百校联盟2019-2020学年高一下学期开学测试数学试题 Word版含解析 24页

www.ks5u.com ‎2020年春季开学测试（高一年级）‎ 数学试题 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.‎ ‎3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎4.本试卷满分150分，测试时间120分钟.‎ ‎5.考试范围：必修一：第1章~第3章，必修四：第1章~第3章.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.如果集合，，则（ ）‎ A. Ü B. Ü C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用列举法,表示出两个集合的若干个元素,根据元素特征即可判断两个集合的关系.‎ ‎【详解】因为 则 则 根据集合与集合的关系可知Ü 故选:A ‎【点睛】本题考查了集合与集合关系的判断,数集表示的意义,属于基础题.‎ ‎2.函数的图象的对称轴方程可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 24 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用y＝cosx的对称轴方程以及整体代入思想求出y＝cos（2x）的所有对称轴方程的表达式，然后看哪个答案符合要求即可．‎ ‎【详解】∵y＝cosx的对称轴方程为x＝kπ，‎ ‎∴函数y＝cos（2x）中，‎ 令2xkπ⇒x，k∈Z即为其对称轴方程．‎ 上面四个选项中只有符合．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性以及整体代入思想的应用．解决这类问题的关键在于牢记常见函数的性质并加以应用．‎ ‎3.若点在角的终边上,则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的值，确定点的坐标，结合定义求解的值.‎ ‎【详解】因为，所以点的坐标为，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的定义，已知角终边上一点，结合定义可求三角函数值,属于容易题.‎ ‎4.已知向量，满足，，，则（ ）‎ A. 0 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 根据向量数量积的运算,代入化简即可求解.‎ ‎【详解】因为向量,满足,,‎ 则 故选:D ‎【点睛】本题考查了向量数量积的运算,属于基础题.‎ ‎5.已知函数，在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分段函数在R上单调递减,两段函数各自递减,且满足在左段的右端点大于等于右段的左端点,即在整个实数集内为单调递减,即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为函数,在上是减函数 由函数的图像与性质可知,实数需满足 解不等式组可得,即 所以 故选:B - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了一次函数与二次函数单调性性质,分段函数单调性的判断方法,属于基础题.‎ ‎6.已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设扇形所在圆的半径为,扇形的弧长为,根据弧度定义求得与的关系.再根据扇形的面积公式即可求解.‎ ‎【详解】设扇形所在圆的半径为,扇形的弧长为 由弧度定义可知,即 ‎ 而扇形的周长为 ‎ 代入可得 解得 所以扇形面积为 ‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了扇形的弧长与半径关系,扇形面积公式的求法,属于基础题.‎ ‎7.已知定义在R上的函数满足，当时，，则函数在上的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 由,令代入可得,即可由求得时的解析式.再根据函数的解析式判断函数图像即可.‎ ‎【详解】由题意函数满足 则 若，则 因为当时,‎ 所以当时, ,化简可得 由函数解析式可知,函数图像在为以抛物线,对称轴为,顶点坐标为 ‎ 函数在上为一直线,与轴交点为,结合选项可知B为正确选项 故选:B ‎【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的综合应用,求得函数的解析式并判断图像,属于中档题.‎ ‎8.设函数，记，，…，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式及函数定义,依次求得.由规律即可求得 - 24 -‎ 的解析式.‎ ‎【详解】函数 则 ‎ ‎ 所以 故选:A ‎【点睛】本题考查了函数的定义及解析式的应用,通过前几项找函数解析式的规律,属于基础题.‎ ‎9.定义新运算，若方程在上的解为，，则的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义,将方程化简.结合余弦的降幂公式及正弦二倍角公式化简,即可得.由正弦函数的图像与性质,即可求得其在 - 24 -‎ 内的一条对称轴,可得，的等量关系,进而带入利用诱导公式化简即可求解.‎ ‎【详解】根据定义,‎ 则可化 由余弦降幂公式及正弦二倍角公式化简可得 由辅助角公式化简可得 令 当时,函数 所以为的一条对称轴 所以时,,且 即 所以 由诱导公式化简可知 故选:B - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了新定义的应用,由三角函数降幂公式、二倍角公式及辅助角公式化简三角函数式,三角函数诱导公式化简求值,属于中档题.