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- 2021-06-11 发布
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- 1 -
高三数学试卷(理科)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.设 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数运算法则求得 ,根据模长的定义求得结果.
【详解】
本题正确选项:
【点睛】本题考查复数模长的求解问题,关键是能够通过复数的运算求得复数,属于基础题.
2.已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求解出集合 和集合 ,根据交集 定义求得结果.
【详解】 ,
本题正确选项:
【点睛】本题考查集合运算中 交集运算,属于基础题.
3.函数 的图象大致为( )
的
的
3
5
1
iz ii
= ++ z =
2 1
2
2
2
10
2
1 1
2 2z i= − +
( )3
5 1 1 1
1 2 2 2
i iiz i i ii
− −= + = + = − ++
1 1 2
4 4 2z∴ = + =
C
{ }2 6 7 0A x x x= − − < { }B x x x= = − A B =
( ]1,0− ( ]7,0− [ )0,7 [ )0,1
A B
{ } ( )2 6 7 0 1,7A x x x= − − < = − { } ( ],0B x x x= = − = −∞
( ]1,0A B∴ = −
A
( )( ) 2 2 lnx xf x x−= +
- 2 -
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于 轴对称,排除 ;根据 时,
,排除 ,从而得到正确选项.
【 详 解 】 定 义 域 为 , 且
为偶函数,关于 轴对称,排除 ;
当 时, , ,可知 ,排除 .
本题正确选项:
【点睛】本题考查函数图象的辨析,关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排
除.
4.已知向量 , 满足 , ,且 ,则向量 与 的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
y D ( )0,1x∈
( ) 0f x < ,A C
( )f x { }0x x ≠
( ) ( ) ( ) ( )2 2 ln 2 2 lnx x x xf x x x f x− −− = + − = + =
( )f x∴ y D
( )0,1x∈ 2 2 0x x−+ > ln 0x < ( ) 0f x < ,A C
B
a b 2a = | | 1b = 2b a+ = a b
2
2
2
3
2
8
2
4
- 3 -
根据平方运算可求得 ,利用 求得结果.
【详解】由题意可知: ,解得:
本题正确选项:
【点睛】本题考查向量夹角的求解问题,关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
5.已知抛物线 : 的准线 与圆 : 相切,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由抛物线方程得到准线方程,再由准线与圆相切,即可得出结果.
【详解】因为抛物线 的准线为 ,
又准线 与圆 相切,
所以 ,则 .
故选 D
【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质,熟记抛物线与圆的性质即可,属于常考题型.
6.已知等比数列 的前 项和为 ,若 , ,则 ( )
A. 10 B. 7 C. 8 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可将已知等式变为 ,解方程求得结果.
【详解】由题意得:
1
2a b⋅ = cos , a ba b
a b
⋅< >=
2 2 22 3 2 4b a b a b a a b+ = + ⋅ + = + ⋅ = 1
2a b⋅ =
1 2cos , 42 2
a ba b
a b
⋅∴ < >= = =
D
C 2 2 ( 0)x py p= > l M 2 2( 1) ( 2) 16x y− + − = p =
6 8 3 4
2: 2C x py=
2
py = −
l ( ) ( )2 2: 1 2 16M x y− + − =
2 42
p + = 4p =
{ }na n nS
1 2 3
1 1 1 2a a a
+ + =
2 2a = 3S =
1 2 3 3
2
2
24
a a a S
a
+ + = =
1 3 1 2 3 3
2
1 2 3 1 3 2 2
1 1 1 1 24
a a a a a S
a a a a a a a
+ + ++ + = + = = =
3 8S∴ =
- 4 -
本题正确选项:
【点睛】本题考查等比数列性质的应用,关键是能够根据下角标的关系凑出关于 的方程,
属于基础题.
7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计
算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正 3072 边形,
并由此而求得了圆周率为 3.1415 和 3.1416 这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率
计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内
随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为 0.8269,那么通过该实验计算出来的圆
周率近似值为( )(参考数据: )
A. 3.1419 B. 3.1417 C. 3.1415 D. 3.1413
【答案】A
【解析】
【分析】
先设圆的半径为 ,表示出圆的面积和正六边形的面积,再由题中所给概率,即可得出结果.
