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  • 2021-06-11 发布

2020届江苏省南京市六校联合体高三上学期一模联考数学试题

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南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷 数学Ⅰ试题 ‎2019.12‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x2-4x<0},则A∩B=__________.‎ 答案为:,2,.‎ ‎2.已知复数,则复数的共轭复数为__________.‎ 答案为:‎ ‎3.某校有教师300人,男学生1500人,女学生1200人,现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查,则应抽取的女学生人数为__________.‎ 答案为:80.‎ ‎4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为__________.‎ 答案:模拟演示:‎ 答案为:15.‎ ‎5.甲、乙两人依次从标有数字1,2,3的三张卡片中各抽取一张(不放回),则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________.‎ 答案为:.‎ ‎6.若抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2,则该双曲线的离心率为__________.‎ 答案为:‎ ‎7.已知f (x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时f (x)=+a,a为实数,则f (-4)的值是__________.‎ 答案为:.‎ ‎8.已知等差数列的前项和为,等比数列前项和为,若,,且,,则的值为__________.‎ 答案为:3‎ ‎9.已知,若是偶函数,则__________.‎ 答案为:.‎ ‎10.已知矩形ABCD中AB=4,BC=3,若沿对角线AC折叠,使得平面DAC⊥平面BAC,则三棱锥D-ABC的体积是__________.‎ 答案为.‎ ‎11.已知实数x,y满足条件xy+1=4x+y且x>1,则(x+1)(y+2)的最小值是__________.‎ 答案为:27.‎ ‎12.若直线上存在相距为2的两个动点A,B,圆上存在点,使得为等腰直角三角形(为直角顶点),则实数的取值范围为__________.‎ 答案为:,.‎ ‎13.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点,点P是圆O:上的任意一点,过点作直线BT垂直于AP,垂足为T,则2PA+3PT的最小值是__________.‎ 解:由中线长公式可得,则 ‎,则 在中,,即 所以(当且仅当时取等)‎ ‎14.已知函数,若不等式恒成立,为奇函数,函数恰有两个零点,则实数的取值范围为__________.‎ 解:若不等式恒成立,‎ 即恒成立,‎ 则△,解得:,‎ 故,‎ 若为奇函数,‎ 则,解得:,‎ 故,‎ 画出函数,的图象,如图所示:‎ 若函数恰有两个零点,‎ 结合图象:,,,‎ 故答案为:,,.‎ 二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 已知分别为三个内角A,B,C的对边,且.‎ ‎(1)若,,求边的长;‎ ‎(2)若,求的值.‎ 解:(1)在中,由可知,‎ 由解得,‎ 由余弦定理得,‎ 得,即,‎ 解得.‎ ‎(2)由且,得,‎ 又,则,则,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以 ‎16.(本小题满分14分)‎ E D B ‎1‎ A ‎1‎ C ‎1‎ C B A 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,A1B与AB1交于点D,A1C与AC1交于点E.求证:‎ ‎(1)DE∥平面B1BCC1;‎ ‎(2)平面A1BC⊥平面A1ACC1.‎ 证明:(1)直三棱柱ABC-A1B1C1中,, ‎ 所以四边形是平行四边形,且,‎ 所以为中点,‎ 同理为中点,‎ 所以,‎ 又因为平面,平面,‎ 所以.‎ ‎(2)直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面,‎ 因为平面,所以,‎ 因为,,平面,‎ 所以平面,‎ 又因为平面,‎ 所以平面平面.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,椭圆C :的左、右顶点分别为.已知,且点在椭圆上,其中是椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆C 的方程;‎ B x y O P A M N l ‎(2)设P是椭圆C上异于 A、B的点,与轴垂直的直线分别交直线AP,BP于点M,N,求证:直线AN与直线BM的斜率之积是定值.