所对的边分别
为 ， ， ， ，且满足 .
（1）求 的面积 ；
（2）若 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）在 中， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴当 时， 取最大值 .
【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关
键是 ，这样可把 表示为角 的函
数，从而求得最值．
14．【2020·湖北省高三其他（理）】已知 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，
其面积 S ．
3
2a = π ( ) 1 2 cos2f x a x+ = −
ABC△ A B C
a b c
2A
π≠ ( )sin 2 20cos 0bc A B C+ + =
ABC△ S
2 4a S= c b
b c
+
5 2 2
ABC∆ A B C π+ + = B C A+ = π −
( )sin 2 20cos 0bc A B C+ + =
2 sin cos 20cos 0bc A A A⋅ − =
2A
π≠ cos 0A ≠
1 sin 52S bc A= =
2 4a S=
2 2 2 cos 2 sinb c bc A bc A+ − =
2 2 2 sin 2 cosb c bc A bc A+ = +
2 2
2sin 2cos 2 2 sin 4
c b b c A A Ab c bc
+ π + = = + = +
4A
π= c b
b c
+ 2 2
2 2 22 cos 2 sinb c bc A a bc A+ − = =
2 2c b b c
b c bc
++ = A
ABC
2 2 2
4
b c a+ −=
（1）若 a ，b ，求 cosB．
（2）求 sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A）的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）因为三角形面积为 S ，
所以 ，
解得 ，
因为 a ，b ，
由正弦定理得： ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 为锐角，
所以
（2）由（1）知 ，
所以 sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A），
，
，
，
6= 2=
30
6
5
2
2 2 21 sin2 4
+ −= = b c abc A
2 2 2
sin cos2
b c aA Abc
+ −= =
4A
π=
6= 2=
sin sin
a b
A B
=
22sin 62sin 66
×
= = =b AB a
a b>
A B>
B
30cos 6
=B
4A
π=
π π= sin + + sin cos + cos4 4B B B B
−
2 2 2 2sin cos sin cos sin cos2 2 2 2B B B B B B= + + + +
( )2 sin + cos + sin cosB B B B=
令 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
原式 ，
当 时，原式取得最大值 .
【点睛】本题主要考查三角形面积公式余弦定理、同角三角函数基本关系式，正弦定理，
两角和与差的三角函数以及二次函数的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能
力，属于中档题.
15．【2020·广东省高三其他（理）】在 中，已知内角 所对的边分别为 ，
向量 ，向量 ，且 ，角 为锐角.
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）解法一：由 得 ，
即 ，
所以 ，
为锐角， ，
，
即
解法二：由 得 ，
sin cos 2 sin 4t B B B
π = + = +
30, , ,4 4 4B B
π π π ∈ + ∈ π
sin (0,1]4B
π + ∈
(0, 2]t ∈
( )2 2 21 1 1 3= 2 + = + 2 = + 22 2 2 2 2
t tt t t
− − −
2, 4t B
π= = 5
2
ABC△ , ,A B C , ,a b c
( 3, 2sin )m B= − (cos ,cos2 )n B B= / /m n B
B
2b = ABC△
3B
π= 3
/ /m n 3cos2 2sin cosB= B B−
sin 2 3 cos2B B= −
tan 2 3B = −
B 2 (0, )B∴ ∈ π
22 3B
π∴ =
3B
π=
/ /m n 3cos2 2sin cosB= B B−
即
所以 即 ，
，即
为锐角，
所以 .
（2）解法一： ， 由余弦定理 ，
得
又 代入上式得 ，
当且仅当 时取等号成立.
，
故 的面积最大值为 .
解法二： ， 由正弦定理 ，得 ，
所以 ，
，
由
.