【详解】设圆的半径为 ,则圆的面积为 ,正六边形的面积为 ,
因而所求该实验的概率为 ,则 .
故选 A
【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型,熟记概率计算公式即可,属于常考题型.
8.已知函数 的最小正周期为 ,且对 , 恒成立,
若函数 在 上单调递减,则 的最大值是( )
C
3S
3 2.09460.8269
≈
r
r 2rπ 21 3 3 36 2 2 2r r r× × × =
2
2
3 3
3 32 0.82692
r
rπ π= =
3 3 3.14192 0.8269
π = ≈×
( ) cos( )( 0)f x xω ϕ ω= + > π x∈R ( ) 3f x f
π
( )y f x= [0, ]a a
- 5 -
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由最小正周期,求出 ,再由对 , 恒成立,得到
,进而可得 ,求出其单调递减区间,即可得出结果.
【详解】因为函数 的最小正周期为 ,所以 ,
又对任意的 ,都使得 ,
所以函数 在 上取得最小值,则 , ,
即 ,
所以 ,
令 ,解得 ,
则函数 在 上单调递减,故 的最大值是 .
故选 B
【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力.
9.已知函数 ,设 , , ,则 , ,
的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由函数奇偶性的概念判断函数 的奇偶性,再得到其单调性,确定 , ,
π
6
π
3
2π
3
5π
6
ω x∈R ( )
3f x f
π ≥ 2 ,3 k k Z
πϕ π= + ∈
( ) cos 2 3f x x
π = +
( ) ( )cosf x xω ϕ= + π 2 2
πω π= =
x ( )
3f x f
π ≥
( )f x
3x
π= 2 23 k
π ϕ π π+ = + k Z∈
2 ,3 k k Z
πϕ π= + ∈
( ) cos 2 3f x x
π = +
2 2 2 ,3k x k k Z
ππ π π≤ + ≤ + ∈ ,6 3k x k k Z
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈
( )y f x= 0, 3
π
a
3
π
| | 2( ) 2 xf x x= + 2
1(log )3m f= 0.1(7 )n f −= ( )4log 25p f= m n p
m p n> > p n m> > p m n> > n p m> >
( )f x 2
1log 3
0.17 −
- 6 -
的范围,即可得出结果.
【详解】因为 ,所以 ,
因此 为偶函数,且易知函数 在 上单调递增,
又 , , ,
所以 ,
因此 .
故选 C
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用,熟记函数性质即可,属于常考题型.
10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,过 且斜率为 的直线
与双曲线在第一象限的交点为 ,若 ,则此双曲线的标准方程可能为(
)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先 由 得 到 , 根 据 的 斜 率 为 , 求 出
,结合余弦定理,与双曲线的定义,得到 ,求出 ,进而可得出结果.
【详解】由 ,可知 ,
又 的斜率为 ,所以易得 ,
在 中,由余弦定理得 ,
由双曲线的定义得 ,
4log 25
( ) 22 xf x x= + ( ) 2 22 ( ) 2 ( )x xf x x x f x−− = + − = + =
( ) 22 xf x x= + ( )f x ( )0, ∞+
( )2 2
1log log 3 1,23
= ∈ ( )0.17 0,1− ∈ ( )4 2log 25 log 5 2,3= ∈
0.1
4 2
1log 25 log 73
−> >
p m n> >
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F 2F 24
7
A ( )2 1 2 1 0F F F A F A+ ⋅ =
2 2
14 3
x y− =
2 2
13 4
x y− =
2 2
116 9
x y− =
2 2
19 16
x y− =
( )2 1 2 1 0F F F A F A+ ⋅ =
1 2 2 2FF F A c= = 2AF 24
7
2 1
7cos 25AF F∠ = − c
a
a
b
( )2 1 2 1 0F F F A F A+ ⋅ =
1 2 2 2FF F A c= =
2AF 24
7 2 1
7cos 25AF F∠ = −
1 2AF F∆ 1
16
5AF c=
16 2 25 c c a− =
- 7 -
所以 ,则 ,
所以此双曲线的标准方程可能为 .
