2015年数学理高考课件2-3 函数的奇偶性与周期性 36页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．　 2. 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 第三节　函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 　 函数奇偶性的几个重要结论 (1) 如果一个奇函数 f ( x ) 在原点处有定义，即 f (0) 有意义，那么一定有 f (0) ＝ 0. (2) 如果函数 f ( x ) 是偶函数，那么 f ( x ) ＝ f (| x |) ． (3) 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f ( x ) ＝ 0 ， x ∈ D ，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集． (4) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 1 ．若函数 f ( x ) ＝ 3 x ＋ 3 － x 与 g ( x ) ＝ 3 x － 3 － x 的定义域均为 R ，则 ( 　　 ) A ． f ( x ) 与 g ( x ) 均为偶函数 B ． f ( x ) 为偶函数， g ( x ) 为奇函数 C ． f ( x ) 与 g ( x ) 均为奇函数 D ． f ( x ) 为奇函数， g ( x ) 为偶函数 解析： 由 f ( － x ) ＝ 3 － x ＋ 3 x ＝ f ( x ) 可知 f ( x ) 为偶函数，由 g ( － x ) ＝ 3 － x － 3 x ＝－ (3 x － 3 － x ) ＝－ g ( x ) 可知 g ( x ) 为奇函数． 答案： B 答案： B 周期性 1 ．周期函数 对于函数 y ＝ f ( x ) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 y ＝ f ( x ) 为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2 ．最小正周期 如果在周期函数 f ( x ) 的所有周期中 的正数，那么这个 就叫做 f ( x ) 的最小正周期． f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) 存在一个最小 最小正数 答案： A 4 ．设定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) · f ( x ＋ 2) ＝ 13 ，则 f ( x ) 的周期为 ________ ． 答案： 4 函数奇偶性的判断 【 例 1】 　 (2013 年高考广东卷 ) 定义域为 R 的四个函数 y ＝ x 3 ， y ＝ 2 x ， y ＝ x 2 ＋ 1 ， y ＝ 2sin x 中，奇函数的个数是 ( 　　 ) A ． 4 　　　　 B ． 3 　　　　 C ． 2 　　　　 D ． 1 [ 解析 ] 　 对于 y ＝ x 3 ， y ＝ 2sin x 满足 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ； 对于 y ＝ x 2 ＋ 1 满足 f ( － x ) ＝ f ( x ) ； 对于 y ＝ 2 x 均不满足奇、偶函数的定义，故奇函数有 2 个． [ 答案 ] 　 C 反思总结 判断函数奇偶性的方法 (1) 首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数． (2) 若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ① 定义判断： f ( － x ) ＝ f ( x ) ⇔ f ( x ) 为偶函数． f ( － x ) ＝－ f ( x ) ⇔ f ( x ) 为奇函数． ② 等价形式判断： f ( － x ) － f ( x ) ＝ 0 ⇔ f ( x ) 为偶函数， (3) 对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行． (4) 对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定． 函数奇偶性的应用 【 例 2】 　 (1)(2013 年高考湖南卷 ) 已知 f ( x ) 是奇函数， g ( x ) 是偶函数，且 f ( － 1) ＋ g (1) ＝ 2 ， f (1) ＋ g ( － 1) ＝ 4. 则 g (1) 等于 ( 　　 ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 (2)(2013 年高考江苏卷 ) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时， f ( x ) ＝ x 2 － 4 x ，则不等式 f ( x )> x 的解集用区间表示为 ________ ． [ 答案 ] 　 (1)B 　 (2)( － 5,0) ∪ (5 ，＋ ∞ ) [ 答案 ] 　 ( － 3,0) ∪ (5 ，＋ ∞ ) 反思总结 1 ． 已知函数的奇偶性求函数的解析式 可先根据奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于 f ( x ) 的方程，从而得到 f ( x ) 的解析式． 2 ．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数． 常采用待定系数法：利用 f ( x )± f ( － x ) ＝ 0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． 变式训练 2 ．