‎ 解:(1)因为,所以,即,‎ 又点在椭圆上,故,即,‎ 又,‎ 联立方程组,解得,‎ 故椭圆方程为.‎ ‎(2)设P点坐标为(),M,N的横坐标均为,‎ 则直线AP的方程为,‎ 故,‎ 故直线BM的斜率,‎ 同理可得直线AN的斜率,‎ 故,‎ 又因为P点在椭圆上,故有,即,‎ 因此有,‎ 故直线AN与直线BM的斜率之积是定值.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 如图,甲、乙两观察哨所位于海岸线l(一条南北方向的直线)上的点A、B处,两观察哨所相距32 n mile,在海岸线东侧有一半径为6 n mile圆形暗礁区,该暗礁区中心点C位于乙观察哨所北偏东的方向上,与甲观察哨所相距n mile,暗礁中心与乙观察哨所的距离大于n mile;‎ ‎(1)求暗礁中心点C到海岸线l的距离;‎ C l B A D 东 北 C l B A D 东 北 ‎(第18题图)‎ ‎(2)某时刻,甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜,甲观察哨所立即派缉私艇进行追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.问:无论走私船沿何方向逃窜,要保证缉私艇总能在暗礁区(不包含暗礁区边界)以外的海域内拦截成功,求的取值范围.‎ C l B A D 东 北 ‎(第18题图)‎ 解:(1)在三角形ABC中,由余弦定理可得,‎ 即,整理得,‎ 解得或(舍去),‎ 过点C作CD垂直于l,垂足为D,在直角三角形CDB中,C l B A D 东 北 ‎(第18题图)‎ x y O CD=BC,‎ 故暗礁中心点C到海岸线l的距离为n mile.‎ ‎(2)由(1)可知,,‎ 以点C为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系,‎ 则A(,),D(,0),暗礁区域边界所在的圆的方程为,‎ 假设缉私艇在点T(x,y)处拦截成功,则,‎ 则点T满足方程,‎ 化简得 要保证缉私艇总能在暗礁区(不包含暗礁区边界)以外的海域内拦截成功,‎ 只需要圆与圆外离,‎ 故,‎ 整理得135,解得或(舍去).‎ 答:(1)暗礁中心点C到海岸线l的距离是n mile;‎ ‎(2)当时,就能保证无论走私船沿何方向逃窜,缉私艇总能在暗礁区(不包含暗礁区边界)以外的海域内拦截成功.‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知函数,,.‎ ‎(1)求函数的单调增区间;‎ ‎(2)令,且函数有三个彼此不相等的零点,其中.‎ ‎①若,求函数在处的切线方程;‎ ‎②若对,恒成立,求实数的取值范围.‎ 解:(1),‎ 所以,‎ 令 得到,‎ 所以的单调增区间是.‎ ‎(2)由方程得是方程的两实根,‎ 故,且由判别式得,‎ ‎①若,得,故,得,‎ 因此,‎ 故函数在处的切线方程为.‎ ‎②若对任意的,都有成立,所以,‎ 因为,所以,‎ 当时,对有,‎ 所以,‎ 解得,‎ 又因为,得,则有;‎ 当时,,‎ 则存在的极大值点,且,‎ 由题意得,‎ 将代入得,‎ 进而得到,得,‎ 又因为,得,‎ 综上可知的取值范围是或.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 等差数列{an}公差大于零,且a2+a3=,a22+a32=,记{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}各项均为正数,公比为q,记{bn}的前n项和为Tn.‎ ‎(1)求Sn;‎ ‎(2)若q为正整数,且存在正整数k,使得Tk,T3k∈{S2,S5,S6},求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(3)若将Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn},求{cn}的一个通项公式.‎ 解:(1)设{an}公差为d,d>0,‎ 因为a2+a3=,a22+a32=,‎ 所以a1+d+a1+2d=,(a1+d)2+(a1+2d)2=,‎ 解得a1=,d=,‎ 于是Sn=n+×=.‎ ‎(2){S2,S5,S6}={,,}‎ 当q=1时,Tk=kb1,T3k=3kb1,=3,舍去;‎ 当q≠1时,Tk=,T3k=,所以=1+qk+q2k,‎ 因为q∈N*且q≠1,所以q≥2,‎ 因此≥1+2+4=7,‎ 于是Tk=,T3k=,‎ 因此1+qk+q2k=7,解得qk=2或-3(舍去),‎ 从而q=2,k=1,代入Tk=得b1= 所以bn=3×2n-2 ‎ ‎(3)因为Sn=为整数项,所以n=4k或者4k-1,k∈N*‎ 当n=4k-1,k∈N*时,Sn=k(4k-1);‎ 当n=4k,k∈N*时,Sn=k(4k+1);‎ 因为Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn},‎ 且k(4k-1)<k(4k+1)<(k+1)[4(k+1)-1]<(k+1)[4(k+1)+1],‎ 所以当n为奇数时,cn=(4×-1)×=;‎ 当n为偶数时,cn=×(2n+1)=;‎ 所以cn=