故选 D
【点睛】本题考查双曲线的标准方程,熟记双曲线的几何性质与标准方程即可,属于常考题
型.
11.如图,在棱长为 2 的正方体 中,点 是 的中点,动点 在底面
内(不包括边界),若 平面 ,则 的最小值是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在 上取中点 ,在 上取中点 ,连接 ,根据面面平行的判定定
理可知平面 平面 ,从而可得 的轨迹是 (不含 两点);由垂直关
系可知当 时, 取得最小值;利用面积桥和勾股定理可求得最小值.
【详解】如图,在 上取中点 ,在 上取中点 ,连接
5
3
ce a
= = : 3: 4a b =
2 2
19 16
x y− =
1 1 1 1ABCD A B C D− M AD P
ABCD 1B P 1A BM 1C P
30
5
2 30
5
2 7
5
4 7
5
1 1A D Q BC N 1 1, , ,DN NB B Q QD
1 / /B QDN 1A BM P DN ,D N
CP DN⊥ 1C P
1 1A D Q BC N 1 1, , ,DN NB B Q QD
- 8 -
, 且 ,
平面 平面 ,则动点 的轨迹是 (不含 两点)
又 平面 ,则当 时, 取得最小值
此时,
本题正确选项:
【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题,关键是能够通过面面平行关系得
到动点的轨迹,从而找到最值取得的点.
12.已知函数 的极值点为 ,函数 的零点为 ,函数
的最大值为 ,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 在 上单调递增,且 ,可知导函数零点在区间
内 , 即 的 极 值 点 ; 根 据 单 调 递 增 且 可 知
;通过判断 ,结合 单调性可得 ;利用导数可求得
/ /DN BM 1/ /DQ A M DN DQ D= 1BM A M M=
∴ 1 / /B QDN 1A BM P DN ,D N
1CC ⊥ ABCD CP DN⊥ 1C P
2 2
2 1 2
51 2
CP
×= =
+
2
2
1
2 2 302 55
C P
∴ ≥ + =
B
( ) 2
ln2
x xf x e x= + − 1x ( ) 2xg x e x= + − 2x
( ) ln
2
xh x x
= 3x
1 2 3x x x> > 2 1 3x x x> > 3 1 2x x x> >
3 2 1x x x> >
( )f x′ ( )0, ∞+ 1 1 02 4f f ′ ′⋅ <
1 1,4 2
( )f x 1
1 1,4 2x ∈
( )g x 1 1 02 4g g ⋅ <
2
1 1,4 2x ∈
( ) ( )1 2g x g x> ( )g x 1 2x x>
- 9 -
,即 ,从而可得三者的大小关系.
【详解】 在 上单调递增
且 , 且
函数 在 上单调递增
且 ,
又
且 单调递增
由 可得: ,即
本题正确选项:
【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题,涉及到零点存在定理的应用,
易错点是判断 大小关系时,未结合 单调性判断出 ,造成求解困难.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.设 , 满足约束条件 ,则 的最小值是________.
【答案】0
【解析】
【分析】
画出可行域,平移基准直线 到可行域边界的位置,由此求得目标函数的最小值.
【详解】画出可行域如下图所示,由图可知当 平移到过点 时, .
( )max
1 1
2 4h x e
= < 3
1
4x <
( ) 1xf x e x x
′ = + − ( )0, ∞+
1
21 3 02 2f e ′ = − >
1
41 15 04 4f e ′ = − < 1
1 1,4 2x ∴ ∈
1
1
1
1 0xe x x
+ − =
( ) 2xg x e x= + − ( )0, ∞+
1
21 3 02 2g e = − >
1
41 1 2 04 4g e = + − < 2
1 1,4 2x ∴ ∈
( ) ( )1
1 1 1 1 2
1 1
1 12 2 2 0xg x e x x x g xx x
= + − = − + − = − > =
( )g x 1 2x x∴ >
( ) 2
1 ln
2
xh x x
−′ = ( ) ( )max
1
2h x h e e
= = 3
1 1
2 4x e
= <
1 2 3x x x∴ > >
A
1 2,x x ( )g x ( ) ( )1 2g x g x>
x y
2 0
2 0
2 6 0
x
y
x y
− ≥
+ ≥
+ − ≤
z x y= +
0x y+ =
: 0l x y+ = (2, 2)− min 0z =
- 10 -
【点睛】本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.
