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- 2021-06-11 发布
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南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷
数学Ⅰ试题
2019.12
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x2-4x<0},则A∩B=__________.
答案为:,2,.
2.已知复数,则复数的共轭复数为__________.
答案为:
3.某校有教师300人,男学生1500人,女学生1200人,现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查,则应抽取的女学生人数为__________.
答案为:80.
4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为__________.
答案:模拟演示:
答案为:15.
5.甲、乙两人依次从标有数字1,2,3的三张卡片中各抽取一张(不放回),则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________.
答案为:.
6.若抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2,则该双曲线的离心率为__________.
答案为:
7.已知f (x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时f (x)=+a,a为实数,则f (-4)的值是__________.
答案为:.
8.已知等差数列的前项和为,等比数列前项和为,若,,且,,则的值为__________.
答案为:3
9.已知,若是偶函数,则__________.
答案为:.
10.已知矩形ABCD中AB=4,BC=3,若沿对角线AC折叠,使得平面DAC⊥平面BAC,则三棱锥D-ABC的体积是__________.
答案为.
11.已知实数x,y满足条件xy+1=4x+y且x>1,则(x+1)(y+2)的最小值是__________.
答案为:27.
12.若直线上存在相距为2的两个动点A,B,圆上存在点,使得为等腰直角三角形(为直角顶点),则实数的取值范围为__________.
答案为:,.
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点,点P是圆O:上的任意一点,过点作直线BT垂直于AP,垂足为T,则2PA+3PT的最小值是__________.
解:由中线长公式可得,则
,则
在中,,即
所以(当且仅当时取等)
14.已知函数,若不等式恒成立,为奇函数,函数恰有两个零点,则实数的取值范围为__________.
解:若不等式恒成立,
即恒成立,
则△,解得:,
故,
若为奇函数,
则,解得:,
故,
画出函数,的图象,如图所示:
若函数恰有两个零点,
结合图象:,,,
故答案为:,,.
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)
15.(本小题满分14分)
已知分别为三个内角A,B,C的对边,且.
(1)若,,求边的长;
(2)若,求的值.
解:(1)在中,由可知,
由解得,
由余弦定理得,
得,即,
解得.
(2)由且,得,
又,则,则,
所以,
所以,
所以
16.(本小题满分14分)
E
D
B
1
A
1
C
1
C
B
A
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,A1B与AB1交于点D,A1C与AC1交于点E.求证:
(1)DE∥平面B1BCC1;
(2)平面A1BC⊥平面A1ACC1.
证明:(1)直三棱柱ABC-A1B1C1中,,
所以四边形是平行四边形,且,
所以为中点,
同理为中点,
所以,
又因为平面,平面,
所以.
(2)直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面,
因为平面,所以,
因为,,平面,
所以平面,
又因为平面,
所以平面平面.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,椭圆C :的左、右顶点分别为.已知,且点在椭圆上,其中是椭圆的离心率.
(1)求椭圆C 的方程;
B
x
y
O
P
A
M
N
l
(2)设P是椭圆C上异于 A、B的点,与轴垂直的直线分别交直线AP,BP于点M,N,求证:直线AN与直线BM的斜率之积是定值.
解:(1)因为,所以,即,
又点在椭圆上,故,即,
又,
联立方程组,解得,
故椭圆方程为.
(2)设P点坐标为(),M,N的横坐标均为,
则直线AP的方程为,
故,
故直线BM的斜率,
同理可得直线AN的斜率,
故,
又因为P点在椭圆上,故有,即,
因此有,
故直线AN与直线BM的斜率之积是定值.
18.(本小题满分16分)
如图,甲、乙两观察哨所位于海岸线l(一条南北方向的直线)上的点A、B处,两观察哨所相距32 n mile,在海岸线东侧有一半径为6 n mile圆形暗礁区,该暗礁区中心点C位于乙观察哨所北偏东的方向上,与甲观察哨所相距n mile,暗礁中心与乙观察哨所的距离大于n mile;
(1)求暗礁中心点C到海岸线l的距离;
C
l
B
A
D
东
北
C
l
B
A
D
东
北
(第18题图)
(2)某时刻,甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D
处有一走私船正欲逃窜,甲观察哨所立即派缉私艇进行追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.问:无论走私船沿何方向逃窜,要保证缉私艇总能在暗礁区(不包含暗礁区边界)以外的海域内拦截成功,求的取值范围.
C
l
B
A
D
东
北
(第18题图)
解:(1)在三角形ABC中,由余弦定理可得,
即,整理得,
解得或(舍去),
过点C作CD垂直于l,垂足为D,在直角三角形CDB中,C
l
B
A
D
东
北
(第18题图)
x
y
O
CD=BC,
故暗礁中心点C到海岸线l的距离为n mile.
(2)由(1)可知,,
以点C为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系,
则A(,),D(,0),暗礁区域边界所在的圆的方程为,
假设缉私艇在点T(x,y)处拦截成功,则,
则点T满足方程,
化简得
要保证缉私艇总能在暗礁区(不包含暗礁区边界)以外的海域内拦截成功,
只需要圆与圆外离,
故,
整理得135,解得或(舍去).
答:(1)暗礁中心点C到海岸线l的距离是n mile;
(2)当时,就能保证无论走私船沿何方向逃窜,缉私艇总能在暗礁区(不包含暗礁区边界)以外的海域内拦截成功.
19.(本小题满分16分)
已知函数,,.
(1)求函数的单调增区间;
(2)令,且函数有三个彼此不相等的零点,其中.
①若,求函数在处的切线方程;
②若对,恒成立,求实数的取值范围.
解:(1),
所以,
令 得到,
所以的单调增区间是.
(2)由方程得是方程的两实根,
故,且由判别式得,
①若,得,故,得,
因此,
故函数在处的切线方程为.
②若对任意的,都有成立,所以,
因为,所以,
当时,对有,
所以,
解得,
又因为,得,则有;
当时,,
则存在的极大值点,且,
由题意得,
将代入得,
进而得到,得,
又因为,得,
综上可知的取值范围是或.
20.(本小题满分16分)
等差数列{an}公差大于零,且a2+a3=,a22+a32=,记{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}各项均为正数,公比为q,记{bn}的前n项和为Tn.
(1)求Sn;
(2)若q为正整数,且存在正整数k,使得Tk,T3k∈{S2,S5,S6},求数列{bn}的通项公式;
(3)若将Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn},求{cn}的一个通项公式.
解:(1)设{an}公差为d,d>0,
因为a2+a3=,a22+a32=,
所以a1+d+a1+2d=,(a1+d)2+(a1+2d)2=,
解得a1=,d=,
于是Sn=n+×=.
(2){S2,S5,S6}={,,}
当q=1时,Tk=kb1,T3k=3kb1,=3,舍去;
当q≠1时,Tk=,T3k=,所以=1+qk+q2k,
因为q∈N*且q≠1,所以q≥2,
因此≥1+2+4=7,
于是Tk=,T3k=,
因此1+qk+q2k=7,解得qk=2或-3(舍去),
从而q=2,k=1,代入Tk=得b1=
所以bn=3×2n-2
(3)因为Sn=为整数项,所以n=4k或者4k-1,k∈N*
当n=4k-1,k∈N*时,Sn=k(4k-1);
当n=4k,k∈N*时,Sn=k(4k+1);
因为Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn},
且k(4k-1)<k(4k+1)<(k+1)[4(k+1)-1]<(k+1)[4(k+1)+1],
所以当n为奇数时,cn=(4×-1)×=;
当n为偶数时,cn=×(2n+1)=;
所以cn=