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- 2021-06-11 发布
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西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试
高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,则 ( )
A. B. C. D.
2.设复数满足(其中为虚数单位),则( )
A. B. C. D.
3.已知命题若,则;命题、是直线,为平面,若//,,则//.下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
4.已知为数列的前项和,,则( )
A. B. C. D.
5.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
则下列结论中表述不正确的是( )
A. 从2000年至2016年,该地区环境基础
设施投资额逐年增加;
B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比
2000年至2004年的投资总额还多;
C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ;
D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为)建立投资额y与时间t的线性回归模型,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
6.已知直线是函数图象的一条对称轴,为了得到函数的图象,可把函数的图象( )
A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度
7.函数的图象大致为( )
8.若,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.若点在抛物线上,记抛物线的焦点为,直线与抛物线的另一交点为B,则( )
A. B. C. D.
10.已知在区间上,函数与函数的图象交于点P,设点P在x轴上的射影为,的横坐标为,则的值为( )
A. B. C. D.
11.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知是一对相关曲线的焦点,是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.2
12.已知函数(e为自然对数底数),若关于的不等式
有且只有一个正整数解,则实数m的最大值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知为互相垂直的单位向量,若,则.
14.已知函数,若,则实数的取值范围是.
15.数列是等差数列,,公差d∈[1,2],且,则实数的最大值为.
16.已知矩形,,,将沿对角线进行翻折,得到三棱锥,则在翻折的过程中,有下列结论正确的有.
①三棱锥的体积的最大值为;
②三棱锥的外接球体积不变;
③三棱锥的体积最大值时,二面角的大小是;
④异面直线与所成角的最大值为.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(本小题满分12分)
在△中,内角,,的对边分别为,,,已知.
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若,求的最小值.
18.(本小题满分12分)
《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民月收入总额(工资、薪金等)不超过免征额的部分不必纳税,超过免征额的部分为全月应纳税所得额,个人所得税税款按税率表分段累计计算。为了给公民合理减负,稳步提升公民的收入水平,自2018年10月1日起,个人所得税免征额和税率进行了调整,调整前后的个人所得税税率表如下:
个人所得税税率表(调整前)
个人所得税税率表(调整后)
免征额3500元
免征额5000元
级数
全月应纳税所得额
税率
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过1500元的部分
3%
1
不超过3000元的部分
3%
2
超过1500元至4500元的部分
10%
2
超过3000元至12000元的部分
10%
3
超过4500元至9000元的部分
20%
3
超过12000元至25000元的部分
20%
…
…
…
…
…
…
(Ⅰ)已知小李2018年9月份上交的税费是295元,10月份月工资、薪金等税前收入与9月份相同,请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少?
(Ⅱ)税务部门在小李所在公司用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入,并制成下面的频率分布直方图。
(ⅰ)请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数;
(ⅱ)同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表,按调整后税率表,试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元?
19.(本小题满分12分)
如图,在底面为矩形的四棱锥中,平面平面.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,设为中点,求直线与平面所成角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆:的离心率为,以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点,设为椭圆上一动点,且满足(为坐标原点).当时,求的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知函数(为常数)在区间内有两个极值点.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)求证:.
(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]
已知在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.
(Ⅰ)求圆的普通方程及其极坐标方程;
(Ⅱ)设直线的极坐标方程为,射线与圆的交点为(异于极点),与直线的交点为,求线段的长.