14.某公司对 2019 年 1~4 月份的获利情况进行了数据统计,如下表所示:
月份 1 2 3 4
利润 /万元 5 6 6.5 8
利用线性回归分析思想,预测出 2019 年 8 月份的利润为 11.6 万元,则 关于 的线性回归方
程为________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
先由题中数据求出 , ,结合题意,列出方程组,求出 与 ,即可得出结果.
【详解】设线性回归方程为 ,因为 , ,
由题意可得 ,解得 , ,
即 .
故答案为
x
y
y x
ˆ 0.95 4y x= +
x y ˆb ˆa
ˆˆ ˆy bx a= + 5
2x = 51
8y =
5 51ˆ
2 8
8 ˆ 11.6
ˆ
ˆ
b a
b a
+ =
+ =
ˆ 0.95b = ˆ 4a =
ˆ 0.95 4y x= +
ˆ 0.95 4y x= +
- 11 -
【点睛】本题主要考查线性回归方程,熟记回归方程的特征即可,属于常考题型.
15.若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形,则该圆柱的外接球的表面积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出圆柱与其外接球的轴截面,结合题中数据,求出外接球半径,再由球的表面积公式,即
可得出结果.
【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下:
设圆柱的底面圆半径为 ,则 ,所以轴截面的面积为 ,解得
,
因此,该圆柱的外接球的半径 ,
所以球的表面积为 .
故答案为
【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算,熟记公式即可,属于常考题型.
16.数列 为 1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,…,首先给出 ,接
着复制该项后,再添加其后继数 2,于是 , ,然后再复制前面所有的项 1,1,2,
再添加 2 的后继数 3,于是 , , , ,接下来再复制前面所有的项 1,
1,2,1,1,2,3,再添加 4,…,如此继续,则 ______.
【答案】1
【解析】
【分析】
.8π
r 2BC r= ( )22 4ABCDS r= =正方形
1r =
2 22 2 22 2
BDR
+= = =
( )2
4 2 8S π π= =
8π
{ }na 1 1a =
2 1a = 3 2a =
4 1a = 5 1a = 6 2a = 7 3a =
2019a =
- 12 -
根据数列构造方法可知: ,即 ;根据变化规律可得
,从而得到结果.
【详解】由数列 的构造方法可知 , , , ,可得:
即:
本题正确结果:
【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项,关键是能够根据构造特点得到数列
各项之间的关系,考查学生的归纳总结能力.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17~21
题为必考题,每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.在 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,
.
(1)求 的大小;
(2)若 , ,求 的面积.
【答案】(1) .(2)
【解析】
【分析】
( 1 ) 先 由 正 弦 定 理 , 将 化 为
,结合余弦定理,即可求出角 ;
(2)先求出 ,再由正弦定理求出 ,根据三角形面积公式,即可得出结果.
【详解】(1)因为 ,
2 1na n−
= ( )2 1 1 2 1n
n
kka a k− +
= ≤ < −
2019 2a a=
{ }na 1 1a = 3 2a = 7 3a = 15 4a =
2 1na n−
=
( )2 1 1 2 1n
n
kka a k− +
= ≤ < −
2019 996 485 230 103 40 9 2 1a a a a a a a a∴ = = = = = = = =
1
ABC∆ A B C a b c
2sin sinsin sin sinsin
B Cb B c C a AA
+ = +
A
2a = π
3B = ABC∆
4A
π= 3 3
4ABCS∆
+=
2sin sinsin sin sinsin
B Cb B c C a AA
+ = +
2 2 2 bcb c a aa
+ = + A
sinC b
2sin sinsin sin sinsin
B Cb B c C a AA
+ = +
- 13 -
由正弦定理可得: ,
即 ,
再由余弦定理可得 ,即 ,
所以 ;
(2)因为 ,所以 ,
由正弦定理 ,可得 .
