【数学】2020届一轮复习苏教版坐标系与参数方程作业 4页

选修4系列专项强化练(二)　选修4－4：坐标系与参数方程(理科)‎ 题型一　曲线的极坐标方程 ‎1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ＝2sin θ，过极点O的直线l与曲线C交于A，B两点，且AB＝，求直线l的极坐标方程．‎ 解：设直线l的方程为θ＝θ0(ρ∈R)，A(0,0)，B(ρ1，θ0)．‎ 则AB＝|ρ1－0|＝|2sin θ0|.‎ 又AB＝，故sin θ0＝±.‎ 解得θ0＝＋kπ或θ0＝－＋kπ，k∈Z.‎ 所以直线l的方程为θ＝或θ＝(ρ∈R)．‎ ‎2．求以C(4,0)为圆心，半径为4的圆的极坐标方程．‎ 解：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A，在圆上任取一点P(ρ，θ)，连结OP，PA，‎ 在Rt△OPA中，|OA|＝8，|OP|＝ρ，∠AOP＝θ，‎ ‎∴|OA|·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C的极坐标方程．‎ ‎[临门一脚]‎ ‎1．在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设M(ρ，θ)为直线上任意一点，极点为O，连结OM，构造出含有OM的三角形，再找出我们需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程．‎ ‎2．求圆的极坐标方程要注意作出图形，充分利用三角函数和解三角形的知识，探究极径和极角的关系，几种特殊圆的极坐标方程需要记忆清楚．‎ ‎3．解极坐标方程时如果求出ρ＝0，需要进行检验，防止漏解．‎ 题型二　方程互化 ‎1．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ2＝x2＋y2，且得圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4，‎ 由ρ2－2ρcos＝2，‎ 得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝2，‎ x2＋y2－2(x＋y)＝2，‎ 故圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)联立方程两式相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y－1＝0，‎ 该直线的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：‎ ‎(1)圆的普通方程；‎ ‎(2)圆的极坐标方程．‎ 解：(1) 圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2) 把代入上述方程，得圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：(t为参数)与椭圆C：(θ为参数，a＞0)的一条准线的交点位于y轴上，求实数a的值．‎ 解：由题意，直线l的普通方程为2x＋y＝9，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1(0＜a＜3)，‎ 椭圆C的准线方程为y＝±，‎ 故＝9，解得a＝2(负值舍去)．‎ ‎[临门一脚]‎ ‎1．极坐标与直角坐标互化的基本公式为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，也经常需要用到ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．‎ ‎2．通过消去参数将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．‎ ‎(1)消去参数的方法一般有三种：‎ ‎①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；‎ ‎②利用三角恒等式消去参数；‎ ‎③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．‎ ‎(2)在参数方程与普通方程的互化中， 必须使两种方程中的x，y的取值范围保持一致，否则将导致两种方程所对应的曲线不一致．‎ 题型三　位置关系及参数方程应用 ‎1．在极坐标系中，求直线θ＝(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．‎ 解：法一：在ρ＝4sin θ中，令θ＝，得ρ＝4sin＝2，即所求弦长为2.‎ 法二：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ 直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x，①‎ 曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，②‎ 由①②得或 故直线θ＝(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截弦长的端点坐标分别为(0,0)，(2,2)，‎ 所以直线θ＝(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为＝2.‎ ‎2．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝3cos θ，试判断直线l与曲线C的位置关系．‎ 解：由题意知，直线l的普通方程为2x－y－2＝0，‎ 由ρ2＝x2＋y2，且得曲线C的直角坐标方程为2＋y2＝，它表示圆．‎ 由圆心到直线l的距离d＝＝＜，得直线l与曲线C相交．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(其中φ为参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋＝3.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值．‎ 解：直线l的直角坐标方程为x－y－3＝0.‎ 设椭圆C上的点到直线l的距离为d.‎ 则d＝＝.‎ 所以当sin＝1时，dmax＝2；‎ 当sin＝－1时，dmin＝.‎ 所以椭圆C上的点到直线l距离的最大值为2，最小值为.‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ 解：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.‎ 因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，‎ 从而点P到直线l的距离 d＝＝.‎ 当s＝时，dmin＝.‎ 因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.‎ ‎[临门一脚]‎ ‎1．如果遇到直线与圆的位置关系问题，应优先将方程化为普通方程后再研究较为方便．‎ ‎2．圆或椭圆的参数方程应用于求曲线上的点到直线距离的最值问题，需要辅助角公式的运用，等号成立的条件一定要写出．‎ ‎3．直线的参数方程为中t的几何意义要清楚，但如果给的方程不是标准形式，此时不要直接用t的几何意义来处理弦的问题．‎