已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ( x ≥ 0) ，若 f (3 － a 2 ) ＞ f (2 a ) ，则实数 a 的取值范围是 ________ ． 解析： 依题意得，函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x 在 [0 ，＋ ∞ ) 上是增函数，又因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数，所以函数 f ( x ) 是 R 上的增函数，要使 f (3 － a 2 ) ＞ f (2 a ) ，只需 3 － a 2 ＞ 2 a . 由此解得－ 3 ＜ a ＜ 1 ，即实数 a 的取值范围是 ( － 3,1) ． 答案： ( － 3,1) 周期性问题 [ 答案 ] 　 A 反思总结 周期性问题常与奇偶性相结合，解题时注意以下两点 (1) 周期的确定：特别是给出递推关系要明确周期如何确定； (2) 周期性与奇偶性在解题时，一般情况下周期性起到自变量值转换作用，奇偶性起到调节转化正负号的作用． 变式训练 3 ．函数 f ( x ) 是周期为 4 的偶函数，当 x ∈ [0,2] 时， f ( x ) ＝ x － 1 ，则不等式 xf ( x )>0 在 [ － 1,3] 上的解集为 ( 　　 ) A ． (1,3) B ． ( － 1,1) C ． ( － 1,0) ∪ (1,3) D ． ( － 1,0) ∪ (0,1) 解析： f ( x ) 的图象如图． 当 x ∈ ( － 1,0) 时，由 xf ( x )>0 得 x ∈ ( － 1,0) ； 当 x ∈ (0,1) 时，由 xf ( x )<0 得 x ∈ ∅ . 当 x ∈ (1,3) 时，由 xf ( x )>0 得 x ∈ (1,3) ． 故 x ∈ ( － 1,0) ∪ (1,3) ． 答案： C —— 函数性质的综合问题 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主． 归纳起来常见的命题角度有 (1) 求函数值． (2) 与函数图象有关的问题． (3) 奇偶性、周期性单调性的综合． 求函数值 [ 答案 ] 　 C 由题悟道 利用奇偶性、周期性求函数值的关键是通过周期性转化变量值，利用奇偶性，调节正、负号以便化归到已知条件中给出的值求值． 与函数图象相结合问题 [ 解析 ] 　 ∵ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ， ∴ T ＝ 2. 又 0 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) ＝ x 2 ，可画出函数 y ＝ f ( x ) 在一个周期内的图象如图． 显然 a ＝ 0 时， y ＝ x 与 y ＝ x 2 在 [0,2] 内恰有两个不同的公共点． [ 答案 ] 　 D 由题悟道 解决此类问题的关键是利用条件中给出函数的性质，解出图象，然后数形结合分析问题并解决问题． 函数的奇偶性、单调性、周期性的综合 【 典例 3】 　 (2014 年广州模拟 ) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ，且在区间 [0,2] 上是增函数，则 ( 　　 ) A ． f ( － 25)< f (11)< f (80) B ． f (80)< f (11)< f ( － 25) C ． f (11)< f (80)< f ( － 25) D ． f ( － 25)< f (80)< f (11) [ 解析 ] 　 由函数 f ( x ) 是奇函数且 f ( x ) 在 [0,2] 上是增函数可以推知 f ( x ) 在 [ － 2,2] 上递增，又 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ⇒ f ( x － 8) ＝－ f ( x － 4) ＝ f ( x ) ，故函数 f ( x ) 以 8 为周期， f ( － 25) ＝ f ( － 1) ， f (11) ＝ f (3) ＝－ f (3 － 4) ＝ f (1) ， f (80) ＝ f (0) ，故 f ( － 25)< f (80)< f (11) ． [ 答案 ] 　 D 由题悟道 此类问题多与大小比较，不等式解法相结合．解决时抓住奇偶性、周期性进行自变量值化归转化，然后利用单调性进行解决问题． 1 ．已知函数 f ( x ) 是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上的偶函数，若对于 x ≥ 0 ，都有 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，且当 x ∈ [0,2) 时， f ( x ) ＝ log 2 ( x ＋ 1) ，则 f ( － 2 011) ＋ f (2 012) ＝ ( 　　 ) A ． 1 ＋ log 2 3 B ．－ 1 ＋ log 2 3 C ．－ 1 D ． 1 解析： ∵ f ( x ) 是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上的偶函数， ∴ f ( － 2 011) ＝ f (2 011) ．当 x ≥ 0 时， f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，则 f ( x ) 是以 4 为周期的函数．注意到 2 011 ＝ 4 × 502 ＋ 3 ， 2 012 ＝ 4 × 503 ， ∴ f (2 011) ＝ f (3) ＝ f (1 ＋ 2) ＝－ f (1) ＝－ log 2 (1 ＋ 1) ＝－ 1 ， f (2 012) ＝ f (0) ＝ log 2 1 ＝ 0 ， ∴ f ( － 2 011) ＋ f (2 012) ＝－ 1 ，选 C. 答案： C 本小节结束 请按 ESC 键返回