.
【点睛】本题主要考查解三角形,熟记正弦定理、余弦定理即可,属于常考题型.
18.如图,在直四棱柱 中,底面 是矩形, 与 交于点 E.
.
(1)证明: 平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】
【分析】
(1)证明 , ,推出 平面 ,得到 ,证明
,即可证明 平面 ;
2 2 2 bcb c a aa
+ = +
2 2 2 2b c a bc+ − =
2 cos 2bc A bc= 2cos 2A =
4A
π=
3B
π= ( ) 6 2sin sin 4C A B
+= + =
sin sin
a b
A B
= 3b =
1 3 3sin2 4ABCS ab C∆
+= =
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 1A D 1AD
1 2 4AA AB AD= = =
AE ⊥ ECD
1AC EAC
6
9
1AA CD⊥ CD AD⊥ CD ⊥ 1 1AA D D CD AE⊥ AE ED⊥
AE ⊥ ECD
- 14 -
(2)建立坐标系,求出平面的法向量,利用空间向量的数量积求解直线 与平面 所成
角的正弦值.
【详解】(1)证明:∵四棱柱 是直四棱柱,
∴ 平面 ,而 平面 ,则 ,
又 , ,
∴ 平面 ,因为平面 ,∴ ,
∵ , ,
∴ 是正方形,∴ ,
又 ,∴ 平面 .
(2)解:建立如图所示的坐标系, 与 交于点 , ,
则 ,
∴ ,
∴ ,
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
不妨取 ,
则直线 与平面 所成角的正弦值为 .
1AC EAC
1 1 1 1ABCD A B C D−
1AA ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD 1AA CD⊥
CD AD⊥ 1AA AD A=
CD ⊥ 1 1AA D D 1 1AA D D CD AE⊥
1AA AD⊥ 1AA AD=
1 1AA D D AE ED⊥
CD ED D= AE ⊥ ECD
1A D 1AD E 1 2 4AA AD AB= = =
( ) ( ) ( ) ( )10,0,0 , 0,0,4 , 2,4,0 , 0,4,0A A C D
( )0,2,2E
( ) ( ) ( )1 2,4, 4 , 2,4,0 , 0,2,2AC AC AE= − = =
EAC ( ), ,n x y z= · 0
· 0
n AC
n AE
=
=
2 4 0
2 2 0
x y
y z
+ =
+ =
( )2,1, 1n = − −
1AC EAC 4 4 4 4 6= 96 36 6 6
n AC
n AC
− + −= =
- 15 -
【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法,考查直线与平面垂直的判断和性质,考查
推理能力与计算能力,属于中档题.
19.某工厂预购买软件服务,有如下两种方案:
方案一:软件服务公司每日收取工厂 元,对于提供的软件服务每次 元;
方案二:软件服务公司每日收取工厂 元,若每日软件服务不超过 次,不另外收费,若
超过 次,超过部分的软件服务每次收费标准为 元.
(1)设日收费为 元,每天软件服务的次数为 ,试写出两种方案中 与 的函数关系式;
(2)该工厂对过去 天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统
计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合
适?请说明理由.
【答案】(1) 方案一中: ,方案二: .(2) 从
节约成本的角度考虑,选择方案一.
【解析】
【分析】
(1)根据题中条件,建立等量关系,即可得出所需函数关系;
(2)分别设两种方案的日收费为 , ,由题中条形图,得到 , 的分布列,求出对应
期望,比较大小,即可得出结果.
【详解】(1)由题可知,方案一中的日收费 与 的函数关系式为
方案二中的日收费 与 的函数关系式为 .
(2)设方案一种的日收费为 ,由条形图可得 的分布列为
190 200 210 220 230
0.1 0.4 0.1 0.2 0.2
60 10
200 15
15 20
y x y x
100
10 60,y x x N= + ∈ 200, 15,
20 100, 15,
x x Ny x x x N
≤ ∈= − > ∈
X Y X Y
y x 10 60,y x x N= + ∈
y x 200, 15,
20 100, 15,
x x Ny x x x N
≤ ∈= − > ∈
X X
X
P
- 16 -
所以 (元)
方案二中的日收费为 ,由条形图可得 的分布列为
200 220 240
0.6 0.2 0.2
(元)
所以从节约成本的角度考虑,选择方案一.