因为 ，则当 即 时，
，
sin 2 3 cos2B B= −
sin2 3cos2 0B+ B= 2sin 2 03B+ =
π
2 3B+ =k
π∴ π
6 2
kB= +
π π−
B
3B
π=
, 23B b
π= = ∴ 2 2 2
cos 2
a c bB ac
+ −=
2 2 4 0a c ac+ − − =
2 2 2a c ac+ ≥ 4ac ≤
2a c= =
1 1 3 3sin 32 2 2 4ABCS ac B ac ac∴ = = × = ≤△
ABC 3
, 23B b
π= = ∴ 2 sin
bR B
= 42
3
R=
42 sin sin
3
a R A A= ⋅ =
4 4 22 sin sin sin 33 3
c R C C A
π = ⋅ = = −
1 4 3 2sin sin sin2 3 3S ac B A A
π = ⋅ = ⋅ − △
2 3 3sin 23 6 3= A
π − +
726 6 6A
π π π− < − < 2 6 2A =
π π− = 3A
π
max
2 3 3 33 3S = + =△
故 的面积最大值为 .
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形、利用不等式求最值；正
弦定理解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和
分析推理能力.
16．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（理）】在 中，角 、 、 的对边
分别是 、 、 ，如果 、 、 成等差数列且 ．
（1）当 时，求 的面积 ；
（2）若 的面积为 ，求 的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）因为 、 、 成等差数列，
则： ，又 ，所以 ，
因为： ，
，（负
值舍）；
的面积 ；
（2） ；
即： ，当且仅当 时等号成立；
；
即 的最大值为： ．
【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，
考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
17．【2020·山东省高三三模】如图，半圆 O 的直径 AB=2，点 C 在 AB 的延长线上，BC=1，
点 P 为半圆上异于 A，B 两点的一个动点，以点 P 为直角顶点作等腰直角 ，且
点 D 与圆心 O 分布在 PC 的两侧，设 ．
ABC 3
ABC△ A B C
a b c A B C 3b =
4A
π= ABC△ S
ABC∆ S S
3 3
4
+ 3 3
4
A B C
2A+C = B A B C+ + = π 60B = °
2sin sin
b a aB A
= ⇒ =
2 2 2 2 21 2 62 cos 3 2 2 2 2 1 02 2b a c ac B c c c c c
+∴ = + − ⇒ = + − × ⇒ − − = ⇒ =
ABC∴△ 1 1 2 6 3 3 3sin 22 2 2 2 4S ac B
+ += = × × × =
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
2 23 2a c ac ac ac ac= + − ≥ − = a c=
1 3 3 3sin2 4 4ABCS ac B ac∆∴ = = ≤
S 3 3
4
PCD△
PAC θ∠ =
（1）把线段 PC 的长表示为 的函数；
（2）求四边形 ACDP 面积的最大值．
【答案】（1） ， ； （2）5
【解析】（1）依题设易知 是以 为直角的直角三角形，
又 ，所以 .
在 ，由余弦定理得，
.
所以 ， 定义域为 .
（2）四边形 ACDP 面积为 ，
则
θ
29 8cosPC θ= − 0 2
θ θ π< <
APB△ APB∠
2,AB PAB θ= ∠ = 2cosPA θ=
3,△ 中，PAC AC PAC θ= ∠ =
2 2 2 2 cosPC PA AC PA AC θ= + − ⋅
2 2 24cos 9 12cos 9 8cosθ θ θ= + − = −
29 8cosPC θ= − 0 2
πθ θ < <
S
21 1= sin2 2△ △APC PCDS S S AP AC PCθ+ = ⋅ ⋅ +
( )21 12cos 3 sin 9 8cos2 2
θ θ θ= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ( )3 1sin 2 5 4cos22 2
θ θ= + ⋅ −
3 5sin 2 2cos22 2
θ θ= − + ( )9 54 sin 24 2
θ ϕ= + − +
其中 为锐角.
因为 所以 .
又因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值为 .
所以四边形 ACDP 面积的最大值为 5 .
【点睛】本题通过引进角,利用余弦定理求边长，再将所求面积表示为角 的函数,从而
构建函数,再求函数的最值，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.
