2013南平3月份质检理数试卷(2) 12页

福建省南平市2013届高三数学毕业班质量检查试题 理 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 如果A与B是两个任意事件，≠0，那么；‎ 柱体体积公式：，‎ 其中为底面面积，为高；‎ 锥体体积公式：，‎ 其中为底面面积，为高；‎ 球的表面积、体积公式：‎ ‎，，‎ 其中R为球的半径．‎ 第Ⅰ卷（选择题　共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知i是虚数单位，则i(1－i)＝‎ A．2－2i B．2+2i ‎ C．－2 D．2‎ ‎2．命题“≤‎1”‎的否定是 A．≥1 B． ‎ C．≥1 D．‎ ‎3．如图所示的程序框图运行后输出的结果为 ‎ A．36 B．45 ‎ C．55 D．56‎ ‎4．设等差数列的前项和为，，，‎ 则当取最小值时，等于 A．6 B．7 ‎ ‎≤‎ ‎≤‎ C．8 D．9 ‎ ‎5．已知，且=0.4，则 ‎ A．0.1 B．0.2 ‎ C．0.3 D．0.4‎ ‎6．若方程在区间Z，且上有一实根，则a的值为 ‎ A．5 B．4 ‎ C．3 D．2‎ ‎7．右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是 矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于 A．16＋12π　　 B．24π C．16+4π　　　 D．12π ‎8．已知双曲线Γ：的离心率为2，过双曲线Γ的左焦点作圆O：的两条切线，切点分别为、，则＝ ‎ A．45° B．60° ‎ C．90° D．120°‎ ‎9．已知△ABC的面积为12，P是△ABC所在平面上的一点，满足，‎ 则的面积为 A．3 B．4 ‎ C．6 D．9‎ ex ‎10. 已知函数ex+R，e是自然对数底数)，在区间上单调递增， ‎ 则的取值范围是 A．[0，1] B．[－1，0] ‎ C．[－1，1] D．e2e2‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎≤‎ ‎11．已知函数则的值是　　　　　．‎ ‎12．若是2和8的等比中项，且，则抛物线的准线方程为　　　　　．‎ ‎13．已知N的展开式中含的项为第3项，则的值为　　　　　． ‎ ‎14．已知函数)图象的一条对称轴方程为，‎ 若，则的取值范围是　　　　　．‎ ‎≤‎ ‎≤‎ ‎≥‎ ‎15．设不等式组所表示的平面区域是，则平面区域的面积等于　　　　　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ O B C D A ‎16．（本小题满分13分） ‎ 如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形ABCD，沿着较短的对角线BD对折，使得AC＝，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值.‎ ‎17．（本小题满分13分） ‎ 已知函数（为实数）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调减区间；‎ ‎（Ⅲ）若，证明：当时，．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 在中，角所对的边分别为，已知=，．‎ ‎（Ⅰ）求和的面积；‎ ‎（Ⅱ）当是钝角时，证明：不可能是有理数．‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ A B C D 如图所示，质点在正方形的四个顶点上按逆时针方向前进，现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上所标数字分别为1、1、2、2、3、3．质点从点出发，规则如下：当正方体朝上一面出现的数字是1，质点前进一步（如由到 ‎）；当正方体上朝上一面出现的数字是2，质点前进两步（如由到）；当正方体朝上一面出现的数字是3，质点前进三步（如由到）．在质点转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．‎ ‎（Ⅰ）求点恰好返回到点的概率；‎ ‎（Ⅱ）在点转一圈恰能返回到点的所有结果中，用随机变量表示点恰能返回到点的投掷次数，求的数学期望．‎ ‎20．（本小题满分14分） ‎ 已知椭圆Γ：过点M（，0），且离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点在椭圆Γ上，‎ ‎（ⅰ）证明：直线与椭圆相切；‎ ‎（ⅱ）过点P作两条直线PA、PB分别交椭圆于点A、B，求证：“直线AB的斜率与过点P的椭圆的切线斜率互为相反数”的充要条件是“直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数”．‎ ‎21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（－1，1）变换成（－2，4）．‎ ‎（Ⅰ）求矩阵M；‎ ‎（Ⅱ）求直线在矩阵M的作用下的直线的方程．‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，‎ Z），以为原点，轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线和曲线C相切，求实数的值．‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 已知a，b，c为非零实数，且 ‎（Ⅰ）求证：≥；‎ ‎（Ⅱ）求实数m的取值范围．‎ ‎2013年南平市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．‎ ‎ 1．D ； 2．D； 3．B； 4．A； 5．A； 6．C； 7．A； 8．B； 9．C； 10．C．‎ ‎10.解析：在区间上，当时，，而又当时，在区间上恒成立，所以；当时，在区间上不可能单调递增，故选C.‎ 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．‎ ‎11. 12. 13. 10 14. 15. 4‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．解：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，‎ ‎ 又边长为2，………2分 由于，在中，‎ ‎，………5分 ‎（Ⅱ）, ………8分 ‎（Ⅲ）解法一：过，连接AE，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……10分 ‎ ‎ ‎ ………12分 ‎ 即二面角的余弦值为.………13分 解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 显然，平面的法向量为 ‎ ………10分 设：平面的法向量 ‎，‎ 由,，‎ ‎………12分 ‎∴二面角的余弦值为.………13分 ‎17．解：（Ⅰ）由题意得所求切线的斜率………2分 切点则切线方程为 ，‎ 即………4分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎（1）当≤0时，≤0，则的单调减区间是；………6分 ‎（2）当时，令，解得或，‎ 则的单调减区间是，………9分 ‎（Ⅲ）证明：令，≥0………11分 则是上的增函数 故当时，即，………13分 ‎18．解：（Ⅰ）由正弦定理得，即 ………2分 因为是三角形内角且，则或. ………4分 记的面积为.‎ 当时，， ………6分 当时，， ………8分 ‎（Ⅱ）证明：因为是钝角，结合（Ⅰ）的结论得=………9分 假设是有理数，则为有理数；‎ 同理可证为有理数．………11分 ‎，等式左边=为无理数，等式右边为有理数，从而矛盾，则不可能是有理数，即不可能是有理数．………13分 ‎19．解：（Ⅰ）事件“点转一圈恰能返回到点”记为；事件“投掷两次点就恰能返回到点”记为；事件“投掷三次点就恰能返回到点”记为；事件“投掷四次点就恰能返回到点”记为。投掷一次正方体玩具，朝上一面每个数字的出现都是等可能的，其概率为，因为只投掷一次不可能返回到点；若投掷两次点就恰能返回到点，则朝上一面出现的两个数字应依次为：（1,3），（3,1），（2,2）三种结果，其概率为；………3分 若投掷三次点恰能返回到点，则朝上一面出现的三个数字应依次为：‎ ‎（1,1,2），（1,2,1），（2,1,1）三种结果，其概率为；………5分 若投掷四次点恰能返回到点，则朝上一面出现的四个数字应依次为：‎ ‎（1,1,1,1），其概率为；………6分 所以点恰好返回到点的概率为 ‎.………7分 ‎（Ⅱ）随机变量的可能取值为2，3，4. ………8分 ‎；‎ ‎； ‎ ‎………11分 即的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以. 即的数学期望是.………13分 ‎ ‎20．（Ⅰ）解：由题意得………2分 解得，即所求椭圆方程为………4分 ‎（Ⅱ）证明 ：‎ ‎（ⅰ）将直线方程代入椭圆方程，‎ 整理得………6分 由点在椭圆上得，故方程可化为：‎ 因此判别式，则直线与椭圆相切………8分 ‎（ⅱ）解法一：‎ 必要性：直线AB的斜率与过点P的椭圆的切线斜率互为相反数，‎ 由（ⅰ）知过点P的椭圆的切线斜率为，则可设直线AB方程为（其中），A、B.将代入中，‎ 得　，‎ 故，.………9分 ‎=+‎ ‎=‎ 考虑分子，并注意到，，‎ 得：分子=‎ ‎=‎ ‎==‎ ‎=，则.………11分 充分性：设点A、B，记直线PA的斜率为，则直线PA方程为，将其代入中,化简、整理得,‎ 故，则 (1)………12分 因为直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，则可设直线PB方程为，同理可求 (2)‎ ‎(2)-(1)得:，又，‎ 则，易知过点P的椭圆切线斜率=，故=0‎ 即直线AB的斜率与过点P椭圆切线斜率互为相反数.………14分 ‎（ⅱ）解法二：由（ⅰ）知过点P的椭圆的切线斜率为，设A、B,直线AB方程为，代入得　，‎ 故，.………9分 ‎=+‎ ‎=‎ 分子=‎ ‎=………11分 ‎= (其中)‎ ‎= (其中，点不在直线上，)‎ ‎∴=0=0‎ ‎=0=0‎ ‎∴的充要条件是．………14分 ‎21. （1）解：（Ⅰ）设，由题意得 ‎ 即………1分 又由题意得，即………2分 联立以上两个方程，解得，故………4分 ‎（Ⅱ）设点是直线上任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为 ‎ 则： 即：………6分 代入直线的方程后并化简得：　即………7分 ‎（2）解：（Ⅰ）由得直线的普通方程为………2分 由得 ‎，曲线的直角坐标方程为：………4分 ‎（Ⅱ）把代入，得 ‎ 由………6分 解得………7分 ‎（3） 解：（Ⅰ）由柯西不等式得 ‎………2分 即 ‎∴≥………4分 ‎ ‎（Ⅱ）由已知得 ‎≥0，解得≤或≥5………6分 又＞0 ，≥5‎ 即实数m的取值范围是[5，＋∞)………7分 ‎ ‎