【点睛】本题主要考查函数的应用,以及离散型随机变量的分布列与期望,熟记相关概念即
可,属于常考题型.
20.已知椭圆 : 的离心率为 ,焦距为 .
(1)求 方程;
(2)若斜率为 的直线 与椭圆 交于 , 两点(点 , 均在第一象限), 为坐标
原点.
①证明:直线 的斜率依次成等比数列.
②若 与 关于 轴对称,证明: .
【答案】(1) ; (2)①见解析;②见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据离心率、焦距和 可解出 ,从而得到椭圆方程;(2)①设直线
的方程为: , , ,将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定
理的形式,从而求得 ;整理可知: ,从而证得结论;② 与
关 于 轴 对 称 可 知 , 由 ① 知 , 则
的
( ) 190 0.1 200 0.4 210 0.1 220 0.2 230 0.2 210E X = × + × + × + × + × =
Y Y
Y
P
( ) 200 0.6 220 0.2 240 0.2 212E Y = × + × + × =
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 3
2 2 3
C
1
2
− l C P Q P Q O
, ,OP PQ OQ
Q′ Q x 4tan 3POQ′∠ >
2
2 14
x y+ =
2 2 2b a c= − , ,a b c l
1
2y x m= − + ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y
1 2y y 21 2
1 2
1
4Q QO O PP
y yk k kx x
= = = Q′ Q
x xOQ xOQ′∠ = ∠ 1tan tan 4xOQ xOP′∠ ⋅ ∠ =
- 17 -
,利用两角和差正切公式展开整理,根据基本不等式求
得最小值,经验证等号无法取得,从而证得结论.
【详解】(1)由题意可得: ,解得:
椭圆 的方程为:
(2)证明:①设直线 的方程为: , ,
由 消去 得:
则 ,且 ,
即直线 的斜率依次成等比数列
②由题可知:
由①可知: , ,
若 ,则 两点重合,不符合题意;可知无法取得等号
【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题,涉及到斜率关系的证明和
不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系,利用两角和差正切公式构造出符
( )tan tanPOQ xOQ xOP′ ′∠ = ∠ + ∠
3
2
2 2 3
c
a
c
=
=
2
3
a
c
= =
2 2 2 1b a c∴ = − =
∴ C
2
2 14
x y+ =
l 1
2y x m= − + ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y
2
2
1
2
14
y x m
x y
= − +
+ =
y ( )2 22 2 1 0x mx m− + − =
( ) ( )2 2 24 8 1 4 2 0m m m∆ = − − = − > 1 2 2x x m+ = ( )2
1 2 2 1x x m= −
( ) 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1
2 2 4 2 2
my y x m x m x x m x x m
− ∴ = − + − + = − + + =
( )
2
21 2
2
1 2
1
12
42 1OP OQ PQ
m
y yk k kx x m
−
∴ = = = =
−
, ,OP PQ OQ
xOQ xOQ′∠ = ∠
1tan tan 4xOQ xOP′∠ ⋅ ∠ = tan 0xOQ′∠ > tan 0xOP∠ >
( ) tan tantan tan 1 tan tan
xOQ xOPPOQ xOQ xOP xOQ xOP
′∠ + ∠′ ′∴ ∠ = ∠ + ∠ = ′− ∠ ⋅ ∠
( )4 4tan tan 2 tan tan3 3
4
3xOQ xOP xOQ xOP′ ′= ∠ + ∠ × ⋅ ∠ =≥ ∠
xOQ xOP′∠ = ∠ ,P Q
4tan 3POQ′∴ ∠ >
- 18 -
合基本不等式的形式,利用基本不等式求得最值;易错点是忽略对于取等条件能否成立的验
证.
21.已知函数 ,曲线 在点 处的切线方程为
.
(1)求函数 的解析式,并证明: .