‎ ‎10.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数性质可判断在区间上单调递减,结合条件即可得关于的不等式,解不等式即可求得满足条件的取值范围.‎ ‎【详解】因为偶函数在区间上单调递增 则在区间上单调递减 不等式成立 则,化简可得 解得或 即 故选:C ‎【点睛】本题考查了偶函数的性质与单调性的综合应用,由单调性解不等式,属于基础题.‎ ‎11.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.如图是的部分图像，其中是其与轴的两个交点，是其上的点，，且是等腰直角三角形.则与的值分别是（ ）‎ - 24 -‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由求出，然后根据是等腰直角三角形，求得，得到周期求出的值，将A点代入函数中去，解出.‎ ‎【详解】解：将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数为，‎ 因为是等腰直角三角形，‎ 所以，即，解得，‎ 所以周期，即，‎ 故，解得，‎ 当时，，‎ 即，‎ 解得：，‎ - 24 -‎ 因为，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了根据三角函数图像求解参数的问题，三角函数中常见的几个参数的一般解法是：由的值可以解出的值，由最值可以得出的值，由特殊点可以得出的值.‎ ‎12.在中，D为线段AC的中点，点E在边BC上，且，AE与BD交于点O，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线基本定理,可设.由向量线性运算,用不同方法表示出,可得关于和的方程组,解方程即可求得和的值,进而得的表示形式.‎ ‎【详解】根据题意, 在中,D为线段AC中点,点E在边BC上,且,AE与BD交于点,如下图所示:‎ 因为共线, 共线 可设 则 - 24 -‎ 同时 由上述两式可得,解得 所以代入 故选:A ‎【点睛】本题考查平面向量共线基本定理的应用,平面向量线性运算的应用,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.集合，，若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的互异性原则,可知.令,再由集合的互异性及可得,即可解方程求得的值,进而求得的值.‎ ‎【详解】因为,,且 因为在集合A与集合B中,是等价的 所以由可知, ‎ 不妨设 则 而由可知 - 24 -‎ 由集合互异性和集合可知 所以 而 所以解得,,或 根据集合互异性可知或符合要求 即此时 ‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了集合互异性原则的应用,属于基础题.‎ ‎14.已知单位向量，不共线，当时，与的夹角为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直的数量积为0,结合向量的数量积运算,即可求得与的夹角.‎ ‎【详解】单位向量,不共线,满足 由向量垂直时满足的关系为 展开化简可得 设与的夹角为 ‎ 由平面向量数量积定义可得 因为 代入求得 由 可得 - 24 -‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积的应用,向量垂直时的关系,属于基础题.‎ ‎15.若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式,将三角函数式化简可得,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简即可得解.‎ ‎【详解】因为 化简可得,即 由诱导公式化简得 而 由余弦的二倍角公式可知 - 24 -‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.‎ ‎16.定义函数，表示函数与较小的函数．设函数，，p为正实数，若关于x的方程恰有三个不同的解，则这三个解的和是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义,将函数分类讨论确定解析式形式.对分类讨论,确定的取值范围.进而得符合题意的解析式.根据解析式判断函数的单调性,结合函数示意图,即可求得方程的三个根,进而求得三个零点的和.‎ ‎【详解】因为,‎ 则 , ‎ 所以,,‎ 当时, ,所以此时 则 若,当时, ,所以此时,则;当时, ,所以此时,则 综上可知, ‎ - 24 -‎ 此时在R上只有两个根,与题意恰有三个不同的解矛盾,所以不成立 因而不成立,所以 若,当时, ,由可解得 所以此时 ‎ 当时, ,此时,所以 因为,即 综上可知,此时 ‎ 所以在上单调递减,此时 在上单调递增,此时 在上单调递减,此时 在上单调递增,此时 函数图像示意图如下图所示:‎ - 24 -‎ 当时,即 ‎ 解得 ‎ 所以三个零点的和为 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了函数在新定义中的应用,分类讨论确定函数解析式,函数零点的意义及求法,综合性强,属于难题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知集合，．‎ ‎（1）求集合B及；‎ ‎（2）已知集合，若，求实数a取值范围．‎ ‎【答案】（1）; （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解不等式求得集合B,再根据并集运算可求得.