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- 2021-06-11 发布
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南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考
数学试卷2020.1.14
一、填空题
1.已知集合 A= {-1,0,2}, B= {-1,1,2}, 则 A∩B =________.
2.已知复数 z 满足(1+ i) z = 2i , 其中i 是虚数单位,则 z 的模为_______.
3.某校高三数学组有 5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35,35,41,38,51,则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.
4.根据如图所示的伪代码,输出的 a 的值为_______.
5.已知等差数列{an} 的公差 d 不为 0 ,且 a1,a2,a4 成等比数列,则的值为_____.
6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次,则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.
7.在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中, AA1=AB=2 ,则三枝锥 A1 - BB1C1 的体积为______.
8.已如函数.若当 x =时,函数 f (x) 取得最大值,则w 的最小值为______.
9. 已 知 函 数 f (x) = (m - 2)x2 + (m - 8)x (m ÎR ) 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x Î R , 关 于 x 的 不 等 式f ( x 2 +1) < f (a ) 恒成立,则实数 a 的取值范围是______.
10.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A,B 分别在双曲线C : x2 - y 2 =1 的两条渐近线上, 且双曲线C 经过线段 AB的中点.若点 A 的横坐标为 2 ,则点 B 的横坐标为______.
11.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE = 4.8 +1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震,它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.
12. 已知△ABC 的面积为 3 ,且 AB = AC .若,则 BD 的最小值为______.
13.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆C1 : x2 + y 2 = 8 与圆C2 : x2 + y 2 + 2x + y -a = 0 相交于 A,B 两点.若圆C1 上存在点 P ,使得△ABP 为等腰直角三角形,则实数 a 的值组成的集合为______.
14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ( x) + 2af (x)+1- a2 = 0 有五个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是______.
二、解答题
15. (本小题满分 14 分)
如图,在三棱锥 P - ABC 中, PA ^ 平面 ABC , PC ^ AB , D, E 分别为 BC, AC 的中点。
求证: (1) AB / / 平面 PDE ;
(2)平面 PAB ^ 平面 PAC .
16. (本小题满分 14 分)
在△ABC 中,已知AC=4,BC=3,cosB=- 。
(1)求sin A 的值:
(2)求 的值。
17. (本小题满分 14 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :的焦距为 4 ,两条准线间的距离为8 , A, B 分别为椭圆 E 的左、右顶点。
(1)求椭圆 E 的标准方程:
(2)已知图中四边形 ABCD 是矩形,且 BC = 4 ,点 M , N 分别在边 BC,CD 上, AM 与
BN 相交于第一象限内的点 P .
①若 M , N 分别是 BC,CD 的中点,证明:点 P 在椭圆 E 上;
②若点 P 在椭圆 E 上,证明: 为定值,并求出该定值。
18. (本小题满分 16 分)
在平面内,将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转,如图,
小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标,他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕其中心 O 逆时针旋转q 到三角形A1B1C1 ,且 .顺次连结 A, A1,B,B1,C,C1,A ,得到六边形徽标 AA1BB1CC1 .
(1)当q = 时,求六边形徽标的面积;
(2)求六边形微标的周长的最大值.
19. (本小题满分 16 分)
已知数列{an}满足: a1 = 1, 且当 n ³ 2 时,
(1)若 l = 1, 证明:数列{a2n-1}是等差数列;
(2)若 l = 2.
①设 ,求数列{bn} 的通项公式;
②设,证明:对于任意的 p, mÎ N *,当 p > m, 都有 p ³ Cm.
20. (本小题满分 16 分)
设函数,其中 e 为自然对数的底数.
(1)当 a = 0 时,求函数 f (x) 的单调减区间;
(2)已知函数 f (x) 的导函数 f ¢(x) 有三个零点 x1, x2, x3(x1 < x2 < x3).
①求 a 的取值范围;
②若 m1, m2(m1 < m2) 是函数 f (x) 的两个零点,证明: x1 < m1 < x1 +1.
21.【选做题】本题包括A、B、C 三小题,请选定其中两题,并在答题卡相应的答题区域内作答.
若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10 分)
已知,向量是矩阵的属于特征值3 的一个特征向量.
(1)求矩阵;
(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点(2,2),求点P的坐标.
B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10 分)
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程(t 为参数),椭圆C 的
参数方程为 ( 为参数).求椭圆C 上的点到直线l的距离的最大值
C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10 分)
已知a,b,c都是正实数,且.
证明: .
22.(本小题满分10 分)
如图,在直四棱柱中ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=AA1=2BC=2 , .
(1)求二面角C1-B1C-D1的余弦值;
(2)若点P为棱AD的中点,点Q在棱AB上,且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为,求AQ的长.
23.(本小题满分10 分)
一只口袋装有形状、大小完全相同的5 只小球,其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1 只.
现从口袋中先后有放回地取球2n次,且每次取1 只球.
(1)当n=3时,求恰好取到3 次红球的概率;
(2)随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数,随机变量
求Y的数学期望(用n表示)