(2)已知 ,且函数 与函数 的图象交于 , 两点,
且线段 的中点为 ,证明: .
【答案】(1) ,证明见解析; (2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用切线方程可求得 的解析式,令 ,利用导数可
求得 ,从而证得结论;(2)通过分析法可知要证 成立只
需 证 ; 令 , 即 证 : ; 令
,利用导数研究 单调性,可知 ,得到 成
立 ; 令 , 利 用 导 数 研 究 单 调 性 , 可 知 , 得 到
成立,可知需证的不等式成立,则原不等式成立.
【详解】(1)由题意得: ,即
又 ,即 ,则 ,解得:
则 .
令 ,
令 ,解得:
( ) xf x e ax b= + + ( )y f x= ( )( )1, 1f
2 0ex y− − =
( )f x ( ) 1f x x≥ −
( ) 2g x kx= − ( )f x ( )g x ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
AB ( )0 0,P x y ( ) ( )0 01f x g y< <
( ) 2xf x e= −
( )f x ( ) ( ) 1 1xh x f x x e x= − + = − −
( ) ( )0 0h x h≥ = ( ) ( )0 01f x g y< <
2 1 2 1 2 1
2
2 1
1 1
2
x x x x x xe e
x xe
− − −− +< <− 2 1 0t x x= − > 2 1 1
2
t t te ee t
− +< <
( ) 2 2
t t
F t e e t
−= − − ( )F t ( ) ( )0 0F t F> = 2 1t tee t
−<
( ) 1
1 2
t
t
e tG t e
−= −+
( )G t ( ) ( )0 0G t G< =
1 1
2
t te e
t
− +<
( )1 2f e a b e= + + = − 2a b+ = −
( ) xf x e a′ = + ( )1f e a e′ = + = 0a = 2b = −
( ) 2xf x e= −
( ) ( ) 1 1xh x f x x e x= − + = − − ( ) 1xh x e′ = −
( ) 0h x′ = 0x =
- 19 -
则函数 在 上单调递减,在 上单调递增
,则:
(2)要证 成立,只需证:
即证 ,即:
只需证:
设 ,即证:
要证 ,只需证:
令 ,则
在 上为增函数
,即 成立;
要证 ,只需证明:
令 ,则
在 上为减函数 ,即 成立
, 成立
成立
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不
等式、分析法证明不等式的问题,关键是能够通过构造函数的方式,将所证不等式转变为函
( )h x ( ),0−∞ ( )0, ∞+
( ) ( )0 0h x h∴ ≥ = ( ) 1f x x≥ −
( ) ( )0 01f x g y< < 1 2 1 2x
2 42 2 2
x x xe ee k
+ + −− < − <
1 2 1 2
2
2
x x x xek ee
+ +< <
11 2 2 1 2
2
2 1 2
x x xxx xe ee x
e e
x
+ − +< <−
2 1 2 1 2 1
2
2 1
1 1
2
x x x x x xe e
x xe
− − −− +< <−
2 1 0t x x= − > 2 1 1
2
t t te ee t
− +< <
2 1t tee t
−< 2 2
t t
e e t
−− >
( ) 2 2
t t
F t e e t
−= − − ( ) 2 21 1 02
t t
F t e e
− ′ = + − >
( )F t∴ ( )0, ∞+
( ) ( )0 0F t F∴ > = 2 1t tee t
−<
1 1
2
t te e
t
− +< 1
1 2
t
t
e t
e
− <+
( ) 1
1 2
t
t
e tG t e
−= −+
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2
4 1 12 1 021 2 1 2 1
t t tt
t t t
e e eeG t
e e e
− + − −′ = − = = <
+ + +
( )G t∴ ( )0, ∞+ ( ) ( )0 0G t G∴ < = 1 1
2
t te e
t
− +<
2 1 1
2
t t te ee t
− +∴ < < 0t >
( ) ( )0 01f x g y∴ < <
- 20 -
数最值的求解问题,构造合适的函数是解决本题的难点.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一
题计分.
选修 4-4:坐标系与参数方程
22.在直角坐标系 中,直线 的方程为 ,曲线 的参数方程为
( 为参数).以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线 和曲线 的极坐标方程;
(2)若直线 与曲线 交于 , 两点,且直线 与 的斜率之积为 ,求 .