‎ ‎（2）根据集合与集合的关系,可得关于的不等式组,解不等式组即可求得参数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为 因为可化为 - 24 -‎ 解得 所以 因为集合 所以由集合并集运算可得 ‎（2）集合,集合 若 则满足 解得,即 ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合并集的运算,根据集合的包含关系求参数的取值范围,属于基础题.‎ ‎18.已知向量，，设函数，．‎ ‎（1）求的最小正周期和最大值；‎ ‎（2）讨论在区间上的单调性．‎ ‎【答案】（1）最小正周期为 ;最大值为（2）当时单调递增;当时, 单调递减.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平面向量数量积定义,结合辅助角公式,求得函数的解析式,由周期公式及正弦函数的性质即可求得周期和最大值.‎ ‎（2）根据自变量的取值范围,先求得的范围,结合正弦函数的单调性即可求得的单调区间.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1）因为向量,‎ 则 由周期公式可得最小正周期为 ‎ 由可得的最大值为 ‎（2）因为 则 由正弦函数的图像可知,当时为单调递增,此时 时为单调递减,此时 综上可知,当时单调递增;当时, 单调递减 ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,辅助角公式化简三角函数式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）用定义证明函数在R上是减函数；‎ ‎（2）探究是否存在实数a，使得函数为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若，解不等式．‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1）证明见解析;（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义,利用作差法可证明函数在R上是减函数;‎ ‎（2）利用奇函数的定义,代入即可求得的值.‎ ‎（3）利用奇函数的定义,将不等式变形,结合函数的单调性即可解不等式,求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）证明: 函数,定义域为R 任取且 则 因为 所以 则,即 所以函数在R上是减函数 ‎（2）若函数在R上是奇函数 则满足 即 化简可得 所以当时函数在R上是奇函数 ‎（3）由（2）可知,当时函数在R上是奇函数 - 24 -‎ 则可变形为 由（1）可知函数在R上是减函数 所以不等式可化为 即 解不等式可得或,即 ‎【点睛】本题考查了利用定义证明函数的单调性,利用奇函数定义求参数的值,并根据奇函数与单调性解不等式,综合性较强,属于中档题.‎ ‎20.如图，在梯形中，，，，‎ ‎（Ⅰ）若，求实数的值； ‎ ‎（Ⅱ）若，求数量积的值 ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据平面向量基本定理求解，（Ⅱ）根据向量数量积定义求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，所以,,‎ 因此，‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.‎ - 24 -‎ ‎21.已知函数，，是函数的零点，且的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，若，，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；(Ⅱ)根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果.‎ ‎【详解】(Ⅰ)‎ 的最小值为 ,即 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知：‎ ‎ ‎ 又 ，‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若不等式在上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）若函数恰好有三个零点，求b的值及该函数的零点．‎ ‎【答案】（1）（2）,函数的三个零点分别为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用换元法,将不等式变形,构造成二次函数形式,结合二次函数的对称性及单调性即可求得的取值范围.‎ ‎（2）根据零点定义,可得对应的方程.利用换元法,将方程变形,由方程有三个零点和函数的对称性,可确定其中的一个解.将方程的解代入即可求得的值,再将的值代入即可求得方程的三个根,即函数的三个零点.‎ ‎【详解】（1）令,由可得 则不等式在上恒成立,可化为在上恒成立 即,变形可得 所以 因为,则 所以根据二次函数的图像与性质可知 实数满足 - 24 -‎ 所以实数的范围为 ‎（2）令,则由对数的性质可知 函数的三个零点需满足 所以,化简可得 即 化简可得 因为恰好有三个实数根 则必有一根为（否则根据函数的对称性可知会有四个根）‎ 即 代入方程可解得 ‎ 则方程可化为,解方程可得或 当时,即,解得 ‎ 综上可知,,函数的三个零点分别为 ‎【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题的解法,二次函数图像与性质的综合应用,函数零点的定义及对应方程的解法,综合性强,属于难题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