【数学】2020届一轮复习人教B版（文）3-8解三角形应用举例作业 8页

课时作业23　解三角形应用举例 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)‎ A．‎50 m　 　B．‎50 m C．‎25 m D. m 解析：由正弦定理得 AB＝＝＝50 (m)．‎ 答案：A ‎2．[2019·武汉三中月考]如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 解析：由条件及题图可知，∠A＝∠ABC＝40°，因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向上．‎ 答案：D ‎3.‎ 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝‎30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)‎ A．‎5 m B．‎15 m C．‎5 m D．‎15 m 解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，解得BC＝15(m)．‎ 在Rt△ABC中，‎ AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15 (m)．‎ 答案：D ‎4．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行‎15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)‎ A．‎5 km B．‎‎10 km C．‎5 km D．‎5 km 解析：作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，∠B＝120°，AC＝15，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 即BC＝＝5，即这时船与灯塔的距离是‎5 km.‎ 答案：C ‎5.‎ 如图，在离地面高‎400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为(　　)‎ A．‎700 m B．‎‎640 m C．‎600 m D．‎‎560 m 解析：根据题意，可得在Rt△AMD中，‎ ‎∠MAD＝45°，MD＝400，‎ 所以AM＝＝400.‎ 因为△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，‎ ‎∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，‎ 所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，‎ 由正弦定理，得AC＝＝＝400，‎ 在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400×＝600 (m)．‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．[2019·山东省，湖北省部分中学质量检测]如图，在某岛附近海底某处有一条海防警戒线，在警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B点接收到发自水中P处的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，假设声波在水中的传播速度是1.5千米/秒，则P到海防警戒线的距离为________千米．‎ 解析：通解　依题意知PA＝PC，设PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB中，AB＝20，则cos∠PAB＝＝＝，在△PAC中，AC＝50，则cos∠PAC＝ ‎＝＝.因为cos∠PAB＝cos∠PAC，所以＝，解得x＝31，过点P作PD⊥AC于点D，则AD＝25，在Rt△ADP中，PD＝＝4.故P到海防警戒线的距离为‎4千米．‎ 优解　过点P作PD⊥AC于点D，设PB＝x，由题意知，PA＝PC＝x＋1.5×8＝x＋12，AD＝25，BD＝5，在Rt△PAD中，PD2＝PA2－AD2＝(x＋12)2－252，在Rt△PBD中，PD2＝PB2－BD2＝x2－52，则(x＋12)2－252＝x2－52，可得x＝19，故PD＝＝4，即P到海防警戒线的距离为‎4千米．‎ 答案：4 ‎7．[2019·南昌市模拟]已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos(α－β)＝，则v＝________.‎ 解析：如图所示，AB＝150，AC＝200，根据题意可知∠B＝α，∠C＝β，因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝＝.‎ 在三角形ABC中，由正弦定理＝，得＝，‎ 得4sinβ＝3sinα，所以4sinβ＝3sin[β＋(α－β)]＝3[sinβcos(α－β)＋cosβsin(α－β)]＝3，整理得4sinβ＝3cosβ.‎ 又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝，进而sinα＝，所以有sin2α＋sin2β＝1，所以α＝90°－β，‎ 所以∠BAC＝180°－(α＋β)＝90°，所以BC＝＝＝250，故v＝＝100.‎ 答案：100‎ ‎8．[2019·福建省高中质量检测]在平面四边形ABCD中，AB＝1，‎ AC＝，BD⊥BC，BD＝2BC，则AD的最小值为________．‎ 解析：设∠BAC＝α，∠ABD＝β(β∈(0，π))，则∠ABC＝β＋.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosα＝6－2cosα，由正弦定理，得＝，即BC＝.在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋DB2－2AB·DBcosβ＝1＋4BC2－4BCcosβ＝1＋4(6－2cosα)－4··cosβ＝25－8cosα－4sinα＝25－20sin(α＋θ)，所以当sin(α＋θ)＝1，即sinα＝，cosα＝时，AD2取得最小值5，所以AD的最小值为.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．[2019·石家庄高中摸底考试]‎ 某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝ km.‎ ‎(1)求道路BE的长度；‎ ‎(2)求生活区△ABE面积的最大值．‎ 解析：(1)如图，连接BD，在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝，∴BD＝ km.‎ ‎∵BC＝CD，‎ ‎∠CDB＝∠CBD＝＝，‎ 又∠CDE＝，∴∠BDE＝.‎ ‎∴在Rt△BDE中，BE＝＝＝(km)．‎ 故道路BE的长度为 km.‎ ‎(2)设∠ABE＝α，∵∠BAE＝，‎ ‎∴∠AEB＝－α.‎ 在△ABE中，易得＝＝＝＝，‎ ‎∴AB＝sin，AE＝sinα.‎ ‎∴S△ABE＝AB·AEsin＝sinsinα＝≤＝(km2)．‎ ‎∵0<α<，∴－<2α－<.‎ ‎∴当2α－＝，即α＝时，S△ABE取得最大值，最大值为 km2，‎ 故生活区△ABE面积的最大值为 km2.‎ ‎10．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝‎40 cm，求电视塔的高度．‎ 解析：如图，设电视塔AB高为x m，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝x.‎ 在△BDC中，由余弦定理得，‎ BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，‎ 即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，‎ 即得x＝40，‎ 所以电视塔高为‎40 m.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向，距离A处2海里的C处的辑私船奉命在10海里/时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？‎ 解析：如图，设缉私船t时后在D处追上走私船，‎ 则有CD＝10t，BD＝10t.‎ 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°.‎ 利用余弦定理可得BC＝.‎ 由正弦定理，得 sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，‎ 得∠ABC＝45°，即BC与正北方向垂直．‎ 于是∠CBD＝120°.‎ 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝，‎ 得∠BCD＝30°，‎ ‎∴∠BDC＝30°.‎ 又＝，＝，得t＝.‎ 所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花时．‎