18．【2020·天津高三二模】已知函数
（1）求 的最小正周期；
（2）讨论 在区间 上的单调性；
【答案】（1） ；（2） 在区间 上单调递增；在区间 上单调递减.
【解析】（1）依题意，
所以 .
（2）依题意，令 ， ，
解得 ，
所以 的单调递增区间为 ， .
设 ， ，易知 ，
所以当 时， 在区间 上单调递增；
( )5 5sin 2 ,2 2
θ ϕ= − + 3 4cos ,sin ,5 5
ϕ ϕ ϕ= =
4 3sin 5 2
，ϕ = < 0 3
ϕ π< <
0 2
θ π< < 23
θ ϕπ− < − < π
2 = 2
θ ϕ π− S 5 5 =52 2
+
θ
( ) ( )2 1cos 3sin cos 2f x x x x x= + − ∈R
( )f x
( )f x ,4 4
π π −
π ( )f x ,4 6
π π − ,6 4
π π
( ) 2 1 1 cos2 3 1cos 3sin cos sin 2 sin 22 2 2 2 6
xf x x x x x x
+ π = + − = + − = +
2T ω
π= = π
2 2 22 6 2k x k
π π π− + π ≤ + ≤ + π k ∈Z
3 6k x k
π π− + π ≤ ≤ + π
( )f x ,3 6k k
π π − + π + π k ∈Z
,4 4A
π π = − ,3 6B k k
π π = − + π + π ,4 6A B
π π = −
,4 4x
π π ∈ −
( )f x ,4 6
π π −
在区间 上单调递减.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角
函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.
19．【2020·广东省高三二模（理）】 中，D 为 上的点， 平分 ， ，
， 的面积为 .
（1）求 的长；
（2）求 .
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ， ， 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由余弦定理，得
，
∴ .
（2）在 中，由余弦定理，得 ，
∴ ，
因为 平分 ，所以 ，
∴
,6 4
π π
ABC△ BC AD BAC∠ 5AD =
8AC = ACD△ 10 3
CD
sin B
7 3 3
14
5AD = 8AC = ACD 10 3
1 5 8sin 10 32 DAC× × ∠ =
3sin 2DAC∠ =
0 180BAC° < ∠ < ° AD BAC∠
0 90DAC° < ∠ < °
60= °∠DAC
ACD△
2 2 2 2 22 cos 5 8 2 5 8 cos60 49CD AD AC AC AD DAC= + − × × × ∠ = + − × × × ° =
7CD =
ACD△
2 2 25 7 8 1cos 2 5 7 7ADC
+ −∠ = =× ×
2 1 4 3sin 1 cos 1 49 7ADC ADC∠ = − ∠ = − =
AD BAC∠ 60BAD CAD∠ = ∠ =
( )sin sin 60 sin cos60 cos sin 60B ADC ADC ADC= ∠ − ° = ∠ − ∠
，
【点睛】本题考查了余弦定理、三角形内角和定理、三角形的面积公式、两角差的正弦
公式，属于基础题.
20．【2020·四川省泸县第四中学高三二模（理）】△ 的内角 的对边分别为 ,
且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ,△ 的面积 ,求 的周长．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵ ，∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）依题意得：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
4 3 1 1 3 3 3
7 2 7 2 14
= × − × =
ABC , ,A B C , ,a b c
( )sin sin sinC B A B= + −
A
7a = ABC 3 3
2S = △ ABC
3A
π= 5 7+
A B C+ + = π ( )C A B= π − +
sin sin( ) sin sin( )C A B B A B= + = + −
sin cos cos sin sin sin cos cos sinA B A B B A B A B⋅ + ⋅ = + ⋅ −
2cos sin sinA B B⋅ =
1cos 2A =
3A
π=
2 2 2
1 3 3·sin2 2
2 cos
ABCS bc A
a b c bc A
= =
= + −
△
2 2
6
13
bc
b c
=
+ =
2 2 2( ) 2 25b c b c bc+ = + + =
5b c+ =
5 7a b c+ + = +
ABC∆ 5 7+
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