【答案】(1) : , : ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得;
(2)联立直线 与曲线 的极坐标方程,得 ,设
,则 ,解得 即可.
【详解】(1)将 , 代入 的方程中,所以直线 的极坐标
方程为 .
在曲线 的参数方程中,消去 ,可得 ,将 , 代入
的方程中,
所以曲线 的极坐标方程为 .
(2)直线 与曲线 的公共点的极坐标满足方程组
,由方程组得 ,
,两边同除 ,
可化为 ,即 ,
xOy l 0x y a+ − = C
2cos ,
sin
x
y
α
α
=
=
α x
l C
l C A B OA OB 5
4
a
l cos sin 0ar q r q+ - = C ( )2 2 24sin cos 4ρ θ θ+ = 1
2a = ±
l C ( ) ( )2 2 224sin cos 4 cos sina θ θ θ θ++ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A Bρ θ ρ θ 1 2
5tan tan 4OO BAk k θ θ= = a
cosx ρ θ= siny ρ θ= 0x y a+ − = l
cos sin 0ar q r q+ - =
C α 2
2 14
x y+ = cosx ρ θ= siny ρ θ=
2
2 14
x y+ =
C ( )2 2 24sin cos 4ρ θ θ+ =
l C
( )2 2 2
cos sin 0
4sin cos 4
aρ θ ρ θ
ρ θ θ
+ − = + =
( ) ( )2 2 224sin cos 4 cos sina θ θ θ θ++ =
( )2 2 2 2 2 24 sin cos 4 si 2cosn sincosa aθ θθ θ θ θ+ = + + 2cos θ
2 2 2 24 tan 4 8tan 4tana aθ θ θ+ = + + ( )2 2 24 4 tan 8tan 4 0a aθ θ− − + − =
- 21 -
设 ,则 ,
解得 .
【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,普通方程之间的换算关系.考查了直线与椭圆
极坐标方程的应用.属于中档题.
选修 4-5:不等式选讲
23.已知函数 .
(1)求不等式 的解集;
(2)若 ,使得 恒成立,求 的取值范围.
【答案】(1) (2) .
【解析】
【分析】
(1)先由题意得 ,再分别讨论 , , 三种情况,即
可得出结果;
(2)先由含绝对值不等式的性质,得到 ,再由题
意,可得 ,求解,即可得出结果.
【详解】(1)不等式 可化为 ,
当 时, , ,所以无解;
当 时, 所以 ;
当 时, , ,所以 ,
综上,不等式 的解集是 .
(2)因为
又 ,使得 恒成立,则 ,
,解得 .
.
( ) ( )1 1 2 2, , ,A Bρ θ ρ θ 2
1 2 2
4 5tan tan 4 4 4O OBA
ak k a
θ θ −= = =−
1
2a = ±
( ) | 2 |f x x= +
( ) ( 2) 4f x f x x+ − < +
x∀ ∈R ( ) ( ) (2 )f x a f x f a+ + a
{ }2 2x x− < < 22, 3
− −
2 4x x x+ + < + 2x −≤ 2 0x− < ≤ 0x >
( ) ( ) 2 2f x a f x x a x a+ + = + + + + ≥
2 2a a≥ +
( ) ( )2 4f x f x x+ − < + 2 4x x x+ + < +
2x −≤ 2 2 4x x− − < + 2x > −
2 0x− < ≤ 2 4x< + 2 0x− < ≤
0x > 2 2 4x x+ < + 2x < 0 2x< <
( ) ( )2 4f x f x x+ − < + { }| 2 2x x− < <
( ) ( ) 2 2f x a f x x a x a+ + = + + + + ≥
x R∀ ∈ ( ) ( ) ( )2f x a f x f a+ + ≥ 2 2a a≥ +
( )22 2 2a a≥ + 22 3a− ≤ ≤ −
- 22 -
所以 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式,熟记分类讨论的思想,以及绝对值不等式的性质
即可,属于常考题型.
a 22, 3
− −
- 23 -