23.(本小题满分10分)[选修4—5:不等式选讲]
已知函数,
(Ⅰ)当a=2时,求不等式的解集;
(Ⅱ)当时不等式恒成立,求的取值范围
西安中学高2020届高三期末考试
数 学(理科)参考答案
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
A
D
C
A
A
D
B
A
C
二、填空题:
13. 14. 15. 16.②④
三、解答题:
17.解:(Ⅰ)∵△中,,
∴由正弦定理知,,…………2分
∵∴,
∴,…………4分
∴,
∴,∴.…………6分
(Ⅱ)∵∴,得…………8分
所以
当且仅当时取等号…………11分
所以的最小值为…………12分
18.解:(Ⅰ)设小李9月份的税前收入为元,因为
所以按调整起征点前应缴纳个税为:,
解得…………2分
按调整起征点后应缴纳个税为:
调整后小李的实际收入是(元)…………4分
(Ⅱ)(ⅰ)由柱状图知,中位数落在第二组,不妨设中位数为千元,
则有,解得(千元)
估计该公司员工收入的中位数为千元. …………8分
(ⅱ)按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税为
(元)
估计小李所在的公司员工平均纳税元…………12分
19. 解:(Ⅰ)依题意,平面平面,…………………1分
平面,平面平面,…………………2分
平面,又平面……………4分
…………5分
(Ⅱ)在中,取中点,连接,平面,以为坐标原点,分别以为轴,过点且平行于的直线为轴,所在的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系.……………………6分
设,,.
,
………………………8分
设平面的法向量为,
则,
取,得 ……………9分
设直线与平面所成角为,则……10分
因为,
所以直线与平面所成角的余弦值为.…………………12分
19. 解:(Ⅰ)依题意得,.以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为,则, 解得,.
所以椭圆的方程为. ……………………4分
(Ⅱ)设,两点的坐标分别为,,
联立方程得,,
…………………………6分
,, …………………………7分
因为,即,所以.
所以点,又点在椭圆C上,所以有,
化简得,
所以,化简,因为,所以, ………………………………9分
因为,
又,,所以.
令,则.…………………11分
当时,取得最小值,最小值为. ………………………12分
21. 解:(Ⅰ)解法一:
由,可得·····························1分
由题意,则,设.
由题意,知是在上的两个零点.
当时,,则在上递增,至多有一个零点,不合题意;………2分
当时,由,得,………………………3分
(i)若且,即时,在上递减,递增;
若,即时,至多有一个零点,不合题意,舍去;
若,即时,又,
从而,在和上各有一个零点.
所以时,在上存在两个零点.…………………4分
(ii)若,即时,在上单调递减,至多有一个零点,舍去…………5分
(iii)若且,即时,在上有一个零点,在
上没有零点,舍去.
综上可得,实数的取值范围是.…………………………6分
解法二:由,可得……………1分
由题意,则,由题意知是在上的两个零点.
由,得,………………………………2分
从而只需直线与函数的图象在有两个交点.…………3分
由得在区间内单调递减,在区间内单调递增,
所以.…………………………4分
且时,.………………………5分
所以实数的取值范围是.…………………………………………6分
(Ⅱ)解法一:令………………7分
则,
所以在上递增,…………………………………………………8分
…………………………10分
而,且在递增;
………………………………………………………11分
,命题得证.………………………12分
解法二:由(1)有
…………7分
则证明 ①………8分
下证①式成立,由,得,
令,则……………………………9分
易知,从而①式………10分
又令,即证对成立..
设,则,…………………………11分
从而.即,,即
从而①式成立.,命题得证.…………………………12分
21. 解:(Ⅰ)由……………1分
平方相加,得:,所以圆的普通方程为:……2分
又………………………………………3分
………………………………………4分
化简得圆的极坐标方程为:.…………………………………5分
(Ⅱ)把代入圆的极坐标方程可得:…………7分
把代入直线的极坐标方程可得:……………9分
所以线段的长…………………………………10分
22. 证明:
(Ⅰ)①当时,,解得,………1分
②当时,,解得
………………2分
③当时,解得,……………3分
综上知,不等式的解集为.………………5分
(Ⅱ)解法1:
当时,,…………6分
设,则,恒成立,
只需, …………8分
即,解得…………10分
解法2:
当时,,…………6分
,即,即…………7分
①当时,上式恒成立,;…………8分
②当时,得恒成立,
只需,
综上知,. …………10分